§ 1. Поворот и центральная симметрия - Учебник по Математикe 6 класс (Зубарева, Мордкович)
Краткое описание:
В этом параграфе мы переходим к изучению новой темы в геометрии: поворот и центральная симметрия. Что поможет нам разобраться в том, что такое поворот в геометрическом понимании, как поворачивать точки, отрезки или целые фигуры, а также какие точки отрезки или фигуры можно считать симметричными.
Поворотом точки можно считать движение точки во круг другой точки на плоскости, при этом другая точка остается неподвижной. Поворот можно осуществить на любое расстояние, такое расстояние измеряется в градусах, измерить его можно с помощью транспортира. Кроме точек могут перемещаться целые фигуры и рисунки. Так, мы можем наблюдать много примеров использования поворотов в реальной жизни – симметричные растения, цветы, фрукты, разрезанные пополам, строительные элементы, например, винтовые лестницы, обувь – правые и левые ботинки. Так, звезды вращаются вокруг полюса, изменяя свое положение только относительно одной точки. Для геометрического построения поворота удобно использовать циркуль и транспортир. Симметрию можно определить как одинаково отдаленное расположение точек относительно одного центра. В повседневной жизни мы часто встречаемся с симметричными предметами. Но стоит заметить, что в природе не существует идеальной симметрии, даже лицо человека не может быть идеально симметричным. Но предметы, которые мы используем для повседневной деятельности, готовки, приготовления уроков, игры, чаще всего симметричны. Интересно? Предлагаем подробнее ознакомиться с материалом параграфа в учебнике!
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока:
Оборудование: интерактивная доска, презентация к уроку.
План урока.
- Организационный момент.
- Повторение действий с десятичными дробями.
- Изучение нового материала, первоначальное закрепление.
- Итог урока, домашнее задание.
Ход урока
1. Организационный момент.
Сообщение о требованиях к уроку, необходимых инструментах и пособиях.
Что изучает математика в 6 классе.
2. Повторение.
1) Вспомнить правила действий с десятичными дробями, привести примеры.
2) Устный счет (используется “Математический тренажер”, 6 класс, стр. 10 , задание на ИД).
3) Письменная работа № 14, 15 по первой строчке в каждом номере (у доски 1 ученик по желанию работает на оценку).
№14 а) 2, 31+ 15, 7= 18, 01
в) 4, 327 – 2, 05 = 2, 277
д) 15, 6 + 0, 671 = 16, 271
№15 а) 91, 05 · 3, 2 = 291, 36
в) 268, 8: 5,6 = 48
д) 7, 02 · 0, 0055 = 0, 03861
3. Изучение нового материала.
Тема нашего урока “Поворот и центральная симметрия” (Слайд 1)
В геометрии рассматриваются вопросы, связанные с движением фигур. Мы сегодня познакомимся с поворотом и центральной симметрией.
1) Возьмем на плоскости точки О и А. Повернем точку А вокруг точки О на некоторый угол. Точка А перейдет в точку А 1 . (Слайд 2). Сделаем такое же построение в тетради, заполним пропуски в тексте.
При этом точка О (неподвижная точка) будет являться центром поворота, точка А – подвижная точка, а угол поворота - это угол АОА 1 . Поворот может быть как по часовой, так и против часовой стрелки.
Таким образом мы можем дать определение поворота:
Опр. Поворо"т (враще"ние) - движение, при котором по крайней мере одна точка плоскости остаётся неподвижной (щелчок мышью).
2) Рассмотрите рисунок (щелчок мышью ). Здесь также показаны повороты точек. Опишите этот рисунок и определите, на какой угол поворачивается точка в каждом случае. Для какой точки угол поворота можно определить без транспортира? Охарактеризуйте расположение начальной и конечной точек относительно центра. (Устная работа по рисунку 2 из учебника)
3) Поворот - естественный процесс, происходящий в природе, окружающем нас мире.
Рассмотрите рисунки, дайте характеристику каждому повороту. (Слайд 3, 4)
4) Выполним письменно задание №1. (Слайд 5)
Постройте образ отрезка MN= 4 см при повороте на угол 90° вокруг точки О по часовой стрелке.
(Обсуждается алгоритм выполнения поворота и поэтапно вместе с анимацией выполняется построение в тетрадях. Учитель контролирует выполнение заданий и оказывает необходимую помощь).
Сравните отрезки MN и M 1 N 1 .
5) На следующем слайде вы видите различные орнаменты (Слайд 6). Все они состоят из одинаково повторяющихся элементов. Укажите эти элементы. Обратите внимание на фрагменты орнаментов б), г), е), ж). Что их объединяет? (Каждый из них можно получить из другой части поворотом на 180° относительно некоторой точки).
