Сравнение отрицательных и положительных дробей. Сравнение отрицательных чисел: правило, примеры

25.09.2019

Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

Например, −10 градусов холода:

Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее, такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

Содержание урока

Это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

Здесь показаны числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2» и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.

Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4»

Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B.

Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.

Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O

Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

Существуют такие словосочетания, как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше» . Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево, число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.

Сравнение отрицательных и положительных чисел

Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше , чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

−5 < 3

«Минус пять меньше, чем три»

Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше , чем минус единица.

Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

Минус четыре меньше, чем минус единица

Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.

Например, сравним 0 и −3. Ноль больше , чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше» . И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

Ноль больше, чем минус три

Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.

Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше , чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

Ноль меньше, чем четыре

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Если к ряду натуральных чисел приписать слева число 0, то получится ряд положительных целых чисел :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Целые отрицательные числа

Рассмотрим небольшой пример. На рисунке слева изображён термометр, который показывает температуру 7° тепла. Если температура понизится на 4°, то термометр будет показывать 3° тепла. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:

Если температура понизится на 7°, то термометр будет показывать 0°. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания:

Если же температура понизится на 8°, то термометр покажет -1° (1° мороза). Но результат вычитания 7 - 8 нельзя записать с помощью натуральных чисел и нуля.

Проиллюстрируем вычитание на ряде целых положительных чисел:

1) От числа 7 отсчитаем влево 4 числа и получим 3:

2) От числа 7 отсчитаем влево 7 чисел и получим 0:

Отсчитать в ряду положительных целых чисел от числа 7 влево 8 чисел нельзя. Чтобы действие 7 - 8 стало выполнимым, расширим ряд положительных целых чисел. Для этого влево от нуля запишем (справа налево) по порядку все натуральные числа, добавляя к каждому из них знак - , показывающий, что это число стоит слева от нуля.

Записи -1, -2, -3, ... читают минус 1 , минус 2 , минус 3 и т. д.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Полученный ряд чисел называют рядом целых чисел . Точки слева и справа в этой записи означают, что ряд можно продолжать неограниченно вправо и влево.

Справа от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют натуральными или целыми положительными (кратко - положительными ).

Слева от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют целыми отрицательными (кратко - отрицательными ).

Число 0 целое, но не является ни положительным, ни отрицательным числом. Оно разделяет положительные и отрицательные числа.

Следовательно, ряд целых чисел состоит из целых отрицательных чисел, нуля и целых положительных чисел .

Сравнение целых чисел

Сравнить два целых числа - значит узнать какое из них больше, какое меньше, или определить, что числа равны.

Сравнивать целые числа можно с помощью ряда целых чисел, так как числа в нём расположены от меньшего к большему, если двигаться по ряду слева направо. Поэтому в ряду целых чисел можно заменить запятые на знак меньше:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Следовательно, из двух целых чисел больше то число, которое в ряду стоит правее, и меньше то, которое стоит левее , значит:

1) Любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа:

1 > 0; 15 > -16

2) Любое отрицательное число меньше нуля:

7 < 0; -357 < 0

3) Из двух отрицательных чисел больше то, которое в ряду целых чисел стоит правее.

Сравнение чисел - одна из самых легких и приятных тем из курса математики. Впрочем, нужно сказать, что она не так уж и проста. Например, мало кто испытывает трудности со сравнением однозначных или двузначных положительных чисел.

Но числа с большим количеством знаков уже вызывают проблемы, часто люди теряются при сравнении отрицательных чисел и не помнят, как сравнить два числа с разными знаками. На все эти вопросы мы и постараемся ответить.

Правила относительно сравнения положительных чисел

Начнем с самого простого - с чисел, перед которыми не стоит никакого знака, то есть с положительных.

