푸리에 시리즈. 솔루션의 예. 예제와 문제의 푸리에 급수 함수를 푸리에 급수로 확장하는 예

2. 푸리에 공식을 사용한 계열 계수 결정.

주기가 2π인 주기 함수 f(x)를 간격 (-π, π)에서 주어진 함수로 수렴하는 삼각 급수로 표현되도록 합니다. 즉, 이 급수의 합입니다.

이 등식의 좌변에 있는 함수의 적분은 이 급수 항의 적분의 합과 같다고 가정해 보겠습니다. 주어진 삼각함수 계열의 계수로 구성된 수열이 절대적으로 수렴한다고 가정하면, 즉 양수 계열이 수렴한다고 가정하면 이는 사실이 됩니다.

계열 (1)은 주요화 가능하며 구간 (-π, π)에서 항별로 적분될 수 있습니다. 평등(2)의 양면을 통합해 보겠습니다.

오른쪽에 나타나는 각 적분을 개별적으로 평가해 보겠습니다.

,

,

따라서, , 어디

. (4)

푸리에 계수 추정. (부그로프)

정리 1. 주기 2π의 함수 fc(x)가 전체 실수 축의 부등식을 충족하는 차수 s의 연속 도함수 fc(s)(x)를 갖도록 합니다.

│ │ (s) (x)│≤ M s ; (5)

함수 f의 푸리에 계수는 부등식을 충족합니다.

증거. 부품별로 통합하고 다음 사항을 고려합니다.

θ(-π) = θ(π), 우리는

(7)의 우변을 순차적으로 적분하면 도함수 θ ΄, …, θ(s-1)이 연속적이고 점 t = -π 및 t = π에서 동일한 값을 취한다는 점을 고려하여 다음과 같이 됩니다. 추정값(5)뿐만 아니라 첫 번째 추정값(6)도 얻습니다.

두 번째 추정치(6)도 비슷한 방식으로 구해집니다.

정리 2. 푸리에 계수 f(x)에 대해 다음 부등식이 성립합니다.

(8)

증거. 우리는

(9)

이 경우 변수의 변화를 도입하고 f(x)가 주기 함수라는 점을 고려하면 다음을 얻습니다.

(9)와 (10)을 더하면,

비슷한 방식으로 b k에 대한 증명을 수행합니다.

결과. 함수 f(x)가 연속적이면 푸리에 계수는 0이 되는 경향이 있습니다: a k → 0, b k → 0, k → .

스칼라 곱을 사용한 함수의 공간.

함수 f(x)가 제1종 불연속성을 갖는 유한 개수의 점을 제외하고 이 구간에서 연속인 경우 구간 연속이라고 합니다. 이러한 점은 실수로 더해지고 곱해질 수 있으며 결과적으로 다시 세그먼트의 조각별 연속 함수가 얻어집니다.

(a에 대한 두 조각 연속의 스칼라 곱< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

분명히 조각별 연속 함수 f, ψ, ψ에 대해 다음 속성이 충족됩니다.

1) (f, ψ) =(ψ, f);

2) (f, f) 및 등식 (f, f) = 0에서 f(x) =0이 됩니다. 아마도 유한한 수의 점 x를 제외하고;

3) (α θ + β Φ, ψ) = α(θ, ψ) + β(ψ, ψ),

여기서 α, β는 임의의 실수입니다.

우리는 식 (11)에 따라 스칼라 곱이 도입되는 간격에 정의된 모든 조각별 연속 함수 집합을 나타냅니다. 그리고 그걸 우주라고 불러

참고 1.

수학에서 공간 = (a, b)는 르베그 의미에서 제곱과 함께 적분할 수 있는 함수 f(x)의 모음이며, 스칼라 곱은 공식 (11)에 따라 도입됩니다. 문제의 공간은 일부이다. 공간은 공간의 많은 속성을 가지고 있지만 전부는 아닙니다.

속성 1), 2), 3)에서 중요한 Bunyakovsky 불평등 | (f, ψ) | ≤ (θ, θ) ½ (θ, θ) ½, 적분 언어에서는 다음과 같습니다.

크기

함수 f의 노름(Norm)이라고 합니다.

표준에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

1) || f || ≥ 0, 이 경우 동등성은 영 함수 f = 0, 즉 유한한 수의 점을 제외하고는 0과 같은 함수에 대해서만 가능합니다.

2) || f + ψ || ≤ || f(x) || || ∨ ||;

3) || α § || = | α | · || § ||,

여기서 α는 실수입니다.

적분 언어의 두 번째 속성은 다음과 같습니다.

민코프스키 부등식(Minkowski inequality)이라고 합니다.

그들은 일련의 함수( f n )가 다음과 같은 경우 평균 제곱의 의미(또는 표준)에 속하는 함수에 수렴한다고 말합니다.

함수 fcn(x)의 시퀀스가 ​​세그먼트의 함수 fc(x)에 균일하게 수렴하는 경우 n이 충분히 큰 경우 절대값의 차이 fc(x) - fcn(x)는 모두 작아야 합니다. x 세그먼트에서.

구간 에 대한 평균 제곱의 의미에서 fcn(x)가 fc(x)인 경향이 있는 경우 표시된 차이는 의 모든 곳에서 큰 n에 대해 작지 않을 수 있습니다. 세그먼트의 일부 위치에서는 이 차이가 클 수 있지만 유일한 중요한 점은 세그먼트에 대한 제곱의 적분이 큰 n에 대해 작다는 것입니다.

예. 그림에 표시된 연속 조각별 선형 함수 f n (x) (n = 1, 2,...)을 지정하면 다음과 같습니다.

(Bugrov, p. 281, 그림 120)

임의의 자연수 n에 대해

결과적으로 이 함수 시퀀스는 n → 과 같이 0으로 수렴하지만 균일하게 수렴하지는 않습니다. 그 동안에

즉, 함수 시퀀스(f n (x))는 에 대한 평균 제곱의 의미에서 0이 되는 경향이 있습니다.

특정 함수 시퀀스의 요소 fc 1, fc 2, fc 3,… (에 속함)에서 우리는 시리즈를 구성합니다.

¡ 1 + ¡ 2 + ¡ 3 +… (12)

처음 n항의 합

σ n = § 1 + § 2 + … + § n

에 속하는 기능이 있습니다. 다음과 같은 함수 f가 존재하는 경우

|| f- σ n || → 0 (n → 무한),

그런 다음 그들은 계열 (12)가 평균 제곱 의미에서 함수 f로 수렴한다고 말하고 다음과 같이 씁니다.

¡ = ¡ 1 + ¡ 2 + ¡ 3 +…

노트 2.

우리는 복소수 함수의 공간 = (a, b)를 고려해 볼 수 있습니다. 기능. 이 공간에서 함수는 복소수와 함수 θ(x) = θ 1 (x) + iθ 2 (x) 및 Φ(x) = Φ 1 (x) +i Φ 2 (x)의 스칼라 곱으로 곱해집니다. )은 다음과 같이 정의됩니다.

그리고 노름 f는 다음과 같은 값으로 정의됩니다.

푸리에 급수는 특정 주기를 갖는 임의의 함수를 급수 형태로 표현한 것입니다. 일반적으로 이 솔루션을 직교 기반을 따라 요소를 분해한다고 합니다. 함수를 푸리에 급수로 확장하는 것은 적분, 미분, 인수 및 컨볼루션에 의한 표현 이동 중 이러한 변환의 특성으로 인해 다양한 문제를 해결하는 매우 강력한 도구입니다.

고등 수학과 프랑스 과학자 푸리에의 작품에 익숙하지 않은 사람은 이러한 "시리즈"가 무엇인지, 무엇이 필요한지 이해하지 못할 가능성이 높습니다. 한편, 이러한 변화는 우리 삶에 상당히 통합되었습니다. 이는 수학자뿐만 아니라 물리학자, 화학자, 의사, 천문학자, 지진학자, 해양학자 등 많은 사람들이 사용합니다. 또한 시대를 앞선 발견을 한 위대한 프랑스 과학자의 작품을 자세히 살펴보겠습니다.

인간과 푸리에 변환

푸리에 급수(Fourier series)는 (분석 등과 함께) 방법 중 하나로 사람이 소리를 들을 때마다 이 과정이 일어난다. 우리의 귀는 자동으로 탄성 매체의 기본 입자를 다양한 높이의 톤에 대한 연속적인 볼륨 수준의 행(스펙트럼을 따라)으로 변환합니다. 다음으로, 뇌는 이 데이터를 우리에게 친숙한 소리로 바꿉니다. 이 모든 것은 우리의 욕망이나 의식 없이 저절로 발생하지만 이러한 과정을 이해하려면 고등 수학을 연구하는 데 몇 년이 걸릴 것입니다.

