Serie di Fourier. Esempi di soluzioni. Serie di Fourier in esempi e attività Esempi di espansione di una funzione in una serie di Fourier

17.03.2022

2. Determinazione dei coefficienti della serie con le formule di Fourier.

Sia una funzione periodica ƒ(x) di periodo 2π tale da essere rappresentata da una serie trigonometrica convergente a una data funzione nell'intervallo (-π, π), cioè sia la somma di questa serie:

Supponiamo che l'integrale della funzione alla sinistra di questa uguaglianza sia uguale alla somma degli integrali dei termini di questa serie. Questo sarà vero se assumiamo che la serie numerica composta dai coefficienti della serie trigonometrica data converge in modo assoluto, cioè converge la serie numerica positiva

La serie (1) è maggiorata e può essere integrata termine per termine nell'intervallo (-π, π). Integriamo entrambe le parti di uguaglianza (2):

Calcoliamo separatamente ogni integrale che si verifica sul lato destro:

In questo modo, , dove

. (4)

Stima dei coefficienti di Fourier. (Bugrov)

Teorema 1. Sia una funzione ƒ(x) di periodo 2π una derivata continua ƒ (s) (x) di ordine s che soddisfi la disuguaglianza sull'intero asse reale:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

allora i coefficienti di Fourier della funzione ƒ soddisfano la disuguaglianza

Prova. Integrare per parti e tenerne conto

ƒ(-π) = ƒ(π), abbiamo

Integrando sequenzialmente il membro destro della (7), tenendo conto che le derivate ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) sono continue e assumono gli stessi valori nei punti t = -π e t = π, pure come stima (5), otteniamo la prima stima ( 6).

La seconda stima (6) si ottiene in modo simile.

Teorema 2. I coefficienti di Fourier ƒ(x) soddisfano la disuguaglianza

(8)

Prova. abbiamo

(9)

Introducendo in questo caso un cambio di variabile e tenendo conto che ƒ(x) è una funzione periodica, otteniamo

Sommando (9) e (10), otteniamo

Eseguiamo la dimostrazione per b k in modo simile.

Conseguenza. Se la funzione ƒ(x) è continua, i suoi coefficienti di Fourier tendono a zero: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Spazio delle funzioni con prodotto scalare.

Una funzione ƒ(x) si dice continua a tratti su un segmento se è continua su questo segmento, tranne forse per un numero finito di punti dove presenta discontinuità del primo tipo. Tali punti possono essere sommati e moltiplicati per numeri reali e, di conseguenza, si possono ottenere ancora funzioni continue a tratti su un segmento.

Il prodotto scalare di due continui a tratti su (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Ovviamente, per qualsiasi funzione continua a tratti ƒ , φ , ψ valgono le seguenti proprietà:

1) (ƒ , φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) e l'uguaglianza (ƒ , ƒ) = 0 implica che ƒ(x) =0 su , escludendo, forse, un numero finito di punti x;

3) (α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β (φ , ψ),

dove α, β sono numeri reali arbitrari.

L'insieme di tutte le funzioni continue a tratti definite sull'intervallo , per le quali il prodotto scalare viene introdotto secondo la formula (11), indicheremo, e spazio di chiamata

Nota 1.

In matematica, uno spazio = (a, b) è un insieme di funzioni ƒ(x) che sono integrabili nel senso di Lebesgue insieme ai loro quadrati, per le quali il prodotto scalare è introdotto dalla formula (11). Lo spazio in questione fa parte di . Lo spazio ha molte delle proprietà dello spazio, ma non tutte.

Le proprietà 1), 2), 3) implicano l'importante disuguaglianza di Bunyakovskii | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ , ƒ) ½ (φ , φ) ½ , che nel linguaggio degli integrali si presenta così:

Valore

è detta norma della funzione f.

La norma ha le seguenti proprietà:

1) || f || ≥ 0, mentre l'uguaglianza può essere solo per la funzione zero f = 0, cioè la funzione uguale a zero, tranne, forse, per un numero finito di punti;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || αƒ || = | α | · || ƒ ||,

dove α è un numero reale.

La seconda proprietà nel linguaggio degli integrali si presenta così:

ed è chiamata disuguaglianza di Minkowski.

Si dice che una successione di funzioni ( f n ), appartiene a , converge a una funzione appartiene nel senso del quadrato medio su (oppure nella norma ), se

Si noti che se la sequenza di funzioni ƒ n (x) converge uniformemente alla funzione ƒ(x) sul segmento , allora per n sufficientemente grande la differenza ƒ(x) - ƒ n (x) in valore assoluto deve essere piccola per tutti x dal segmento .