Прежде всего, стоит запомнить, что все положительные числа по определению больше нуля, даже если речь идет о дробном числе без целого. Например, десятичная дробь 0,2 будет больше, чем нуль, поскольку на координатной прямой соответствующая ей точка все-таки отстоит от нуля на два небольших деления.
Если речь идет о сравнении двух положительных чисел с большим количеством знаков, то нужно сравнивать каждый из разрядов. Например - 32 и 33. Разряд десятков у этих чисел одинаков, но число 33 больше, поскольку в разряде единиц «3» больше, чем «2».
Как сравнить между собой две десятичные дроби? Здесь нужно смотреть прежде всего на целую часть - например, дробь 3,5 будет меньше, чем 4,6. А если целая часть одинакова, но различаются знаки после запятой? В этом случае действует правило для целых чисел - нужно сравнивать знаки по разрядам до тех пор, пока не обнаружатся большие и меньшие десятые, сотые, тысячные доли. Например - 4,86 больше 4,75, поскольку восемь десятых больше, чем семь.

Сравнение отрицательных чисел

Если у нас в задаче есть некие числа –а и –с, и нам нужно определить, какое из них больше, то применяется универсальное правило. Сначала выписываются модули этих чисел - |a| и |с| - и сравниваются между собой. То число, модуль которого больше, окажется меньшим в сравнении отрицательных чисел, и наоборот - большим числом будет то, модуль которого меньше.

Что делать, если сравнить нужно отрицательное и положительное число?

Здесь работает всего одно правило, и оно элементарно. Положительные числа всегда больше чисел со знаком «минус» - какими бы они ни были. Например, число «1» всегда будет больше числа «-1458» просто потому, что единица стоит справа от нуля на координатной прямой.

Также нужно помнить, что любое отрицательное число всегда меньше нуля.

Тема

Тип урока

изучение и первичное усвоение нового материала

Цели урока

План урока

1. Введение.
2. Теоретическая часть
3. Практическая часть.
4. Домашнее задание.
5. Вопросы

Введение

Давайте посмотрим видео , как упорядочить отрицательные числа

А теперь упорядочите отрицательные числа и расшифруйте тему урока:

Ответ: слово “сравнение”.

Теоретическая часть

Сравнение чисел. Правила

При сравнении двух чисел, первое, на что надо обратить внимание, это знаки сравниваемых чисел. Число с минусом (отрицательное) всегда меньше положительного.

Если оба сравниваемых числа со знаками минус (отрицательные), то мы должны сравнить их модули, то есть, сравнить их не учитывая знаки минус. То число, модуль которого окажется больше, на самом деле меньше.

Например -3 и -5. Сравниваемые числа - отрицательные. Значит, сравним их модули 3 и 5. 5 больше чем 3, значит -5 меньше чем -3.

Если одно из сравниваемых чисел нуль, то отрицательное число будет меньше нуля. (-3 < 0) А положительное - больше. (3 > 0)

Сравнить числа можно и с помощью горизонтальной координатной прямой. Число расположенное левее, меньше числа расположенного правее. Также действует обратное правило. Точка с большей координатой, на координатной прямой, находится правее, чем точка с меньшей координатой.

Например, на рисунке Точка E правее точки A и ее координата больше. (5 > 1)

Сравнение целых чисел

Сравнение абсолютных величин (модулей) чисел

Неравенства с модулем

Практическая часть

Сравнение чисел на числовом луче

Задания

1. Объясните почему:
-5 меньше -1,
-2 больше -16,
-25 меньше 3,
0 больше – 9.

2. Сравните:
на координатной прямой изображены числа: 0; а; в; с. Сравните:

1) а > 0; 2) в < 0; 3) 0 > с.
на координатной прямой изображены числа: 0; а; в; с. Сравните их:

1) а > в; 2) с < а; 3) в < с.

3. Какое из неравенств верно?
Числа а и в – отрицательные; | а | > | в |.
а) а > в; б) а < в.

4. Сравните модуль чисел а и в.
Числа а и в – отрицательные; а < в.

5. Какое из неравенств верно?
а – положительное число,
в – отрицательное число.
а) а > в; б) а < в?