푸리에 변환에 대한 추가 정보

푸리에 변환은 분석적, 수치적 및 기타 방법을 사용하여 수행할 수 있습니다. 푸리에 급수는 바다의 조수와 광파에서 태양(및 기타 천체) 활동의 주기에 이르기까지 모든 진동 과정을 분해하는 수치적 방법을 나타냅니다. 이러한 수학적 기술을 사용하면 모든 진동 프로세스를 최소에서 최대로 그리고 그 반대로 이동하는 일련의 정현파 구성 요소로 나타내는 함수를 분석할 수 있습니다. 푸리에 변환은 특정 주파수에 해당하는 정현파의 위상과 진폭을 설명하는 함수입니다. 이 프로세스는 열, 빛 또는 전기 에너지의 영향으로 발생하는 동적 프로세스를 설명하는 매우 복잡한 방정식을 푸는 데 사용할 수 있습니다. 또한 푸리에 계열을 사용하면 복잡한 진동 신호에서 상수 성분을 분리할 수 있으므로 의학, 화학, 천문학에서 얻은 실험 관찰을 정확하게 해석할 수 있습니다.

역사적 참고자료

이 이론의 창시자는 프랑스 수학자 장 바티스트 조제프 푸리에(Jean Baptiste Joseph Fourier)입니다. 이 변화는 이후 그의 이름을 따서 명명되었습니다. 처음에 과학자는 자신의 방법을 사용하여 열전도도 메커니즘, 즉 고체의 열 확산을 연구하고 설명했습니다. 푸리에는 초기의 불규칙 분포가 단순한 정현파로 분해될 수 있으며, 각각은 고유한 온도 최소값과 최대값은 물론 자체 위상을 갖게 될 것이라고 제안했습니다. 이 경우 각 구성 요소는 최소값에서 최대값까지 측정되며 그 반대도 됩니다. 곡선의 위쪽 및 아래쪽 피크와 각 고조파의 위상을 설명하는 수학 함수를 온도 분포 표현의 푸리에 변환이라고 합니다. 이론의 저자는 수학적으로 설명하기 어려운 일반 분포 함수를 매우 편리한 코사인 및 사인 계열로 축소하여 함께 원래 분포를 제공합니다.

변혁의 원리와 동시대인의 견해

과학자의 동시대 사람들(19세기 초의 주요 수학자)은 이 이론을 받아들이지 않았습니다. 주된 반대는 직선이나 불연속 곡선을 설명하는 불연속 함수가 연속적인 정현파 표현의 합으로 표현될 수 있다는 푸리에의 주장이었습니다. 예를 들어 헤비사이드(Heaviside) 단계를 생각해 보세요. 해당 값은 불연속점 왼쪽에서 0이고 오른쪽에서 1입니다. 이 기능은 회로가 닫혀 있을 때 임시 변수에 대한 전류의 의존성을 설명합니다. 그 당시 이론의 동시대인들은 불연속 표현이 지수, 사인, 선형 또는 2차와 같은 연속적이고 일반적인 함수의 조합으로 설명되는 유사한 상황을 결코 경험하지 못했습니다.

푸리에의 이론에 대해 프랑스 수학자들을 혼란스럽게 한 것은 무엇입니까?

결국 수학자의 주장이 옳았다면 무한 삼각 푸리에 급수를 합산하면 유사한 단계가 많더라도 단계 표현의 정확한 표현을 얻을 수 있습니다. 19세기 초에는 그러한 진술이 터무니없는 것처럼 보였습니다. 그러나 모든 의심에도 불구하고 많은 수학자들은 이 현상에 대한 연구 범위를 열전도율 연구 이상으로 확대했습니다. 그러나 대부분의 과학자들은 "정현파 급수의 합이 불연속 함수의 정확한 값으로 수렴할 수 있는가?"라는 질문에 계속해서 괴로워했습니다.

푸리에 급수의 수렴: 예

수렴의 문제는 무한한 수열의 합이 필요할 때마다 발생합니다. 이 현상을 이해하려면 전형적인 예를 생각해 보십시오. 이후의 각 단계가 이전 단계의 절반 크기라면 과연 벽에 도달할 수 있을까요? 목표로부터 2미터 떨어져 있다고 가정해 보겠습니다. 첫 번째 단계에서는 중간 지점으로 이동하고 다음 단계에서는 3/4 지점으로 이동하며 5번째 단계 이후에는 거의 97%의 경로를 이동하게 됩니다. 그러나 아무리 많은 단계를 밟아도 엄격한 수학적 의미에서 의도한 목표를 달성할 수는 없습니다. 수치 계산을 사용하면 결국 주어진 거리만큼 가까워지는 것이 가능하다는 것을 증명할 수 있습니다. 이 증명은 2분의 1, 4분의 1 등의 합이 1이 되는 경향이 있음을 입증하는 것과 같습니다.

융합의 문제: 재림, 혹은 켈빈 경의 장치

이 문제는 19세기 말에 푸리에 급수를 사용하여 조수의 강도를 예측하려고 시도하면서 다시 제기되었습니다. 이때 켈빈 경은 군대와 상선 선원들이 이러한 자연 현상을 모니터링할 수 있는 아날로그 컴퓨팅 장치인 도구를 발명했습니다. 이 메커니즘은 일년 내내 특정 항구에서 주의 깊게 측정된 조수 높이 및 해당 시점 테이블에서 위상 및 진폭 세트를 결정합니다. 각 매개변수는 조수 표현의 정현파 성분이었으며 정규 성분 중 하나였습니다. 측정값은 Lord Kelvin의 계산 도구에 입력되어 다음 해의 시간 함수로 물의 높이를 예측하는 곡선을 합성했습니다. 곧 세계의 모든 항구에 대해 유사한 곡선이 그려졌습니다.

불연속적인 기능으로 인해 프로세스가 중단되면 어떻게 되나요?

그 당시에는 많은 수의 계수 요소를 가진 해일 예측기가 많은 수의 위상과 진폭을 계산하여 보다 정확한 예측을 제공할 수 있다는 것이 명백해 보였습니다. 그러나 합성되어야 할 조석 표현이 급격한 점프를 포함하는, 즉 불연속적인 경우에는 이러한 패턴이 관찰되지 않는 것으로 밝혀졌다. 시간 순간 테이블의 데이터가 장치에 입력되면 여러 푸리에 계수가 계산됩니다. 발견된 계수에 따라 정현파 성분 덕분에 원래 기능이 복원됩니다. 원본 표현과 재구성된 표현 사이의 불일치는 어느 지점에서나 측정될 수 있습니다. 반복적인 계산과 비교를 수행하면 가장 큰 오류의 값이 감소하지 않는 것이 분명합니다. 그러나 불연속점에 해당하는 영역에 국한되어 있으며 다른 지점에서는 0이 되는 경향이 있습니다. 이 결과는 1899년 예일대학교의 조슈아 윌라드 깁스(Joshua Willard Gibbs)에 의해 이론적으로 확인되었습니다.

푸리에 급수의 융합과 수학 전반의 발전

푸리에 분석은 특정 간격에 걸쳐 무한한 수의 스파이크를 포함하는 표현식에는 적용할 수 없습니다. 일반적으로 푸리에 급수는 원래의 함수가 실제 물리적 측정의 결과로 표현되면 항상 수렴합니다. 특정 함수 클래스에 대한 이 프로세스의 수렴에 대한 질문은 일반화 함수 이론과 같은 수학의 새로운 분야의 출현으로 이어졌습니다. 그녀는 L. Schwartz, J. Mikusinski 및 J. Temple과 같은 이름과 관련이 있습니다. 이 이론의 틀 내에서 Dirac 델타 함수(한 점의 극미한 이웃에 집중된 단일 영역의 영역을 설명함) 및 Heaviside "단계"와 같은 표현에 대한 명확하고 정확한 이론적 기초가 만들어졌습니다. 이 연구 덕분에 푸리에 급수는 점 전하, 점 질량, 자기 쌍극자 및 빔의 집중 하중과 같은 직관적인 개념과 관련된 방정식 및 문제를 해결하는 데 적용 가능해졌습니다.

푸리에 방법

푸리에 급수는 간섭 원리에 따라 복잡한 형태를 단순한 형태로 분해하는 것부터 시작됩니다. 예를 들어, 열 흐름의 변화는 불규칙한 모양의 단열재로 만들어진 다양한 장애물을 통과하거나 지구 표면의 변화(지진, 천체 궤도의 변화)를 통과함으로써 설명됩니다. 행성의. 일반적으로 간단한 고전 시스템을 설명하는 방정식은 각 개별 파동에 대해 쉽게 풀 수 있습니다. 푸리에는 단순한 해를 합산하여 더 복잡한 문제에 대한 해를 산출할 수도 있음을 보여주었습니다. 수학적인 용어로 푸리에 급수는 표현을 코사인과 사인의 고조파의 합으로 표현하는 기술입니다. 따라서 이 분석을 "조화 분석"이라고도 합니다.

푸리에 급수 - "컴퓨터 시대" 이전의 이상적인 기술

컴퓨터 기술이 탄생하기 전에 푸리에 기술은 우리 세계의 파동 특성을 다룰 때 과학자들의 무기고에서 최고의 무기였습니다. 복잡한 형태의 푸리에 급수는 뉴턴의 역학 법칙을 직접 적용할 수 있는 간단한 문제뿐만 아니라 기본 방정식도 풀 수 있게 해줍니다. 19세기 뉴턴 과학의 대부분의 발견은 푸리에의 기술에 의해서만 가능해졌습니다.

