Положительное число, записанное в стандартной форме , имеет вид
Число m является натуральным числом или десятичной дробью , удовлетворяет неравенству
и называется мантиссой числа, записанного в стандартной форме .
Число n является целым числом (положительным, отрицательным или нулем) и называется порядком числа, записанного в стандартной форме .
Например, число 3251 в стандартной форме записывается так:
Здесь число 3,251 является мантиссой, а число 3 является порядком.
Стандартная форма записи числа часто используется в научных расчетах и очень удобна для сравнения чисел .
Для того, чтобы сравнить два числа, записанных в стандартной форме, нужно сначала сравнить их порядки. Большим будет то число, порядок которого больше. Если же порядки сравниваемых чисел одинаковы, то нужно сравнить мантиссы чисел. Большим в этом случае будет то число, у которого мантисса больше.
Например, если сравнить между собой записанные в стандартной форме числа
и ,
то, очевидно, первое число больше второго, поскольку у него порядок больше.
Если же сравнить между собой числа
то, очевидно, что второе число больше, чем первое, поскольку порядки у этих чисел совпадают, а мантисса у второго числа больше.
С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ , опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.
Часто говорят «на порядок больше», «на порядок меньше» или даже «больше/меньше на несколько порядков». Интуитивно понятно, что «на порядок больше» означает «сильно больше», «значительно больше» – но вот хотелось бы знать, на сколько именно? Если прочитаете эту статью, будете знать точно.
Любое действительное число... Простите... Возможно, не все помнят, что это такое. А знаете – неважно. Как сказал дядюшка Мерфи: «Если вы не понимаете какой-либо термин в технической статье или документации, смело его пропускайте – статья полностью сохранит свой смысл и без этого термина».
Итак, попробуем ещё раз: любое число Х, кроме нуля, можно представить в виде
Х = Mantissa * 10 ^ Exponenta,
то есть «мантисса, помноженная на десять в степени экспонента», где
мантисса
– это число, по модулю (то есть, без знака), не меньшее единицы и меньшее десяти, а
экспонента
– любое целое число (... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...).
Ну просто эти числа так называют: одно – мантиссой, другое – экспонентой. Не нужно сильно на этом «зависать», едем дальше.
Ноль, кстати, невозможно записать таким способом, потому что мантисса, по определению, не ноль, а десятку в какую целую степень ни возводи, всё равно получится число, большее ноля, а произведение двух чисел, не равных нулю, не равно нулю.
Например,
1024 = 1.024 * 10^3
-3.14 = -3.14 * 10^0
1000000 = 1 * 10^6
Такой вид записи числа называют научным или стандартным. Он удобен, например, тем, что числа, записанные в такой нотации, удобно сравнивать: если числа имеют один и тот же знак (оба положительные или оба отрицательные), то сначала сравниваются экспоненты, и только потом, если экспоненты равны, сравниваются мантиссы.
И вот тут-то мы и подходим к ответу на вопрос, что значит «на порядок больше». Другое, более русское, название экспоненты – «порядок». Число 256 – число второго порядка, потому что 256 = 2.56 * 10^2. Миллион – число шестого порядка, миллиард – девятого. Вообще-то, 1024 ровно в 4 раза больше числа 256, но если необходимо просто определить, какое из них больше, вполне достаточно констатировать, что первое на порядок больше второго.
Подумаешь, скажете вы, открыл Америку! И так понятно: смотрим, какое число «длиннее» – то и больше! В общем – да. Интуитивно данное понятие уже входило в круг ваших понятий, в этой статье мы просто оформили их и придали им бо льшую чёткость.
Ещё парочка примеров:
пять миллиардов на три порядка больше семи миллионов;
скорость чтения/записи данных на жёсткий диск (миллисекунды, 10^(-3)) на три порядка меньше скорости доступа к оперативной памяти (микросекунды, 10^(-6)).
Вот, в первом приближении, и всё. Теперь вы можете с уверенностью щеголять этим термином. Или просто употреблять его грамотно и к месту. Последнее, пожалуй, предпочтительнее.
Почему «в первом приближении»? Хм... Есть довольно известная в кругах программистов шутка: для программиста «на порядок» означает «в два раза». Почему в два? Мы же только что рассказали, что «на порядок» – это «в десять раз»? Как вам сказать... Есть один нюанс. Но это уже тема другого разговора.
Числа, подобно единицам, также разделяются на порядки. Так, первые десять чисел называют числами первого порядка. Числа от десяти до ста называют числами второго порядка, от ста до тысячи - числами третьего порядка и т. д.