Se ƒn (x) tende a ƒ(x) nel senso del quadrato medio sul segmento , allora la differenza indicata potrebbe non essere piccola per n grande ovunque su . In alcuni punti del segmento, questa differenza può essere grande, ma è solo importante che l'integrale del suo quadrato sul segmento sia piccolo per n grande.

Esempio. Sia data una data funzione lineare a tratti continua ƒ n (x) (n = 1, 2,…) mostrata in figura, e

(Bugrov, p. 281, fig. 120)

Per qualsiasi naturale n

e, di conseguenza, questa successione di funzioni, sebbene converge a zero come n → ∞, non è uniforme. Nel frattempo

cioè la successione di funzioni (f n (x)) tende a zero nel senso del quadrato medio su .

Dagli elementi di qualche sequenza di funzioni ƒ 1 , ƒ 2 , ƒ 3 ,… (appartenenti a ) costruiamo una serie

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

La somma dei suoi primi n membri

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

c'è una funzione che appartiene a . Se succede che dentro esiste una funzione ƒ tale che

|| ƒ-σ n || → 0 (n → ∞),

allora diciamo che la serie (12) converge alla funzione ƒ nel senso del quadrato medio e scriviamo

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Nota 2.

Si può considerare lo spazio = (a, b) delle funzioni a valori complessi ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), dove ƒ 1 (x) e ƒ 2 (x) sono reali funzioni continue a tratti . In questo spazio, le funzioni vengono moltiplicate per numeri complessi e il prodotto scalare delle funzioni ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) e φ(x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x) è definito come segue:

e la norma ƒ è definita come il valore

La serie di Fourier è una rappresentazione di una funzione presa arbitrariamente con un periodo specifico come serie. In termini generali, questa soluzione è chiamata scomposizione di un elemento su base ortogonale. L'espansione delle funzioni in una serie di Fourier è uno strumento abbastanza potente per risolvere vari problemi a causa delle proprietà di questa trasformazione durante l'integrazione, la differenziazione e lo spostamento di un'espressione in un argomento e una convoluzione.

Una persona che non ha familiarità con la matematica superiore, così come con le opere dello scienziato francese Fourier, molto probabilmente non capirà cosa sono queste "serie" ea cosa servono. Nel frattempo, questa trasformazione è diventata piuttosto densa nelle nostre vite. È usato non solo dai matematici, ma anche da fisici, chimici, medici, astronomi, sismologi, oceanografi e molti altri. Diamo anche uno sguardo più da vicino alle opere del grande scienziato francese, che fece una scoperta in anticipo sui tempi.

L'uomo e la trasformata di Fourier

La serie di Fourier è uno dei metodi (insieme all'analisi e altri) Questo processo si verifica ogni volta che una persona sente un suono. Il nostro orecchio trasforma automaticamente le particelle elementari in un mezzo elastico, queste vengono scomposte in file (lungo lo spettro) di valori successivi del livello del volume per toni di diverse altezze. Successivamente, il cervello trasforma questi dati in suoni a noi familiari. Tutto questo accade in aggiunta al nostro desiderio o coscienza, di per sé, ma per comprendere questi processi, ci vorranno diversi anni per studiare la matematica superiore.

Altro sulla trasformata di Fourier

La trasformata di Fourier può essere eseguita con metodi analitici, numerici e di altro tipo. Le serie di Fourier si riferiscono al modo numerico di scomporre qualsiasi processo oscillatorio - dalle maree oceaniche e dalle onde luminose ai cicli dell'attività solare (e altri oggetti astronomici). Utilizzando queste tecniche matematiche è possibile analizzare funzioni, rappresentando eventuali processi oscillatori come una serie di componenti sinusoidali che vanno dal minimo al massimo e viceversa. La trasformata di Fourier è una funzione che descrive la fase e l'ampiezza delle sinusoidi corrispondenti a una frequenza specifica. Questo processo può essere utilizzato per risolvere equazioni molto complesse che descrivono processi dinamici che si verificano sotto l'influenza dell'energia termica, luminosa o elettrica. Inoltre, le serie di Fourier consentono di isolare le componenti costanti in segnali oscillatori complessi, il che ha permesso di interpretare correttamente le osservazioni sperimentali ottenute in medicina, chimica e astronomia.