오늘의 푸리에 급수

컴퓨터의 발전으로 푸리에 변환은 질적으로 새로운 수준으로 향상되었습니다. 이 기술은 과학 기술의 거의 모든 분야에서 확고히 자리 잡았습니다. 디지털 오디오와 비디오가 그 예입니다. 그 구현은 19세기 초 프랑스 수학자에 의해 개발된 이론 덕분에 가능해졌습니다. 이처럼 복잡한 형태의 푸리에 급수는 우주공간 연구에 획기적인 발전을 가져올 수 있게 되었다. 또한 반도체 재료 및 플라즈마 물리학, 마이크로파 음향학, 해양학, 레이더 및 지진학 연구에도 영향을 미쳤습니다.

삼각 푸리에 급수

수학에서 푸리에 급수는 임의의 복잡한 함수를 더 간단한 함수의 합으로 표현하는 방법입니다. 일반적으로 이러한 표현의 수는 무한할 수 있습니다. 또한 계산 시 숫자를 더 많이 고려할수록 최종 결과가 더 정확해집니다. 대부분의 경우 코사인 또는 사인의 삼각 함수가 가장 간단한 함수로 사용됩니다. 이 경우 푸리에 급수를 삼각함수라고 하며, 이러한 표현의 해를 조화팽창이라고 합니다. 이 방법은 수학에서 중요한 역할을 합니다. 우선, 삼각함수 계열은 함수를 묘사하고 연구하는 수단을 제공하며 이론의 주요 장치입니다. 또한 수리 물리학의 여러 문제를 해결할 수 있습니다. 마지막으로, 이 이론은 수학 과학의 매우 중요한 여러 분야(적분 이론, 주기 함수 이론)의 발전에 기여했습니다. 또한 실변수의 다음 함수 개발의 출발점이 되었으며, 조화해석의 초석을 마련하였다.

이미 꽤 지루합니다. 그리고 이론의 전략적 비축량에서 새로운 통조림을 추출해야 할 때가 왔다고 느낍니다. 다른 방법으로 함수를 시리즈로 확장할 수 있나요? 예를 들어, 사인과 코사인의 관점에서 직선 세그먼트를 표현합니까? 믿을 수 없을 것 같지만 이렇게 멀리 떨어져 있는 기능은
"통일". 이론과 실제의 친숙한 수준 외에도 기능을 시리즈로 확장하는 다른 접근 방식이 있습니다.

이 강의에서 우리는 삼각법 푸리에 급수에 대해 알아보고 수렴과 합 문제를 다루며 물론 푸리에 급수의 함수 확장에 대한 수많은 예를 분석할 것입니다. 나는 진심으로 이 기사를 "입문자를 위한 푸리에 시리즈"라고 부르고 싶었지만, 문제를 해결하려면 수학적 분석의 다른 분야에 대한 지식과 약간의 실제 경험이 필요하기 때문에 솔직하지 못할 것입니다. 그러므로 서문은 우주 비행사 훈련과 유사할 것입니다 =)

첫째, 우수한 형태의 페이지 자료 연구에 접근해야합니다. 졸리고, 쉬고, 술에 취하지 마십시오. 부러진 햄스터 다리에 대한 강한 감정과 수족관 물고기의 삶의 어려움에 대한 강박적인 생각이 없습니다. 푸리에 시리즈는 이해하기 어렵지 않지만 실제 작업에는 주의 집중이 필요합니다. 이상적으로는 외부 자극으로부터 완전히 분리되어야 합니다. 정답을 확인하고 답을 쉽게 확인할 수 있는 방법이 없다는 점에서 상황은 더욱 악화된다. 따라서 건강 상태가 평균 이하라면 더 간단한 일을 하는 것이 좋습니다. 사실인가요?

둘째, 우주로 비행하기 전에 우주선의 계기판을 연구하는 것이 필요합니다. 기계에서 클릭해야 하는 기능의 값부터 시작해 보겠습니다.

자연값의 경우:

1) . 실제로 정현파는 각 "pi"를 통해 x축을 "연결"합니다.
. 인수의 음수 값의 경우 결과는 물론 동일합니다.

2) . 그러나 모든 사람이 이것을 아는 것은 아니었습니다. 코사인 "pi"는 "깜빡이"와 동일합니다.

부정적인 주장은 문제를 바꾸지 않습니다. .

아마도 그것으로 충분할 것입니다.

셋째, 친애하는 우주비행사 여러분, 여러분은 다음과 같은 일을 할 수 있어야 합니다... 통합하다.
특히 자신있게 미분 부호 아래에 함수를 포함시키세요., 단편적으로 통합하다그리고 평화롭게 지내세요 뉴턴-라이프니츠 공식. 중요한 비행 전 훈련을 시작하겠습니다. 나중에 무중력 상태로 인해 찌그러지지 않도록 건너뛰는 것을 절대 권장하지 않습니다.

실시예 1

정적분 계산

자연적인 가치를 취하는 곳.

해결책: 통합은 변수 "x"에 대해 수행되며 이 단계에서 이산 변수 "en"은 상수로 간주됩니다. 모든 적분에서 함수를 미분 기호 아래에 넣습니다.:

대상으로 삼기에 좋은 솔루션의 짧은 버전은 다음과 같습니다.

익숙해지자:

남은 4개의 포인트는 여러분의 몫입니다. 작업에 성실하게 접근하고 짧은 방식으로 통합을 작성하십시오. 수업이 끝나면 샘플 솔루션을 제공합니다.

QUALITY 훈련을 마친 후 우주복을 입습니다.
그리고 시작 준비!

구간에서 푸리에 급수로 함수 확장

다음과 같은 몇 가지 기능을 고려해보세요. 단호한적어도 일정 기간 동안(그리고 아마도 더 오랜 기간 동안). 이 함수가 구간에서 적분 가능하면 삼각함수로 확장될 수 있습니다. 푸리에 급수:
, 소위는 어디에 있습니까? 푸리에 계수.

이 경우 번호는 다음과 같습니다. 분해 기간, 그리고 그 숫자는 분해 반감기.

일반적인 경우 푸리에 급수는 사인과 코사인으로 구성된다는 것이 명백합니다.

실제로 자세히 적어 보겠습니다.

계열의 영항은 일반적으로 형식으로 작성됩니다.

푸리에 계수는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

나는 이 주제를 연구하기 시작한 사람들이 새로운 용어에 대해 아직 명확하지 않다는 것을 잘 알고 있습니다. 분해 기간, 반주기, 푸리에 계수당황하지 마세요. 우주로 나가기 전의 설렘과는 비교할 수 없습니다. 실행하기 전에 긴급한 실용적인 질문을 하는 것이 논리적인 다음 예의 모든 내용을 이해해 봅시다.

다음 작업에서 무엇을 해야 합니까?

함수를 푸리에 급수로 확장합니다. 또한 함수 그래프, 계열 합계 그래프, 부분합 그래프를 묘사해야 하는 경우가 많으며, 정교한 교수적 환상의 경우 다른 작업을 수행해야 합니다.

함수를 푸리에 급수로 확장하는 방법은 무엇입니까?

기본적으로 찾아야 할 것은 푸리에 계수즉, 세 가지를 구성하고 계산합니다. 정적분.

푸리에 급수의 일반적인 형식과 세 가지 작업 공식을 노트에 복사하세요. 사이트 방문자 중 일부가 우주 비행사가 되겠다는 어린 시절의 꿈을 내 눈앞에서 실현하고 있어 매우 기쁩니다 =)

실시예 2

구간에서 함수를 푸리에 급수로 확장합니다. 그래프, 계열의 합과 부분합의 그래프를 구성합니다.

해결책: 작업의 첫 번째 부분은 함수를 푸리에 급수로 확장하는 것입니다.

시작은 표준이므로 다음 사항을 적어 두십시오.

이 문제에서는 확장 기간이 반주기입니다.

구간에서 함수를 푸리에 급수로 확장해 보겠습니다.

적절한 공식을 사용하여 우리는 다음을 찾습니다. 푸리에 계수. 이제 우리는 세 가지를 구성하고 계산해야 합니다. 정적분. 편의상 요점에 번호를 매기겠습니다.

1) 첫 번째 적분은 가장 간단하지만 안구도 필요합니다.

2) 두 번째 공식을 사용하십시오.

이 적분은 잘 알려져 있으며 그는 그것을 하나씩 받아들인다:

발견 시 사용 미분 부호 아래에 함수를 포함시키는 방법.

고려중인 작업에서는 즉시 사용하는 것이 더 편리합니다. 정적분에서 부분별 적분 공식 :

몇 가지 기술 노트. 먼저 공식을 적용한 후 전체 표현식을 큰 괄호로 묶어야 합니다., 원래 적분 앞에 상수가 있기 때문입니다. 그녀를 잃지 말자! 괄호는 추가 단계에서 확장될 수 있습니다. 저는 최후의 수단으로 이 작업을 수행했습니다. 첫 번째 "조각"에서 치환에 세심한 주의를 기울여서 보시다시피 상수를 사용하지 않고, 적분의 한계를 제품에 치환하였습니다. 이 작업은 대괄호로 강조 표시됩니다. 글쎄, 당신은 훈련 작업에서 공식의 두 번째 "조각"의 적분에 익숙합니다.