Названия чисел . При помощи указанных единиц различного порядка мы получаем названия всех остальных чисел. Так, числа, состоящие из одной, двух, трех … единиц второго порядка, или, что то же, одного, двух, трех … десятков, мы называем десять, двадцать (два десять), тридцать, сорок, пятьдесят, шестьдесят, семьдесят, восемьдесят, девяносто . Присоединяя к этим числам девять чисел первого порядка, мы получаем все числа второго порядка. Так, присоединяя к числу десять все числа первого порядка, мы получаем все числа между десятью и двадцатью: одиннадцать, двенадцать (два на десять), тринадцать, четырнадцать, пятнадцать, шестнадцать, семнадцать, восемнадцать, девятнадцать . Присоединяя к двадцати девять чисел первого порядка, получим все числа между двадцатью и тридцатью: двадцать один, двадцать два и т. д. Наибольшее число второго порядка есть девяносто девять .
Десять десятков образуют сотню или сто, единицу третьего порядка. Числа, состоящие из одной или нескольких единиц третьего порядка, мы называем: сто, двести, триста, четыреста, пятьсот, шестьсот, семьсот, восемьсот, девятьсот .
Присоединяя к этим числам все числа первого и второго порядка, мы получаем все числа третьего порядка, например, восемьсот сорок пять, девятьсот четыре. Наибольшее число третьего порядка есть девятьсот девяносто девять .
Десять сот образуют тысячу - единицу четвертого порядка. Повторяя тысячу один, два и т. д. раз, образуем числа: тысяча, две тысячи, три тысячи и т. д. Присоединяя к этим числам все числа первого, второго и третьего порядков, образуем все числа четвертого порядка и т. д.
Десятичная система . Систему счисления, в которой каждые десять единиц низшего образуют единицу следующего высшего порядка, называют десятичною. Она принята в настоящее время всеми образованными народами.
Основание системы . Число десять называется основанием системы . В основе ее лежит число десять.
Полагают, что число десять принято за основание потому, что первоначально люди считают обыкновенно по пальцам.
Пример . Шесть миллионов пятьсот семь тысяч двести семь есть число седьмого порядка. Оно состоит из шести единиц седьмого прядка (шесть миллионов), к которому присоединено число шестого порядка (пятьсот семь тысяч двести семь).
Число шестого порядка состоит из пяти единиц шестого порядка (пятьсот тысяч), к которому присоединено число четвертого порядка (семь тысяч двести семь).
Число четвертого порядка состоит из семи единиц четвертого порядка (семь тысяч), к которому присоединено число третьего порядка (двести семь).
Число третьего порядка состоит из двух единиц третьего порядка (двести), к которому присоединяется число первого порядка (семь).
Число семь состоит из семи простых единиц.
Всякое число содержится между двумя единицами различных порядков. Всякое число более единицы одного порядка и менее единицы следующего высшего порядка. Так, число триста сорок семь более ста и менее тысячи.
Порядок величины - класс эквивалентности величин (или шкал) C n = { x n } {\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}=\lbrace {}x_{n}\rbrace } , выражающих некоторые количества, в рамках которого все величины имеют фиксированное отношение r = x n x n − 1 {\displaystyle r={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}} к соответствующим величинам предыдущего класса.
Чаще под порядком подразумевают не сам класс эквивалентности C n {\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}} а некоторую его числовую характеристику, задающую этот класс при данных условиях (например, порядковый номер класса n {\displaystyle n} при условии, что некоторый класс C 0 {\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}} был задан или подразумевается).
Порядок числа
При работе с числами, представленными в некоторой системе счисления по основанию b {\displaystyle b} , чаще всего принимают r = b {\displaystyle r=b} и 1 ∈ C 1 {\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}_{1}} , b ∈ C 2 {\displaystyle b\in {\mathcal {C}}_{2}} . При этом n {\displaystyle n} совпадает с количеством цифр в числе, если его записать в позиционной системе счисления .
В частности при помощи понятия логарифмической функции может быть сформулировано необходимое условие принадлежности чисел к одному порядку: Пусть на множестве положительных чисел задано какое-то разбиение на порядки. Если два числа принадлежат одному порядку, то | log r x 1 x 2 | < 1 {\displaystyle \left|\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right|<1} .