Riferimento storico

Il padre fondatore di questa teoria è il matematico francese Jean Baptiste Joseph Fourier. Questa trasformazione è stata successivamente intitolata a lui. Inizialmente, lo scienziato ha applicato il suo metodo per studiare e spiegare i meccanismi di conduzione del calore: la diffusione del calore nei solidi. Fourier ha suggerito che la distribuzione irregolare originale può essere scomposta nelle sinusoidi più semplici, ognuna delle quali avrà la propria temperatura minima e massima, nonché una propria fase. In questo caso, ciascuna di tali componenti sarà misurata dal minimo al massimo e viceversa. La funzione matematica che descrive i picchi superiore e inferiore della curva, nonché la fase di ciascuna delle armoniche, è chiamata trasformata di Fourier dell'espressione di distribuzione della temperatura. L'autore della teoria ha ridotto la funzione di distribuzione generale, difficile da descrivere matematicamente, a una serie molto conveniente di coseno e seno, che si sommano per dare la distribuzione originale.

Il principio di trasformazione e le opinioni dei contemporanei

I contemporanei dello scienziato - i principali matematici del primo Ottocento - non accettarono questa teoria. L'obiezione principale era l'affermazione di Fourier secondo cui una funzione discontinua che descrive una retta o una curva discontinua può essere rappresentata come una somma di espressioni sinusoidali continue. Ad esempio, si consideri il "passo" di Heaviside: il suo valore è zero a sinistra del gap e uno a destra. Questa funzione descrive la dipendenza della corrente elettrica dalla variabile tempo quando il circuito è chiuso. I contemporanei della teoria a quel tempo non avevano mai incontrato una situazione del genere, quando un'espressione discontinua sarebbe stata descritta da una combinazione di funzioni continue e ordinarie, come un'esponenziale, sinusoide, lineare o quadratica.

Cosa ha confuso i matematici francesi nella teoria di Fourier?

Dopotutto, se il matematico aveva ragione nelle sue affermazioni, allora sommando le infinite serie trigonometriche di Fourier, si può ottenere una rappresentazione esatta dell'espressione graduale anche se ha molti passaggi simili. All'inizio del diciannovesimo secolo, un'affermazione del genere sembrava assurda. Ma nonostante tutti i dubbi, molti matematici hanno ampliato l'ambito dello studio di questo fenomeno, portandolo oltre l'ambito degli studi sulla conducibilità termica. Tuttavia, la maggior parte degli scienziati ha continuato a essere tormentata dalla domanda: "La somma delle serie sinusoidali può convergere al valore esatto della funzione discontinua?"

Convergenza della serie di Fourier: un esempio

La questione della convergenza viene sollevata ogni volta che è necessario sommare serie infinite di numeri. Per comprendere questo fenomeno, consideriamo un classico esempio. Riuscirai mai a raggiungere il muro se ogni gradino successivo è la metà del precedente? Supponiamo di essere a due metri dalla porta, il primo passo ti avvicina alla metà del percorso, il successivo ai tre quarti e dopo il quinto coprirai quasi il 97 percento del percorso. Tuttavia, non importa quanti passi fai, non raggiungerai l'obiettivo prefissato in senso strettamente matematico. Utilizzando calcoli numerici, si può dimostrare che alla fine è possibile avvicinarsi a una determinata distanza arbitrariamente piccola. Questa dimostrazione equivale a dimostrare che il valore totale di una metà, un quarto, ecc. tenderà a uno.

Una questione di convergenza: la seconda venuta, o l'apparecchio di Lord Kelvin

Questa domanda è stata nuovamente sollevata alla fine del diciannovesimo secolo, quando si è cercato di utilizzare le serie di Fourier per prevedere l'intensità del flusso e riflusso. In questo momento, Lord Kelvin ha inventato un dispositivo, che è un dispositivo informatico analogico che ha permesso ai marinai della flotta militare e mercantile di tracciare questo fenomeno naturale. Questo meccanismo determinava gli insiemi di fasi e ampiezze da una tabella delle altezze delle maree e dei relativi momenti temporali, misurati accuratamente in un dato porto durante l'anno. Ciascun parametro era una componente sinusoidale dell'espressione dell'altezza della marea ed era una delle componenti regolari. I risultati delle misurazioni sono stati inseriti nel calcolatore di Lord Kelvin, che ha sintetizzato una curva che prevedeva l'altezza dell'acqua in funzione del tempo per l'anno successivo. Ben presto si disegnarono curve simili per tutti i porti del mondo.

E se il processo è interrotto da una funzione discontinua?