그리고 가장 중요한 것은 - 극도의 집중력입니다!

3) 우리는 세 번째 푸리에 계수를 찾고 있습니다:

이전 적분의 상대값이 얻어지며, 이는 또한 단편적으로 통합하다:

이 사례는 좀 더 복잡합니다. 추가 단계에 대해 단계별로 설명하겠습니다.

(1) 표현식은 큰 괄호로 완전히 묶여 있습니다.. 지루해 보이고 싶지 않았습니다. 그들은 상수를 너무 자주 잃습니다.

(2) 이 경우에는 즉시 큰 괄호를 열었습니다. 특별한 관심우리는 첫 번째 "조각"에 전념합니다. 끊임없이 연기를 피우고 제품에 대한 통합 한계 ( 및 )를 대체하는 데 참여하지 않습니다. 기록이 복잡하기 때문에 이 작업을 대괄호로 강조 표시하는 것이 좋습니다. 두 번째 "조각"으로 모든 것이 더 간단합니다. 여기서 큰 괄호를 연 후에 분수가 나타 났고 상수는 친숙한 적분을 통합 한 결과입니다.

(3) 대괄호에서는 변환을 수행하고 오른쪽 적분에서는 적분 한계를 대체합니다.

(4) 대괄호에서 "번쩍이는 빛"을 제거한 다음 내부 괄호를 엽니다: .

(5) 괄호 안의 1과 -1을 취소하고 최종 단순화를 수행합니다.

마지막으로 세 가지 푸리에 계수가 모두 발견되었습니다.

이를 공식에 대입해 보겠습니다. :

동시에 반으로 나누는 것을 잊지 마십시오. 마지막 단계에서는 "en"에 의존하지 않는 상수("minus two")를 합에서 제외합니다.

따라서 우리는 구간에서 함수를 푸리에 급수로 확장했습니다.

푸리에 급수의 수렴 문제를 연구해 보자. 이론을 구체적으로 설명하겠습니다. 디리클레의 정리, 문자 그대로 "손가락에"이므로 엄격한 공식이 필요한 경우 수학적 분석 교과서를 참조하세요. (예를 들어 보한 2권이나 피히텐홀츠 3권인데 더 어렵습니다.).

문제의 두 번째 부분에서는 그래프, 계열 합계 그래프, 부분합 그래프를 그려야 합니다.

함수의 그래프는 일반적이다. 비행기의 직선, 검은색 점선으로 그려집니다.

시리즈의 합을 알아 봅시다. 아시다시피 함수 계열은 함수로 수렴됩니다. 우리의 경우, 구성된 푸리에 급수 "x" 값에 대해빨간색으로 표시된 함수로 수렴됩니다. 이 기능은 허용합니다 1종 파열점에서 정의되지만 그 점에서도 정의됩니다(그림의 빨간색 점).

따라서: . 원래 기능과 눈에 띄게 다르다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 등호 대신 물결표가 사용됩니다.

급수의 합을 구성하는 데 편리한 알고리즘을 연구해 보겠습니다.

중앙 간격에서 푸리에 급수는 함수 자체로 수렴됩니다(중앙 빨간색 세그먼트는 선형 함수의 검은색 점선과 일치합니다).

이제 고려 중인 삼각 확장의 특성에 대해 조금 이야기해 보겠습니다. 푸리에 급수 주기 함수(상수, 사인, 코사인)만 포함하므로 계열의 합은 주기적인 함수이기도 하다.

우리의 구체적인 예에서 이것은 무엇을 의미합니까? 그리고 이것은 시리즈의 합이 –확실히 주기적그리고 간격의 빨간색 부분은 왼쪽과 오른쪽으로 끝없이 반복되어야 합니다.

이제 드디어 분해기간이라는 말의 의미가 확실해진 것 같습니다. 간단히 말해서, 상황이 계속해서 반복될 때마다.

실제로는 그림에서와 같이 일반적으로 세 가지 분해 기간을 묘사하는 것으로 충분합니다. 글쎄, 그리고 이웃 기간의 "그루터기"도 있으므로 그래프가 계속되는 것이 분명합니다.

특히 관심이 있는 것은 제1종 불연속점. 그러한 지점에서 푸리에 급수는 불연속성의 "점프"(그림에서 빨간색 점)의 정확히 중간에 위치한 고립된 값으로 수렴합니다. 이 점들의 세로 좌표를 찾는 방법은 무엇입니까? 먼저 "상층"의 세로 좌표를 찾아보겠습니다. 이를 위해 확장 중심 기간의 가장 오른쪽 지점에서 함수 값을 계산합니다. "하층"의 세로 좌표를 계산하려면 가장 쉬운 방법은 같은 기간의 가장 왼쪽 값을 취하는 것입니다. . 평균값의 세로 좌표는 "상단과 하단"의 합의 산술 평균입니다. 즐거운 사실은 도면을 만들 때 중간이 올바르게 계산되었는지 잘못 계산되었는지 즉시 확인할 수 있다는 것입니다.

계열의 부분합을 구성함과 동시에 "수렴"이라는 용어의 의미를 반복해 보겠습니다. 동기는 다음 수업에서도 알려져 있습니다. 숫자 계열의 합. 우리의 부를 자세히 설명하자면 다음과 같습니다.

부분합을 구성하려면 계열의 항 0 + 두 개를 더 작성해야 합니다. 그건,

그림에서 함수의 그래프는 녹색으로 표시되어 있으며, 보시다시피 전체 합계를 매우 촘촘하게 "감싸"고 있습니다. 계열의 5개 항의 부분 합을 고려하면 이 함수의 그래프는 빨간색 선에 더욱 정확하게 근사할 것입니다. 100개의 항이 있으면 "녹색 뱀"은 실제로 빨간색 세그먼트와 완전히 병합됩니다. 등. 따라서 푸리에 급수는 그 합으로 수렴됩니다.

흥미로운 점은 부분 금액이 연속 함수그러나 계열의 총합은 여전히 ​​불연속적입니다.

실제로 부분합 그래프를 구성하는 것은 그리 드물지 않습니다. 어떻게 하나요? 우리의 경우 세그먼트의 기능을 고려하고 세그먼트 끝과 중간 지점에서 해당 값을 계산해야 합니다(고려하는 포인트가 많을수록 그래프가 더 정확해집니다). 그런 다음 그림에 이러한 점을 표시하고 해당 기간에 대한 그래프를 주의 깊게 그린 다음 이를 인접한 간격으로 "복제"해야 합니다. 또 어떻게? 결국, 근사치는 주기적인 함수이기도 합니다... ...어떤 면에서 그 그래프는 의료 기기 디스플레이에 나타나는 고른 심장 박동을 연상시킵니다.

물론 건설을 수행하는 것은 그리 편리하지 않습니다. 왜냐하면 0.5mm 이상의 정확도를 유지하면서 극도로 조심해야하기 때문입니다. 그러나 나는 그림 그리기에 익숙하지 않은 독자들을 기쁘게 할 것입니다. "실제" 문제에서는 그림을 그리는 것이 항상 필요한 것은 아닙니다. 약 50%의 경우에는 기능을 푸리에 급수로 확장해야 하며 그게 전부입니다. .

그림을 완성한 후 작업을 완료합니다.

답변:

많은 작업에서 기능이 저하됩니다. 1종 파열분해 기간 중 오른쪽:

실시예 3

구간에 주어진 함수를 푸리에 급수로 확장합니다. 함수의 그래프와 계열의 총합을 그립니다.

제안된 함수는 조각별 방식으로 지정됩니다. (그리고 세그먼트에서만 참고하세요)그리고 견디다 1종 파열시점에서 . 푸리에 계수를 계산하는 것이 가능합니까? 괜찮아요. 함수의 왼쪽과 오른쪽은 모두 해당 구간에서 적분 가능하므로 세 공식 각각의 적분은 두 적분의 합으로 표시되어야 합니다. 예를 들어 계수가 0인 경우 이 작업이 어떻게 수행되는지 살펴보겠습니다.

두 번째 적분은 0으로 밝혀져 작업량이 줄어들었지만 항상 그런 것은 아닙니다.

다른 두 개의 푸리에 계수도 유사하게 설명됩니다.

계열의 합을 표시하는 방법은 무엇입니까? 왼쪽 간격에는 직선 세그먼트를 그리고 간격에는 직선 세그먼트를 그립니다(축 섹션을 굵게 강조 표시함). 즉, 확장 구간에서 급수의 합은 세 개의 "나쁜" 점을 제외하고 모든 곳에서 함수와 일치합니다. 함수의 불연속점에서 푸리에 급수는 불연속점의 "점프" 중간에 정확히 위치하는 고립된 값으로 수렴됩니다. 구두로 보는 것은 어렵지 않습니다: 왼쪽 극한: , 오른쪽 극한: 그리고 당연히 중심점의 세로 좌표는 0.5입니다.

합계의 주기성으로 인해 그림은 인접한 기간으로 "곱셈"되어야 하며, 특히 동일한 내용이 간격 및 에 표시되어야 합니다. 동시에 푸리에 급수는 중앙값으로 수렴되는 지점이 있습니다.