Доказательство
Действительно, пусть числа
m
∈
C
n
{\displaystyle m\in {\mathcal {C}}_{n}}
и
M
∈
C
n
{\displaystyle M\in {\mathcal {C}}_{n}}
являются минимальным и максимальным числом, принадлежащим порядку
C
n
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}
. Если число
x
∈
C
n
{\displaystyle x\in {\mathcal {C}}_{n}}
так же принадлежит порядку
C
n
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}
, то его значение должно удовлетворять условию
m
≤
x
≤
M
{\displaystyle m\leq x\leq M}
. В то же время числа
r
m
{\displaystyle rm}
и
1
r
M
{\displaystyle {\frac {1}{r}}M}
принадлежат смежным с порядком
C
n
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}
порядкам
C
n
+
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{n+1}}
и
C
n
−
1
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{n-1}}
соответственно. Из этого следует, что для любого числа
x
{\displaystyle x}
в данном порядке выполняется соотношение
1
r
M
<
m
≤
x
≤
M
<
r
m
{\displaystyle {\frac {1}{r}}M
Пусть два числа и принадлежат данному порядку C n {\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}} . Тогда − 1 = log r m r m < log r x 1 x 2 < log r M 1 r M = 1 {\displaystyle -1=\log _{r}{\frac {m}{rm}}<\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}<\log _{r}{\frac {M}{{\frac {1}{r}}M}}=1} .
Разность порядков
Если два числа x 1 {\displaystyle x_{1}} и x 2 {\displaystyle x_{2}} принадлежат порядкам x 1 ∈ C n 1 {\displaystyle x_{1}\in {\mathcal {C}}_{n_{1}}} и x 2 ∈ C n 2 {\displaystyle x_{2}\in {\mathcal {C}}_{n_{2}}} в некотором разбиении положительных чисел на порядки, то значение d = d (x 1 , x 2) = n 2 − n 1 {\displaystyle d=d(x_{1},x_{2})=n_{2}-n_{1}} иногда называют разностью порядков этих чисел.
Для двух чисел x 1 {\displaystyle x_{1}} и x 2 {\displaystyle x_{2}} разность их порядков может быть найдена как d = ⌊ log r x 2 x 1 ⌋ {\displaystyle d=\left\lfloor \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right\rfloor } при x 2 ≥ x 1 {\displaystyle x_{2}\geq x_{1}} .
Доказательство
Выберем число x 2 ∗ ∈ C n 1 {\displaystyle x_{2}^{\mathord {*}}\in {\mathcal {C}}_{n_{1}}} принадлежащее порядку C n 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}_{n_{1}}} и соответствующее числу x 2 {\displaystyle x_{2}} из порядка C n 2 {\displaystyle {\mathcal {C}}_{n_{2}}} . По определению порядка существует такое целое d {\displaystyle d} , что x 2 ∗ = r − d x 2 {\displaystyle x_{2}^{\mathord {*}}=r^{-d}x_{2}} . Получаем, что log r x 2 x 1 = log r r d x 2 ∗ x 1 = d + log r x 2 ∗ x 1 {\displaystyle \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=\log _{r}{\frac {r^{d}x_{2}^{\mathord {*}}}{x_{1}}}=d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{\mathord {*}}}{x_{1}}}} .
Числа x 1 {\displaystyle x_{1}} и x 2 ∗ {\displaystyle x_{2}^{\mathord {*}}} принадлежат одному порядку и потому log r x 2 ∗ x 1 < 1 {\displaystyle \log _{r}{\frac {x_{2}^{\mathord {*}}}{x_{1}}}<1} . В то же время число d {\displaystyle d} является целым, а значит d = ⌊ d ⌋ = ⌊ d + log r x 2 ∗ x 1 ⌋ = ⌊ log r x 2 x 1 ⌋ {\displaystyle d=\left\lfloor {}d\right\rfloor =\left\lfloor {}d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{\mathord {*}}}{x_{1}}}\right\rfloor =\left\lfloor \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right\rfloor } .
В случае x 2 ≤ x 1 {\displaystyle x_{2}\leq x_{1}} разность порядков иногда берут с отрицательным знаком d (x 1 , x 2) = − d (x 2 , x 1) {\displaystyle d(x_{1},x_{2})=-d(x_{2},x_{1})} .
Равенство разности порядков нулю является необходимым и достаточным условием того, что числа принадлежат к одному порядку.
Обобщение разности порядков
Иногда понятие разности порядков обобщают, снимая требование принадлежности к классу целых чисел и определяя её через выражение d = log r x 2 x 1 {\displaystyle d=\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}} .
В такой интерпретации смысл приобретают выражения вроде «числа x 1 {\displaystyle x_{1}} и x 2 {\displaystyle x_{2}} различаются не более чем на полпорядка», то есть | log r x 2 x 1 | ≤ 1 2 {\displaystyle \left|\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|\leq {\frac {1}{2}}}
На порядок - это на сколько?