6) Рассмотрим следующий поворот. (Слайд 7)
Отметим на плоскости точки О и А, проведем прямую АО. На этой прямой отложим от точки О отрезок ОА 1 , равный отрезку АО, но по другую сторону от точки О. Получим развернутый угол АОА 1 . Это значит, что точку А 1 можно получить поворотом точки А на 180° вокруг точки О. Точки А и А 1 называют симметричными относительно точки О, а точку О называют центром симметрии.
Рассмотрим рисунок желтой и красной рыбы. Они симметричны относительно точки О.
Опр. Фигуры, симметричные относительно какой-либо точки называют центрально симметричными фигурами.
Как расположены центрально-симметричные точки, относительно центра симметрии?
(Лежат на одной прямой с центром симметрии)
7) Устно №1 стр.7 рис.7. (Слайд 8). Укажите центр симметрии и какие-нибудь пары центрально-симметричных точек.
(Слайд идет в обычном режиме или рисунок выносится на интерактивную доску, чтобы можно было выполнить необходимое построение).
8) Устно (Слайд 9 ). Укажите, какие фигуры на рисунках имеют центр симметрии.
4. Итог урока.
Ответьте на вопросы:
- Как вы поняли, что такое поворот?
- Как используя поворот, получить центрально-симметричные точки?
- Как построить центрально- симметричные точки?
При изучении темы «Поворот» учащимся дается задание: нарисовать на альбомном листе фигуру, выбрать центр поворота и угол поворота. Построить новую фигуру. Техника работы может быть различной. Например, дети часто используют апп
ликацию. На нашей виртуальной выставке вторая работа выполнена в этой технике.
А вот на 3 рисунке ученик использовал готовое изображение (аппликация) и вторую подвижную фигуру нарисовал самостоятельно.
Особенно интересны работы, выполненные с помощью карандашей, фломастеров или красок. Конечно, при составлении этих работ дети предварительно изготовили шаблон. Этот шаблон-трафарет помог им при выполнении творческих работ по другим темам "Симметрия относительно прямой", " Симметрия относительно точки ", "Параллельный перенос".
Детям особенно нравиться делать динамические модели. Их можно покрутить и выполнить поворот по часовой стрелке и против часовой стрелки. На представленной выставке только одна работа статическая на первом рисунке. Остальные работы динамические.
Для изготовления динамической модели одну фигуру надо нарисовать на альбомном листе. Вторую фигуру вырезать по шаблону из белого картона. Некоторые ребята вторую подвижную фигуру для большей надежности еще оклеили бесцветной пленкой. Например, красивая рыба в верхнем ряду. Ей уже больше 10 лет, а она выглядит, как новенькая. Не потускнели и не выгорели яркие краски. Для обозначения центра ученики используют маленькую круглую точку из картона, скрепляют подвижную фигуру с альбомным листом с помощью обычных швейных ниток. Некоторые дети использовали металлические гайки. Правда этот вариант не очень эстетично выглядит.
Есть в копилке лучших работ по теме "Поворот" работы, выполненные на фанере с помощью прибора для выжигания. Среди них есть подвижные модели и статические рисунки. Для динамических моделей надо выполнить значительно больший объем работ, ведь подвижную фигура необходимо выпилить. Вот, какая трудоемкая работа!
Лучшие работы оформляются на стенде в классе. А работы на фанере стоят в шкафах. После Выставки в кабинете я архивирую творческие работы в тематические
папки, они пополняют методическую базу кабинета. Эта папка представляется на Выставках в гимназии, проходящих в рамках различных методических
мероприятий, семинарах. Например, Выставка творческих работ учащихся в рамках
Дня открытых дверей в гимназии, на который традиционно приглашаются родители
обучающихся.
§ 1 Понятие поворот и центральная симметрия
Поворот (вращение) - это движение, при котором хотя бы одна точка плоскости остается неподвижной.
Давайте рассмотрим поворот стрелки часов. Стрелка на циферблате показывает на точку А. Через какое-то время она передвигается на точку А1, при этом место прикрепления стрелки к циферблату точка О остается неподвижным. Таким образом, стрелка часов совершает поворот.
В данном случае показан поворот точки А вокруг точки О. При повороте точка А переходит в точку А1.
Точка О (неподвижная точка) - центр поворота.
Точка А - подвижная точка.
Угол АОА1 - угол поворота, расстояние ОА равно расстоянию ОА1.
Поворот может быть как по часовой так и против часовой стрелки.