사실 여기에는 새로운 것이 없습니다.

이 작업을 직접 처리해 보십시오. 수업이 끝나면 최종 디자인의 대략적인 샘플과 그림이 제공됩니다.

임의의 기간에 걸쳐 푸리에 급수로 함수 확장

"el"이 양수인 임의 확장 기간의 경우 푸리에 급수와 푸리에 계수에 대한 공식은 사인과 코사인에 대한 약간 더 복잡한 인수로 구별됩니다.

이면 우리가 시작한 간격 공식을 얻습니다.

문제 해결을 위한 알고리즘과 원리는 완전히 보존되지만 계산의 기술적 복잡성은 증가합니다.

실시예 4

함수를 푸리에 급수로 확장하고 합계를 플로팅합니다.

해결책: 실제로는 예제 3과 유사합니다. 1종 파열시점에서 . 이 문제에서는 확장 기간이 반주기입니다. 함수는 절반 구간에서만 정의되지만 이로 인해 문제가 바뀌지는 않습니다. 함수의 두 부분이 적분 가능하다는 것이 중요합니다.

함수를 푸리에 급수로 확장해 보겠습니다.

함수가 원점에서 불연속적이므로 각 푸리에 계수는 분명히 두 적분의 합으로 작성되어야 합니다.

1) 첫 번째 적분을 최대한 자세히 작성하겠습니다.

2) 우리는 달 표면을 주의 깊게 관찰합니다.

두 번째 적분 한 조각씩 가져가라:

별표로 솔루션의 연속을 연 후에는 무엇에 세심한 주의를 기울여야 합니까?

첫째, 첫 번째 적분을 잃지 않습니다. , 우리가 즉시 실행하는 곳 차동 기호 구독. 둘째, 큰 괄호 앞에 불운한 상수를 잊지 마세요. 표지판에 혼동하지 마세요수식을 사용할 때 . 큰 브래킷은 다음 단계에서 즉시 여는 것이 여전히 더 편리합니다.

나머지는 기술의 문제이며, 적분을 푸는 경험이 부족하여 어려움이 발생할 수 있습니다.

예, 프랑스 수학자 푸리에의 저명한 동료들이 분개한 것은 아무것도 아닙니다. 그가 어떻게 감히 함수를 삼각 급수로 배열할 수 있었습니까?! =) 그건 그렇고, 모든 사람들은 아마도 문제의 작업의 실제적인 의미에 관심이 있을 것입니다. 푸리에 자신은 열전도율의 수학적 모델을 연구했으며 이후 그의 이름을 딴 시리즈는 주변 세계에서 눈에 보이거나 보이지 않는 많은주기적인 과정을 연구하는 데 사용되기 시작했습니다. 그런데 두 번째 예의 그래프를 심장의주기적인 리듬과 비교 한 것이 우연이 아니라는 생각이 들었습니다. 관심 있는 사람들은 실제 적용에 익숙해질 수 있습니다. 푸리에 변환제3자 소스에서. ...하지 않는 것이 더 좋지만 - 첫사랑으로 기억될 것입니다 =)

3) 반복적으로 언급된 약한 링크를 고려하여 세 번째 계수를 살펴보겠습니다.

부분별로 통합해 보겠습니다.

발견된 푸리에 계수를 공식에 대입해 보겠습니다. , 0 계수를 반으로 나누는 것을 잊지 마세요.

계열의 합을 플로팅해 보겠습니다. 절차를 간단히 반복해 보겠습니다. 간격에 직선을 만들고 간격에 직선을 만듭니다. "x" 값이 0이면 간격의 "점프" 중간에 점을 놓고 인접한 기간에 대해 그래프를 "복제"합니다.


기간의 "교차점"에서 합계는 간격의 "점프" 중간점과 동일합니다.

준비가 된. 함수 자체는 조건에 따라 절반 간격에서만 정의되며 분명히 해당 간격의 계열 합계와 일치한다는 점을 상기시켜 드리겠습니다.

답변:

때때로 조각별로 주어진 함수는 확장 기간 동안 연속적입니다. 가장 간단한 예: . 해결책 (보한 2권 참조)이전 두 예와 동일합니다. 그럼에도 불구하고 기능의 연속성점 에서 각 푸리에 계수는 두 적분의 합으로 표현됩니다.

분해 간격에 제1종 불연속점그리고/또는 그래프에 더 많은 "교차점"이 있을 수 있습니다(2개, 3개 및 일반적으로 임의의 결정적인수량). 함수가 각 부분에 통합 가능하다면 푸리에 급수에서도 확장이 가능합니다. 하지만 실제 경험으로 볼 때 그런 잔인한 일은 기억 나지 않습니다. 그러나 방금 고려한 것보다 더 어려운 작업이 있으며 기사 마지막에는 모든 사람을 위한 복잡성이 증가하는 푸리에 계열에 대한 링크가 있습니다.

그동안 긴장을 풀고 의자에 기대어 끝없이 펼쳐진 별들을 감상해 보세요.

실시예 5

구간에서 함수를 푸리에 계열로 확장하고 계열의 합을 플로팅합니다.

이 문제에서는 함수 마디 없는확장 절반 간격에 따라 솔루션이 단순화됩니다. 모든 것이 예제 2와 매우 유사합니다. 우주선에서 탈출할 수는 없습니다. 결정해야 합니다. =) 수업 마지막 부분에 대략적인 디자인 샘플이 첨부되어 있습니다.

짝수 및 홀수 함수의 푸리에 급수 확장

짝수 및 홀수 함수를 사용하면 문제 해결 과정이 눈에 띄게 단순화됩니다. 그것이 바로 그 이유입니다. “2 파이” 주기를 갖는 푸리에 급수의 함수 확장으로 돌아가 보겠습니다. 임의의 기간 "두 엘" .

우리의 함수가 짝수라고 가정해 봅시다. 보시다시피 급수의 일반 용어에는 짝수 코사인과 홀수 사인이 포함됩니다. 그리고 EVEN 함수를 확장한다면 왜 홀수 사인이 필요한가요?! 불필요한 계수를 재설정해 보겠습니다.

따라서, 짝수 함수는 코사인에서만 푸리에 급수로 확장될 수 있습니다.:

왜냐하면 짝수 함수의 적분 0에 대해 대칭인 통합 세그먼트를 따라 두 배가 될 수 있으며 나머지 푸리에 계수는 단순화됩니다.

공백의 경우:

임의 간격의 경우:

수학적 분석에 관한 거의 모든 교과서에서 찾을 수 있는 교과서 예제에는 짝수 함수의 확장이 포함됩니다. . 또한, 내 개인 실습에서도 여러 번 이러한 문제를 접했습니다.

실시예 6

기능이 부여됩니다. 필수의:

1) 함수를 마침표가 있는 푸리에 계열로 확장합니다. 여기서 는 임의의 양수입니다.

2) 구간의 확장을 기록하고 함수를 구성한 후 계열의 총합을 그래프로 표시합니다.

해결책: 첫 번째 단락에서는 일반적인 형식으로 문제를 해결하도록 제안했는데, 이는 매우 편리합니다! 필요한 경우 값을 대체하면 됩니다.

1) 이 문제에서는 확장기간이 반주기이다. 추가 작업 중, 특히 통합 중에 "el"은 상수로 간주됩니다.

함수는 짝수입니다. 이는 코사인에서만 푸리에 급수로 확장될 수 있음을 의미합니다. .

공식을 사용하여 푸리에 계수를 찾습니다. . 무조건적인 이점에 주목하십시오. 첫째, 통합은 확장의 긍정적인 부분에서 수행됩니다. 즉, 모듈을 안전하게 제거합니다. , 두 조각의 "X"만 고려합니다. 둘째, 통합이 눈에 띄게 단순화되었습니다.

둘:

부분별로 통합해 보겠습니다.

따라서:
, "en"에 의존하지 않는 상수 는 합계 외부에서 가져옵니다.

답변:

2) 간격의 확장을 기록해 보겠습니다. 이를 위해 필요한 반주기 값을 일반 공식에 대체합니다.