Порядок — это понятие пришло из математики. Помните, учили: единицы, десятки, сотни, тысячи. Вот это и есть порядок. значит, если одни получают 10 тысяч, а другие на порядок выше, то это уже будет 100 тысяч. На порядок выше.
На порядок это не на сколько, на порядок это, в десятичной системе счисления, в десять раз больше.
В двоичной системе — в два раза.
В восмеричной — в восемь раз.
В двенадцатиричной — в, правильно, двенадцать раз.
Но этими системами мы в обиходе не пользуемся, поэтому на порядок, это в десять раз.
Когда вам кто-то говорит в соседнем магазине цена на порядок ниже, плюньте говорящему в лицо, за наглую ложь.
Если говорят — надо, чтобы автомобилей в Москве было на порядок меньше, что это значит? Значит, их в 10 раз больше, чем хотелось бы. На порядок меньше, или ниже — в десять раз меньше. На два порядка -соответственно в двадцать.
Еще пример: российская футбольная сборная на порядок сильнее команды Люксембурга — это образное выражение, точно измерить силу каждой из команд нельзя, но вс равно, если понимать буквально — то в те же 10 раз. Или — ВВП Британии на порядок больше, чем у Ирландии — речь тоже идет в 10 раз большем преимуществе, или около того. Если учесть, что реальное соотношение 2,52 млрд долларов к 0,2, то формулировка на порядок больше здесь вполне уместна.
Люди достаточно часто употребляют данное выражение в разговоре, порой даже не задумываясь, сколько это — на порядок.
Так вот на порядок , на самом деле означает, в десять раз больше .
Например, 100 на порядок больше, чем 10. Или у Вани 10 яблок, что на порядок меньше, чем у Пети (у него 100 яблок).
Это из азов математики. порядок — это единицы. десятки. сотни… Стало быть, на порядок выше (дороже. дешевле) ЕДИНИЦЫ будет число 10, а на порядок больше ДЕСЯТИ — это 100. Поэтому с выражением на порядок надо быть осторожными: иногда говорят. что сахар подорожал НА ПОРЯДОК. На самом же деле цена сахара выросла вдвое…
Я вам скажу по секрету, многие люди сами не знают что это значит, хоть и употребляют это выражение повсеместно. На порядок означает в 10 раз, может быть больше (умножаем), может быть и меньше (тогда делим).
На порядок больше или на порядок меньше — это значит в 10 раз.
Порядок показывает скольки значное число.
Например число 30 на порядок больше, чем число 3.
Мне нравится эта фраза в отношении заработка, когда смотришь на ТОП по заработку и думаешь, к примеру: У ТОПа 1 заработок на порядок больше, чем у ТОПа 2.
То есть на порядок больше — это значит разрядность числа больше на 1, например если сравнивать шестизначные и семизначные числа, то семизначные на порядок больше. Хотя число 999 не посчитают на порядок меньше, чем число 1000, хотя число 999 трхзначное, а 1000 — четырхзначное, так как между 999 и 1000 слишком малая разница (999+1=1000).
В общении часто принято упрощать, поэтому могут сказать, что на порядок больше, к примеру 400 рублей относительно 50 рублей. Вроде больше только в 8 раз, но вс равно почти в 10, поэтому фраза на порядок больше вполне допустима.
В математике порядок — это количество цифр в числе. Например числа первого порядка в обычной десятичной системе — это единицы, цифры от 1 до 9. Второй порядок — десятки, то есть числа от 10 до 90. Третий порядок — три цифры составляющие число и соответственно это 100 — 900. В любом числе более высокого порядка могут содержаться числа меньшего порядка. Например в числе третьего 456 содержаться и числа второго порядка, десятки, это 50, и числа первого порядка, единицы — это шестерка. Поэтому когда говорят, на порядок подразумевают изменение количественной оценки чего-либо в десять раз. Появление в оценке число высшего или низшего порядка.
Порядок величины — математическмй термин. Например, существует порядок единиц, десяток или сотен.
А вот в речи часто используют словосочетание на порядок больше, чаще всего не задумываясь, на сколько это. Обычно подразумевают, что в десять раз больше.
Иногда употребляют образное сравнение: на порядок умнее или на порядок лучше. При этом подразумевают, что значительно умнее или значительно лучше.
На порядок больше/меньше означает в десять раз больше/меньше. Понятие математическое, используется в разговорной речи относительно неисчисляемых категорий с целью указать на большой разрыв между сравниваемыми объектами. В математике же это вполне точное понятие.