A quel tempo, sembrava ovvio che un predittore di marea con un gran numero di elementi di conteggio potesse calcolare un gran numero di fasi e ampiezze e quindi fornire previsioni più accurate. Tuttavia, si è scoperto che questa regolarità non si osserva nei casi in cui l'espressione mareale da sintetizzare conteneva un brusco salto, cioè era discontinua. Nel caso in cui i dati vengano inseriti nel dispositivo dalla tabella dei momenti temporali, calcola diversi coefficienti di Fourier. La funzione originaria viene ripristinata grazie alle componenti sinusoidali (secondo i coefficienti trovati). La discrepanza tra l'espressione originale e quella ripristinata può essere misurata in qualsiasi momento. Quando si eseguono calcoli e confronti ripetuti, si può vedere che il valore dell'errore più grande non diminuisce. Tuttavia, sono localizzati nella regione corrispondente al punto di discontinuità e tendono a zero in qualsiasi altro punto. Nel 1899, questo risultato fu teoricamente confermato da Joshua Willard Gibbs della Yale University.

Convergenza delle serie di Fourier e sviluppo della matematica in generale

L'analisi di Fourier non è applicabile alle espressioni contenenti un numero infinito di burst in un determinato intervallo. In generale, le serie di Fourier, se la funzione originale è il risultato di una misura fisica reale, convergono sempre. Le domande sulla convergenza di questo processo per classi specifiche di funzioni hanno portato all'emergere di nuove sezioni in matematica, ad esempio la teoria delle funzioni generalizzate. È associato a nomi come L. Schwartz, J. Mikusinsky e J. Temple. Nell'ambito di questa teoria, è stata creata una base teorica chiara e precisa per espressioni come la funzione delta di Dirac (descrive un'area di una singola area concentrata in un intorno infinitamente piccolo di un punto) e l'Heaviside " fare un passo". Grazie a questo lavoro, la serie di Fourier è diventata applicabile alla risoluzione di equazioni e problemi in cui compaiono concetti intuitivi: una carica puntiforme, una massa puntiforme, dipoli magnetici e anche un carico concentrato su un raggio.

Metodo di Fourier

Le serie di Fourier, secondo i principi dell'interferenza, iniziano con la scomposizione di forme complesse in forme più semplici. Ad esempio, un cambiamento nel flusso di calore è spiegato dal suo passaggio attraverso vari ostacoli fatti di materiale termoisolante di forma irregolare o un cambiamento nella superficie terrestre - un terremoto, un cambiamento nell'orbita di un corpo celeste - l'influenza di pianeti. Di norma, equazioni simili che descrivono semplici sistemi classici vengono risolte in modo elementare per ogni singola onda. Fourier ha mostrato che soluzioni semplici possono anche essere sommate per dare soluzioni a problemi più complessi. Espressa nel linguaggio della matematica, la serie di Fourier è una tecnica per rappresentare un'espressione come somma di armoniche - coseno e sinusoidi. Pertanto, questa analisi è anche nota come "analisi armonica".

Serie di Fourier: la tecnica ideale prima dell '"era dei computer"

Prima della creazione della tecnologia informatica, la tecnica di Fourier era l'arma migliore nell'arsenale degli scienziati quando lavoravano con la natura ondulatoria del nostro mondo. La serie di Fourier in forma complessa permette di risolvere non solo semplici problemi direttamente applicabili alle leggi della meccanica di Newton, ma anche equazioni fondamentali. La maggior parte delle scoperte della scienza newtoniana nel diciannovesimo secolo furono rese possibili solo dalla tecnica di Fourier.

Serie di Fourier oggi

Con lo sviluppo dei computer, le trasformazioni di Fourier hanno raggiunto un livello qualitativamente nuovo. Questa tecnica è saldamente radicata in quasi tutte le aree della scienza e della tecnologia. Un esempio è un segnale audio e video digitale. La sua realizzazione divenne possibile solo grazie alla teoria sviluppata da un matematico francese all'inizio dell'Ottocento. Pertanto, la serie di Fourier in una forma complessa ha permesso di fare una svolta nello studio dello spazio esterno. Inoltre, ciò ha influenzato lo studio della fisica dei materiali semiconduttori e del plasma, l'acustica delle microonde, l'oceanografia, il radar e la sismologia.