짝수 및 홀수 함수의 푸리에 급수 전개 간격에 주어진 함수를 사인 또는 코사인의 급수로 확장 임의의 주기를 갖는 함수에 대한 푸리에 급수 푸리에 급수의 복합 표현 일반적인 함수의 직교 시스템에서 푸리에 급수 직교 시스템 푸리에 계수의 최소 특성 베셀 부등식 평등 구문 분석 폐쇄 시스템 시스템의 완전성과 폐쇄성

짝수 및 홀수 함수의 푸리에 급수 전개 I > 0인 구간 \-1에 정의된 함수 f(x)는 짝수 함수의 그래프가 세로축을 기준으로 대칭인 경우에도 호출됩니다. I > 0인 세그먼트 J)에 정의된 함수 f(x)는 홀수 함수의 그래프가 원점을 기준으로 대칭인 경우 홀수라고 합니다. 예. a) 함수는 구간 |-jt, jt)에서 짝수입니다. 왜냐하면 모든 x e에 대해 b) 함수는 홀수입니다. 왜냐하면 짝수 및 홀수 함수의 푸리에 급수 전개는 구간에 주어진 함수를 사인 또는 계열로 확장하는 것이기 때문입니다. 코사인 임의 주기를 갖는 함수에 대한 푸리에 급수 푸리에 급수의 복소 표현 함수의 일반적인 직교 시스템에 대한 푸리에 급수 직교 시스템에 대한 푸리에 급수 푸리에 계수의 최소 특성 베셀의 부등식 파세발의 평등 폐쇄 시스템 시스템의 완전성과 폐쇄성 c) 함수 f (x)=x2-x, 여기서는 짝수 함수나 홀수 함수에도 속하지 않습니다. 왜냐하면 정리 1의 조건을 만족하는 함수 f(x)가 구간 x|에서 짝수라고 가정하기 때문입니다. 그러면 모든 사람에게 즉 /(x) cos nx는 짝수 함수이고, f(x) sinnx는 홀수 함수입니다. 따라서 짝수 함수 f(x)의 푸리에 계수는 동일하므로 짝수 함수의 푸리에 급수는 f(x) sin х - 짝수 함수 형식을 갖습니다. 따라서, 홀수 함수의 푸리에 급수는 예 1의 형태를 갖습니다. 함수 4를 구간 -x ^x ^n에서 푸리에 급수로 확장합니다. 이 함수는 짝수이고 정리 1의 조건을 만족하므로, 푸리에 급수는 푸리에 계수 찾기 형식을 갖습니다. 우리는 부분별 적분을 두 번 적용하여 다음을 얻습니다. 따라서 이 함수의 푸리에 급수는 다음과 같습니다. 또는 확장된 형태로 이 동등성은 모든 x €에 대해 유효합니다. 왜냐하면 x = ±ir 지점에서 합이 시리즈는 함수 f(x) = x2의 값과 일치합니다. 왜냐하면 함수 f(x) = x의 그래프와 결과 시리즈의 합이 그림에 나와 있기 때문입니다. 논평. 이 푸리에 급수를 사용하면 수렴하는 숫자 급수 중 하나의 합을 찾을 수 있습니다. 즉, x = 0에 대해 예 2를 얻습니다. 함수 /(x) = x를 구간에서 푸리에 급수로 확장합니다. 함수 /(x)는 정리 1의 조건을 만족하므로 푸리에 급수로 확장될 수 있으며, 이 함수의 기이함 때문에 부분적분을 통해 푸리에 계수를 구하는 형식을 갖게 됩니다. 따라서 이 함수의 푸리에 급수는 다음과 같은 형식을 갖습니다. 이 평등은 x - ±t 지점에서 모든 x B에 대해 유지됩니다. 푸리에 급수의 합은 함수 /(x) = x의 값과 일치하지 않습니다. .구간 [-*, i-] 외부에서 계열의 합은 함수 /(x) = x의 주기적 연속입니다. 그 그래프는 그림 1에 나와 있습니다. 6. § 6. 구간에 주어진 함수를 사인 또는 코사인 계열로 확장 유계 조각별 단조 함수 /가 구간에 주어지도록 합니다. 간격 0|에서 이 함수의 값 다양한 방식으로 추가로 정의할 수 있습니다. 예를 들어 세그먼트 tc]에 / 함수를 정의하여 /가 되도록 할 수 있습니다. 이 경우 그들은 "균등한 방식으로 세그먼트 0]으로 확장된다"고 말합니다. 푸리에 급수에는 코사인만 포함됩니다. 함수 /(x)가 [-l-, mc] 간격에 정의되어 /(가 되도록 정의된 경우 결과는 홀수 함수이고 /는 "구간 [-*, 0]으로 확장됩니다."라고 말합니다. 이 경우 푸리에 급수에는 사인만 포함됩니다. 따라서 간격에 정의된 각 경계 구분 단조 함수 /(x)는 사인과 코사인 모두에서 푸리에 급수로 확장될 수 있습니다. 예 1 . 함수를 푸리에 급수로 확장합니다: a) 코사인 기준; b) 사인에 의해. M 세그먼트 |-x,0)에 짝수 및 홀수 연속이 있는 이 함수는 경계가 있고 부분적으로 단조롭습니다. a) /(z)를 세그먼트 0으로 확장합니다. a) j\x)를 세그먼트 (-π,0|로 균등한 방식으로 확장합니다(그림 7). 그러면 푸리에 급수 i는 Π = 1 형식을 갖게 됩니다. 여기서 푸리에 계수는 각각 동일합니다. 따라서 b) /(z)를 이상한 방식으로 세그먼트 [-x,0]으로 확장해 보겠습니다(그림 8). 그런 다음 푸리에 시리즈 §7. 임의의 주기를 갖는 함수에 대한 푸리에 계열 함수 fix)를 21.1 ^ 0의 주기로 주기적이라고 가정합니다. 이를 I > 0인 구간에서 푸리에 계열로 확장하기 위해 x = jt를 설정하여 변수를 변경합니다. . 그러면 함수 F(t) = / ^tj는 주기가 있는 인수 t의 주기 함수가 되며 세그먼트에서 푸리에 급수로 확장될 수 있습니다. 변수 x로 돌아가서 즉, 설정하면 유효한 모든 정리를 얻습니다. 주기가 2π인 주기 함수의 푸리에 계열의 경우 임의의 주기가 21인 주기 함수에 대해 유효한 상태로 유지됩니다. 특히 푸리에 계열의 함수 분해 가능성에 대한 충분한 기준도 유효합니다. 예 1. 공식(그림 9)에 의해 간격 [-/,/]에 주어진 주기가 21인 주기 함수를 푸리에 급수로 확장합니다. 이 함수는 짝수이므로 푸리에 급수는 발견된 푸리에 계수 값을 푸리에 급수로 대체하는 형식을 갖습니다. 주기 함수의 중요한 속성 중 하나를 살펴보겠습니다. 정리 5. 함수가 주기 T를 갖고 적분 가능하면 임의의 수 a에 대해 m이 동일하게 유지됩니다. 즉, 길이가 주기 T와 동일한 세그먼트의 적분은 숫자 축에서 이 세그먼트의 위치에 관계없이 동일한 값을 갖습니다. 실제로 우리는 두 번째 적분에서 변수를 변경한다고 가정합니다. 이는 기하학적으로, 이 속성은 그림에서 음영 처리된 영역의 경우를 의미합니다. 10개의 영역은 서로 동일합니다. 특히, 짝수 및 홀수 함수의 푸리에 계열로의 확장에서 얻은 주기를 갖는 함수 f(x)의 경우, 구간에 주어진 함수를 사인 또는 코사인 푸리에 계열의 계열로 확장하여 임의의 함수에 대해 주기 푸리에 급수의 복소 표기법 일반적인 직교 시스템의 푸리에 급수 함수 직교 시스템의 푸리에 급수 푸리에 계수의 최소 특성 베셀 부등식 파세발 평등 폐쇄 시스템 시스템의 완전성과 폐쇄성 예 2. 함수 x는 주기를 가지고 주기적입니다. 이 함수의 이상한 점은 적분을 계산하지 않고도 다음과 같이 말할 수 있습니다. 입증된 속성은 특히 주기가 21인 주기 함수 f(x)의 푸리에 계수가 a가 다음 공식을 사용하여 계산될 수 있음을 보여줍니다. 임의의 실수(함수 cos - 및 sin의 주기는 2/입니다.) 예 3. 2x 주기의 간격으로 주어진 함수를 푸리에 급수로 확장합니다(그림 11). 4 이 함수의 푸리에 계수를 찾아봅시다. 따라서 우리가 찾은 공식을 넣으면 푸리에 급수는 다음과 같습니다. x = jt(제1종 불연속점) 지점에서 §8을 얻습니다. 푸리에 급수의 복합 기록 이 섹션에서는 복합 분석의 일부 요소를 사용합니다(복잡한 표현을 사용하여 여기에서 수행되는 모든 작업이 엄격하게 정당화되는 XXX장 참조). 함수 f(x)가 푸리에 급수로 확장되기 위한 충분한 조건을 충족한다고 가정합니다. 그런 다음 세그먼트 x]에서 일련의 형식으로 나타낼 수 있습니다. 오일러 공식을 사용하여 이러한 표현식을 cos πx 및 sin ψx 대신 계열 (1)로 대체하면 다음과 같은 표기법을 소개합니다. 그런 다음 계열 (2)는 다음을 사용합니다. form 따라서 푸리에 급수(1)는 복소수 형태(3)로 표현됩니다. 적분을 통해 계수에 대한 표현식을 찾아보겠습니다. 마찬가지로 с``, с_п 및 с의 최종 공식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다. . 계수 с "는 함수의 복소 푸리에 계수라고 합니다. 주기가 있는 주기 함수의 경우 푸리에 급수의 복소 형태는 계수 Cn이 공식을 사용하여 계산되는 형식을 취합니다. 급수의 수렴(3 ) 및 (4)는 다음과 같이 이해됩니다. 계열 (3)과 (4)는 한계가 있는 경우 주어진 값에 대해 수렴한다고 합니다. 주기 함수를 복소 푸리에 급수로 확장합니다. 이 함수는 푸리에 급수로 확장하기 위한 충분한 조건을 충족합니다. 이 함수의 복소 푸리에 계수를 찾아보겠습니다. 우리는 짝수 n에 대해 홀수를 얻습니다. 간단히 말해서. 값을 대체하여), 우리는 마침내 다음을 얻습니다. 이 계열은 다음과 같이 작성될 수도 있습니다: 함수의 일반적인 직교 시스템에 대한 푸리에 계열 9.1. 함수의 직교 시스템 간격 [a, 6]에서 정의되고 적분 가능한 모든 (실제) 함수 집합을 정사각형으로 표시하겠습니다. 즉, 적분이 존재하는 함수입니다. 