6. Сравните:

Домашнее задание

1. Сравните числа

2. Вычислите

3. Расположите числа в порядке возрастания

Вопросы

Что показывает координата точки на прямой?
Что такое модуль числа с геометрической точки зрения?
Чему равен модуль положительного числа?
Чему равен модуль отрицательного числа?
Чему равен модуль нуля?
Может ли модуль какого-нибудь числа быть отрицательным числом?
Назовите число, противоположное числу 5?
Какое число противоположно самому себе?

Вывод

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.

Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного числа.

На горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой.

Список использованных источников

1. Математическая энциклопедия (в 5 томах). - М.: Советская Энциклопедия, 2002. - Т. 1.
2. «Новейший справочник школьника» «ДОМ XXI век» 2008 г.
3. Конспект урока на тему "Сравнение чисел" Автор: Петрова В. П., учитель математики (5-9 класс), г. Киев
4. Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы

Над уроком работали
Паутинка А.В.
Петрова В.П.

Скомпоновано и отредактировано Паутинкой А.В.

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме , где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав

Урок математики в 6 В классе

Тема : «Сравнение положительных и отрицательных чисел»

Тип урока : урок постановки учебной задачи

Формы работы : индивидуальная, фронтальная, парная, групповая.

Методы обучения : словесный, наглядный, практический, проблемный.

Оборудование : компьютер, мультимедийный проектор.

Цели урока :

Познавательные: сформулировать правило сравнения чисел с разными знаками, научиться применять его на практике.

Метапредметные, в том числе:

Регулятивные: поставить учебную задачу на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимися, и того, что еще неизвестно; определить последовательность действий для решения поставленной задачи; откорректировать результат с учетом оценки самим обучающимся, учителем, товарищами; осознать качество и уровень усвоения материала.

Коммуникативные: научиться инициативному сотрудничеству в поиске решения поставленной задачи; научиться с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.

Ход урока

Мотивация.

Мы с вами продолжаем работать с положительными и отрицательными числами. С положительными числами мы знакомы давно, сначала мы научились их сравнивать, затем выполнять различные действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Как вы считаете, можно ли с отрицательными числами выполнять те же самые действия, что и с положительными? (отвечают). Чему бы вы хотели научиться сегодня на уроке?

Постановка цели: Вывести правило сравнения чисел с разными знаками, и научиться его применять.

Актуализация опорных знаний.

Задания для устной работы:

Дайте определение модуля.

Какой знак имеют числа, расположенные на координатной прямой правее нуля? Левее нуля?

Найдите модуль числа 6,8; -3,5; 18,11; 0,03; -12,3

Постановка учебной задачи.

Сравните модули чисел

Как сравнить числа с помощью координатной прямой?
Точка А на координатной прямой расположена левее точки В. Координата какой точки больше?
Какая точка на координатной прямой расположена левее?
1. А(0,6) или В(3,11)

Решение проблемы.

Для выполнения следующего задания разделимся на 5 групп по 6 человек. Каждой группе необходимо сравнить числа и ответить на поставленные вопросы

2. 2 и -11
3. -15 и 16

Первичное закрепление.

Назовите пять различных чисел

больших 0;

меньших 0;

меньших -5;

больших -3;

больших -11, но меньших -3

Между какими соседними целыми числами расположено число 3,8; число -8,9

Запишите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами -2,5 и 6; между числами -17,3 и -8,1

Самостоятельно запишите числа в порядке убывания -6,9; 3,8; 5; -10; 15; 0; -3:

Постановка домашнего задания. п.29, учить правило сравнения положительных и отрицательных чисел, выполнить № 995, 996, 997, 999, 1000

Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Какие цели мы сегодня ставили на уроке, на все ли поставленные вопросы мы ответили?
Расскажите как сравнить положительное и отрицательное число?
Как сравнить два отрицательных числа?
Заполните, пожалуйста, оценочные карточки по сегодняшнему уроку.

Сравните числа с помощью координатной прямой:

2 и -11
-15 и 16

Дайте ответы на следующие вопросы:

Сравните два положительных числа

Сравните положительное число с нулем

Сравните отрицательное число с нулем

Сравните положительное и отрицательное числа

Сравните два отрицательных числа

Оценочный лист