§ 2 Правила построения центрально-симметричных точек
Построим поворот точки В на 900 относительно точки О. Для этого, отмечаем на плоскости точки О и В на некотором расстоянии друг от друга.
Проводим луч ОВ. От луча ОВ с помощью транспортира строим угол 900. На полученном луче отмечаем точку В1 так, что ОВ = ОВ1.
Таким образом, мы построили поворот точки В в точку В1 , точка О - центр поворота, угол ВОВ1 - угол поворота.
Поработаем еще. Отметим на плоскости точку О. Проведем через точку О прямую ОС. На прямой обозначим отрезок ОС1 равный ОС, но по другую сторону от точки О. Получим развернутый угол СОС1. Это значит что точка С1 получена при помощи поворота точки С на угол 1800 с центром поворота О.
В данному случае точки С и С1 называются симметричными относительно точки О. Точка О - центр симметрии. Следовательно, поворот фигуры на 1800 с центром в точке называют центральной симметрией. А точки, которые лежат на одной прямой с центром симметрии по разные стороны и на равном расстоянии от него называют центрально-симметричными.
§ 3 Правила построения центрально-симметричных фигур
Центрально-симметричными могут быть и фигуры. Две фигуры F и F" называются центрально-симметричными относительно центра О, если каждой точке одной фигуры соответствует симметричная точка другой фигуры.
F F1
§ 4 Практическое задание
Перейдем к практическому заданию. Попробуем выполнить построение центрально-симметричных отрезков. Построим отрезок АВ. Отметим центр симметрии точку О, не принадлежащую отрезку АВ. Выполним поворот точки А в точку А1, точки В в точку В1 на 1800 относительно центра О. Соединим точки А1 и В1. Отрезки АВ и А1В1 - центрально-симметричные отрезки.
Точку, при повороте вокруг которой на 1800 фигура совпадает со своим первоначальным изображением, называют центром симметрии фигуры. А саму фигуру центрально-симметричной.
Некоторые четырёхугольники — параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат — являются центрально-симметричными фигурами. Центром симметрии для них является точка пересечения диагоналей. Центром симметрии окружности является центр этой окружности. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от других центрально-симметричных фигур у прямой центров симметрии бесконечно много - любая точка прямой.
Итак, на этом уроке мы познакомились с понятиями «поворот» и «центральная симметрия», научились строить центрально-симметричные фигуры и выполнять поворот точки относительно центра, узнали о центрально-симметричных фигурах.
Список использованной литературы:
- Математика.6 класс: поурочные планы к учебнику И.И.Зубаревой, А.Г. Мордковича //автор-составитель Л.А. Топилина. Мнемозина 2009 г.
- Математика. 6класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович. Мнемозина, 2013 г.
Использованные изображения:
Точки X и X" называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них симметричной другой, если a является серидинным перпендикуляром отрезка XX". Каждая точка прямой a считается симметрична самой себе (относительно прямой a). Если дана прямая a, то каждой точке X соответсвует единственная точка X", симметричная X относительно a.
Симметрией плоскости относительно прямой a называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствие точка, симметриченая ей относительно прямой a.
Докажем, что осевая симметрия является движением успульзуя метод координат: примем прямую a за ось x декартовых координат. Тогда при симметрии относительно нее точка, имеющая координаты (x;y) будет преобразована в точку с координатами (x, -y).
Возьмем любые две точки A(x1, y1) и B(x2, y2) и рассмотрим симметричные им относительно оси x точки A"(x1,- y1) и B"(x2, -y2). Вычисляя растояния A"B" и AB, получим
Таким образом осевая симметрия сохраняет расстояние, следовтельно она является движением.
Поворот
Поворот плоскости относительно цетра O на данный угол () в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответсвие такая точка X", что, во-первых, OX"=OX, во-вторых и, в-третих, луч OX" откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота , а угол -углом поворота .
Докажем, что поворот является движением:
Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопостовляются точки X" и Y". Покажем, что X"Y"=XY.
Рассмотрим общий случай, когда точки O, X, Y не лежат на одной прямой. Тогда угол X"OY" равен углу XOY. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота. (Если это не так, то рассматриваем угол YOX). Тогда угол между OX и OY" равен сумме угла XOY и угла поворота (от OY к OY"):
с другой стороны,
Так как (как углы поворота), следовтельно. Кроме того, OX"=OX, и OY"=OY. Поэтому - по двум сторонам и углу между ними. Следовтельно X"Y"=XY.
Если же точки O, X, Y лежат на одной прямой, то отрезки XY и X"Y" будут либо суммой, любо разностью равных отрезков OX, OY и OX", OY". Поэтому и в этом случае X"Y"=XY. Итак, поворот является движением.