특히 모든 함수 f(x) 연속 구간 [a, 6]에서는 6]에 속하며 르베그 적분 값은 리만 적분 값과 일치합니다. 정의. 조건 (1)이 특히 어떤 함수도 동일하게 0이 아니라고 가정하는 경우 구간 [a, b\에서 직교라고 불리는 함수 시스템. 적분은 르베그 의미로 이해됩니다. 그리고 우리는 수량을 함수의 노름이라고 부릅니다. 만약 우리가 가지고 있는 임의의 n에 대한 직교 시스템에 있다면, 함수 시스템은 직교라고 불립니다. 시스템 (y>„(x))이 직교하면 시스템 예 1. 삼각 시스템은 세그먼트에서 직교합니다. 함수 시스템은 예제 2의 정규 직교 함수 시스템입니다. 코사인 시스템과 사인 시스템은 정규 직교입니다. 간격(0, f|에서 직교하지만 정규직교는 아님(I Ф- 2의 경우)이라는 표기법을 소개하겠습니다. 해당 노름은 COS이므로 예 3. 동등으로 정의된 다항식을 르장드르 다항식(다항식)이라고 합니다. n = 0 입니다. 함수가 구간에서 정규 직교 시스템을 형성한다는 것을 증명할 수 있습니다. 예를 들어 르장드르 다항식의 직교성을 보여드리겠습니다. m > n이라고 합니다. 이 경우 n 번 적분하면 다음과 같습니다. 부분, 우리는 함수 t/m = (z2 - I)m에 대해 m - I(포함) 차수까지의 모든 도함수가 세그먼트 [-1,1)의 끝에서 사라지기 때문에 찾습니다. 정의. 함수 시스템(pn(x))은 다음과 같은 경우 돌출부 p(x)에 의해 구간 (a, b)에서 직교라고 합니다. 1) 모든 n = 1,2,... 적분이 있습니다. 여기서는 다음과 같습니다. 가중치 함수 p(x)는 p(x)가 사라질 수 있는 유한한 개수의 점을 제외하고 구간 (a, b)의 모든 곳에서 정의되고 양수라고 가정합니다. 식(3)에서 미분을 행한 결과, 발견된다. Chebyshev-Hermite 다항식은 구간 예 4에서 직교임을 알 수 있습니다. Bessel 함수 시스템(jL(pix)^은 Bessel 함수의 구간 0에서 직교합니다. 예 5. Chebyshev-Hermite 다항식을 고려하면 다음과 같습니다. 직교 시스템의 푸리에 급수 구간 (a, 6)에 함수의 직교 시스템이 있고 급수 (cj = const)가 이 구간에서 함수 f(x)로 수렴한다고 가정합니다. 마지막 등식의 양쪽에 - 고정)을 곱하고 x를 a에서 6까지 통합하면 시스템의 직교성으로 인해 이 연산이 일반적으로 순전히 형식적인 특성을 갖는다는 것을 알 수 있습니다. 그러나 어떤 경우에는 급수(4)가 균일하게 수렴하고 모든 함수가 연속이고 간격(a, 6)이 유한한 경우 이 작업은 적법합니다. 그러나 지금 우리에게 중요한 것은 공식적인 해석입니다. 그럼, 함수를 하나 주어 보겠습니다. 식 (5)에 따라 숫자 c*를 형성하고 다음과 같이 적습니다. 오른쪽의 급수는 시스템 (^n(i))에 대한 함수 f(x)의 푸리에 급수라고 합니다. 숫자 Cn 이 시스템과 관련하여 함수 f(x)의 푸리에 계수라고 합니다. 공식 (6)의 부호 ~는 숫자 Cn이 공식 (5)에 의해 함수 f(x)와 관련되어 있음을 의미합니다(오른쪽 계열이 전혀 수렴한다고 가정하지 않으며 훨씬 더 함수 f에 수렴한다고 가정하지 않음). (엑스)). 따라서 자연스럽게 질문이 생깁니다. 이 시리즈의 속성은 무엇입니까? 이것은 어떤 의미에서 함수 f(x)를 “나타내는” 것입니까? 9.3. 평균 정의에 대한 수렴. 수열은 노름이 공간에 있으면 평균적으로 요소 ]에 수렴합니다. 정리 6. 수열 )이 균일하게 수렴하면 평균적으로 수렴합니다. M 수열 ())이 구간 [a, b]에서 함수 /(x)로 균일하게 수렴하도록 합니다. 이는 모든 사람에 대해, 충분히 큰 n에 대해 우리는 그러므로 우리의 진술이 이어지는 것을 의미합니다. 그 반대는 참이 아닙니다. 수열 ()은 평균적으로 /(x)로 수렴할 수 있지만 균일하게 수렴하지는 않습니다. 예. 수열 nx를 생각해 보면 쉽게 알 수 있습니다. 그러나 이 수렴은 균일하지 않습니다. 예를 들어 n이 아무리 크더라도 임의의 주기를 갖는 함수에 대한 구간 코사인 푸리에 급수인 e가 존재합니다. 푸리에 급수의 일반 직교 함수 시스템에 대한 푸리에 급수 직교 시스템에 대한 푸리에 급수 푸리에 계수의 최소 특성 베셀 부등식 파세발 평등 폐쇄 시스템 시스템의 완전성과 폐쇄성 및 함수의 푸리에 계수를 c*로 표시합니다. /(x ) 정규 직교 시스템에 의해 b n^1이 고정된 정수인 선형 결합을 고려하고, 적분이 최소값을 취하는 상수 값을 찾습니다. 더 자세히 작성해 보겠습니다. 시스템의 직교 정규성으로 인해 항별로 적분하면 등식 오른쪽의 처음 두 항(7)은 독립적이고 세 번째 항은 음수가 아닙니다. 따라서 적분(*)은 ak = sk에서 최소값을 취하며, 적분은 Tn(x)의 선형 결합에 의한 함수 /(x)의 평균 제곱 근사라고 합니다. 따라서 함수 /\의 제곱 평균 제곱근사는 다음과 같은 경우 최소값을 취합니다. Tn(x)가 시스템(. ak = sk로 설정)에 대한 함수 /(x)의 푸리에 급수의 71번째 부분합일 때, (7)에서 우리는 평등(9)을 얻습니다. 이를 베셀 항등식이라고 합니다. 왼쪽부터 측면이 음수가 아닌 경우 베셀 부등식은 다음과 같습니다. 내가 여기에 임의로 있기 때문에 베셀 부등식은 강화된 형태로 표현될 수 있습니다. 즉, 모든 함수에 대해 / 직교 시스템에서 이 함수의 일련의 제곱된 푸리에 계수 )는 수렴합니다 . 시스템이 간격 [-x, m]에서 정규직교이므로 삼각 푸리에 급수의 일반적인 표기법으로 변환된 부등식(10)은 적분 가능한 제곱을 갖는 모든 함수 /(x)에 대해 유효한 관계 do를 제공합니다. f2(x)가 적분 가능하면 부등식의 좌변(11)에서 계열의 수렴에 필요한 조건으로 인해 다음을 얻습니다. Parseval의 등식 일부 시스템(^„(x))의 경우 공식(10)의 부등호는 (모든 함수 f(x) 6 ×에 대해) 등호로 대체될 수 있습니다. 결과적인 동등성을 Parseval-Steklov 동등성(완전성 조건)이라고 합니다. 베셀의 항등식(9)을 통해 조건(12)을 등가 형식으로 작성할 수 있으므로 완전성 조건이 충족된다는 것은 함수 /(x)의 푸리에 급수 부분합 Sn(x)가 다음 함수로 수렴한다는 것을 의미합니다. /(x) 평균, 즉 공간 6의 규범에 따르면]. 정의. 정규 직교 시스템( b2[аy b]에서 완전이라고 합니다. 모든 함수가 충분히 많은 수의 항을 갖는 형식의 선형 결합에 의해 평균적으로 어느 정도 정확도로 근사화될 수 있는 경우, 즉 어떤 함수에 대해 /(x) ∈ b2 [a, b\ 및 임의의 e > 0에 대해 자연수 nq와 숫자 a\, a2y...가 있습니다. 따라서 위의 추론은 정리 7을 따릅니다. 직교 정규화에 의해 시스템 )이 공간에서 완전하다면, 이 시스템에서 모든 함수의 푸리에 급수는 평균적으로 f( x)로 수렴합니다. 즉, 표준에 따라 삼각 시스템이 공간에서 완전하다는 것을 보여줄 수 있습니다. 이는 다음을 의미합니다. 정리 8. 함수 /o의 삼각 푸리에 급수는 평균적으로 함수에 수렴합니다. 9.5. 폐쇄형 시스템. 시스템 정의의 완전성과 폐쇄성. 정규 직교 함수 시스템 \은 공간 Li\a, b)에 모든 함수에 직교하는 0이 아닌 함수가 없으면 폐쇄형이라고 합니다. 공간 L2\a, b\에서는 정규 직교 시스템의 완전성과 폐쇄성의 개념이 일치합니다. 연습 1. 함수 2를 (-i-, x) 구간에서 푸리에 계열로 확장합니다. 2. 함수를 (-tr, tr) 구간에서 푸리에 계열로 확장합니다. 3. 함수 4를 다음에서 푸리에 계열로 확장합니다. 간격(-tr, tr)을 간격(-jt, tr) 함수의 푸리에 급수로 변환 5. 함수 f(x) = x + x를 구간 (-tr, tr)의 푸리에 계열로 확장합니다. 6. 함수 n을 (-jt, tr) 구간의 푸리에 계열로 확장합니다. 7. /(x) = sin2 x 함수를 (-tr, x) 구간의 푸리에 계열로 확장합니다. 8. 함수 f(x) = y를 구간 (-tr, jt)의 푸리에 계열로 확장합니다. 9. 함수 f(x) = |를 확장합니다. 죄 x|. 10. 함수 f(x) = §를 구간 (-π-, π)의 푸리에 계열로 확장합니다. 11. 함수 f(x) = sin §를 (-tr, tr) 구간의 푸리에 급수로 확장합니다. 12. (0, x) 구간에 주어진 함수 f(x) = n -2x를 푸리에 급수로 확장하고 이를 구간 (-x, 0)으로 확장합니다. a) 짝수 방식으로; b) 이상한 방식으로. 13. 구간 (0, x)에 주어진 함수 /(x) = x2를 사인의 푸리에 급수로 확장합니다. 14. 구간 (-2,2)에 주어진 함수 /(x) = 3을 푸리에 급수로 확장합니다. 15. (-1,1) 구간에 주어진 함수 f(x) = |x|를 푸리에 급수로 확장합니다. 16. 간격 (0,1)에 지정된 함수 f(x) = 2x를 사인의 푸리에 계열로 확장합니다.

푸리에 급수– 복잡한 함수를 더 간단하고 잘 알려진 함수의 합으로 표현하는 방법입니다.
사인과 코사인은 주기적인 함수입니다. 그들은 또한 직교 기초를 형성합니다. 이 속성은 축과 유사하게 설명할 수 있습니다. X X 엑스그리고 YY 와이좌표평면에서. 축을 기준으로 점의 좌표를 설명할 수 있는 것처럼 사인 및 코사인을 기준으로 모든 함수를 설명할 수 있습니다. 삼각함수는 수학에서 잘 이해되고 사용하기 쉽습니다.

사인과 코사인은 다음 파동의 형태로 표현될 수 있습니다.

파란색은 코사인, 빨간색은 사인입니다. 이러한 파동을 고조파라고도 합니다. 코사인은 짝수이고 사인은 홀수입니다. 하모닉이라는 용어는 고대부터 유래되었으며 음악의 음조 관계에 대한 관찰과 관련이 있습니다.

푸리에 급수란 무엇인가

사인과 코사인의 가장 간단한 함수가 사용되는 이러한 계열을 삼각법이라고 합니다. 18세기 말과 19세기 초에 발명가인 Jean Baptiste Joseph Fourier의 이름을 따서 명명되었습니다. 그는 모든 함수가 이러한 고조파의 조합으로 표현될 수 있음을 증명했습니다. 그리고 더 많이 가져갈수록 이 표현은 더 정확해집니다. 예를 들어, 아래 그림을 보면 푸리에 급수와 같이 고조파 수가 많은 경우 빨간색 그래프가 파란색 그래프(원래 함수)에 더 가까워지는 것을 알 수 있습니다.

현대 사회에서의 실제 적용

이 행이 지금 필요합니까? 실무적으로 어디에 사용될 수 있으며, 이론수학자 외에는 누구나 사용하나요? 푸리에가 전 세계적으로 유명한 것은 그의 시리즈의 실질적인 이점이 문자 그대로 헤아릴 수 없기 때문입니다. 음향학, 천문학, 무선 공학 등 진동이나 파도가 있는 곳에서 사용하는 것이 편리합니다. 가장 간단한 사용 예는 카메라 또는 비디오 카메라의 작동 메커니즘입니다. 간단히 설명하자면, 이 장치는 사진뿐만 아니라 푸리에 계열의 계수도 기록합니다. 인터넷에서 사진을 보거나 영화를 보거나 음악을 들을 때 등 어디에서나 작동합니다. 이제 휴대전화에서 이 기사를 읽을 수 있게 된 것은 푸리에 시리즈 덕분입니다. 푸리에 변환이 없으면 표준 품질에서도 단순히 YouTube 동영상을 시청할 수 있을 만큼 인터넷 연결 대역폭이 충분하지 않습니다.

이 다이어그램은 이미지를 고조파, 즉 기본 구성 요소로 분해하는 데 사용되는 2차원 푸리에 변환을 보여줍니다. 이 다이어그램에서 값 -1은 검정색으로, 1은 흰색으로 코딩되어 있으며, 그래프의 오른쪽과 아래로 갈수록 주파수가 증가합니다.

푸리에 급수 전개

이미 읽기에 지쳤을 것이므로 공식으로 넘어가겠습니다.
함수를 푸리에 급수로 확장하는 것과 같은 수학적 기술을 위해서는 적분을 사용해야 합니다. 많은 적분. 일반적으로 푸리에 급수는 무한합으로 작성됩니다.

F (x) = A + ∑ n = 1 (an cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))에프(엑스) =A+n=1∑ ∞ ​ (ㅏ N​ 왜냐하면 (n x ) +비 N​ 죄 (n x ) )
어디
A = 12 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2π1 ​ − π ∫ π ​ 에프엑스(f(x)dx)
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ 코스(nx)dxㅏ N​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (n x) d x
bn = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ 죄(nx)dx비 N​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) 죄 (n x) d x

어떻게든 무한한 수를 셀 수 있다면 a n a_n ㅏ N​ 그리고 ㄴㄴㄴ_n 비 N​ (푸리에 확장 계수라고 합니다. AA ㅏ- 이것은 단순히 이 확장의 상수입니다. 그러면 결과 계열은 원래 함수와 100% 일치합니다. 에프(엑스) 에프(엑스) 에프엑스(f(x))세그먼트에서 − π -\pi − π ~ 전에 π\pi π . 이 세그먼트는 사인과 코사인의 통합 속성으로 인해 발생합니다. 더 n n N, 함수의 계열 확장 계수를 계산할수록 이 확장이 더 정확해집니다.

예

간단한 함수를 사용해보자 y = 5 x y=5x 와이 =5개
A = 12 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2π1 ​ − π ∫ π ​ 에프(x)dx=2π1 ​ − π ∫ π ​ 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0ㅏ 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (x ) d x =0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10비 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x) 죄(x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x 사인(x) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ 디스플레이스타일\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0ㅏ 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ 파이) 5x\sin(2x)dx = -5비 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ 에프(엑스) 죄(2 엑스) 디엑스= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 엑스죄(2 엑스) 디엑스= − 5

등등. 이러한 기능의 경우 모든 것이 즉시 다음과 같이 말할 수 있습니다. n = 0 a_n=0ㅏN​ = 0 , 계수 ㄴㄴㄴ_n비N​ 계산해야 할 것입니다. 푸리에 급수 전개의 처음 네 항을 함수로 취하면 y = 5 x y=5x와이= 5 엑스, 우리는 다음을 얻습니다:

$5엑스\approx 10\cdot 죄(엑스)-5\cdot 죄(2\cdot 엑스)+310\cdot 죄(3\cdot 엑스)-25\cdot 죄(4\cdot 엑스)$

결과 함수의 그래프는 다음과 같습니다.

결과적인 푸리에 급수 확장은 원래 기능에 접근합니다. 예를 들어 15와 같이 계열의 항을 더 많이 취하면 다음과 같은 결과가 나타납니다.

계열의 확장 항이 많을수록 정확도가 높아집니다.
그래프의 눈금을 약간 변경하면 변환의 또 다른 특징을 확인할 수 있습니다. 푸리에 급수는 주기 함수입니다. 2π 2\pi2 π .

따라서 구간에서 연속인 모든 함수를 나타낼 수 있습니다. [ - π ; π ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . 이 모든 것은 복잡한 기능으로 설명되는 일부 현상의 분석을 용이하게 하기 위해 필요합니다. 도함수를 분석적으로(즉, 공식을 사용하여) 계산하는 것이 항상 가능한 것은 아니지만, 사인과 코사인 집합의 경우에는 그러한 문제가 발생하지 않습니다. 푸리에 급수 확장 자체는 푸리에 급수 등의 단순화된 모델을 사용하여 문제를 분석적으로 해결할 수 있음을 보여줍니다.