Serie trigonometrica di Fourier

In matematica, una serie di Fourier è un modo per rappresentare funzioni complesse arbitrarie come somma di funzioni più semplici. In casi generali, il numero di tali espressioni può essere infinito. Inoltre, più il loro numero viene preso in considerazione nel calcolo, più accurato è il risultato finale. Molto spesso, le funzioni trigonometriche di coseno o seno sono utilizzate come le più semplici. In questo caso, le serie di Fourier sono dette trigonometriche e la soluzione di tali espressioni è chiamata espansione dell'armonica. Questo metodo gioca un ruolo importante in matematica. Innanzitutto la serie trigonometrica fornisce un mezzo per l'immagine, così come lo studio delle funzioni, è l'apparato principale della teoria. Inoltre, permette di risolvere una serie di problemi di fisica matematica. Infine, questa teoria contribuì allo sviluppo e diede vita ad alcune sezioni molto importanti della scienza matematica (la teoria degli integrali, la teoria delle funzioni periodiche). Inoltre, è servito come punto di partenza per lo sviluppo delle seguenti funzioni di una variabile reale e ha anche segnato l'inizio dell'analisi armonica.

Che sono già abbastanza stufi. E sento che è giunto il momento in cui è il momento di estrarre nuovo cibo in scatola dalle riserve strategiche della teoria. È possibile espandere la funzione in una serie in qualche altro modo? Ad esempio, per esprimere un segmento di retta in termini di seno e coseno? Sembra incredibile, ma funzioni così apparentemente lontane si prestano a
"riunione". Oltre alle lauree familiari in teoria e pratica, esistono altri approcci per espandere una funzione in una serie.

In questa lezione faremo conoscenza con la serie trigonometrica di Fourier, toccheremo il problema della sua convergenza e somma e, naturalmente, analizzeremo numerosi esempi per espandere le funzioni in una serie di Fourier. Volevo sinceramente chiamare l'articolo "Serie di Fourier per manichini", ma questo sarebbe astuto, poiché la risoluzione dei problemi richiederà la conoscenza di altre sezioni di analisi matematica e una certa esperienza pratica. Pertanto, il preambolo assomiglierà all'addestramento degli astronauti =)

In primo luogo, lo studio dei materiali della pagina dovrebbe essere affrontato in ottima forma. Assonnato, riposato e sobrio. Senza forti emozioni per la zampa rotta di un criceto e pensieri ossessivi sulle difficoltà della vita dei pesci d'acquario. La serie di Fourier non è difficile dal punto di vista della comprensione, tuttavia, i compiti pratici richiedono semplicemente una maggiore concentrazione dell'attenzione - idealmente, si dovrebbero abbandonare completamente gli stimoli esterni. La situazione è aggravata dal fatto che non esiste un modo semplice per verificare la soluzione e la risposta. Quindi, se la tua salute è al di sotto della media, allora è meglio fare qualcosa di più semplice. Verità.

In secondo luogo, prima di volare nello spazio, è necessario studiare il cruscotto della navicella. Iniziamo con i valori delle funzioni che dovrebbero essere cliccate sulla macchina:

Per qualsiasi valore naturale:

uno) . E infatti, la sinusoide "fa lampeggiare" l'asse x attraverso ogni "pi":
. In caso di valori negativi dell'argomento, il risultato, ovviamente, sarà lo stesso: .

2). Ma non tutti lo sapevano. Il coseno "pi en" è l'equivalente di una "luce lampeggiante":

Un argomento negativo non cambia il caso: .

Forse abbastanza.

E in terzo luogo, caro corpo di cosmonauti, devi essere in grado di... integrare.
In particolare, certo portare una funzione sotto un segno differenziale, integrare per parti ed essere in buoni rapporti con Formula di Newton-Leibniz. Iniziamo gli importanti esercizi pre-volo. Sconsiglio vivamente di saltarlo, in modo che in seguito non si appiattisca a gravità zero:

Esempio 1

Calcola integrali definiti

dove prende i valori naturali.

Soluzione: l'integrazione avviene sulla variabile "x" e in questa fase la variabile discreta "en" viene considerata una costante. In tutti gli integrali portare la funzione sotto il segno del differenziale:

Una versione breve della soluzione, a cui sarebbe bello sparare, si presenta così:

Abituarsi:

I quattro punti rimanenti sono da soli. Cerca di trattare il compito in modo coscienzioso e di organizzare gli integrali in modo breve. Esempi di soluzioni alla fine della lezione.

Dopo un esercizio di QUALITÀ, indossiamo le tute spaziali
e ci prepariamo per iniziare!

Espansione di una funzione in una serie di Fourier sull'intervallo

Consideriamo una funzione che determinato almeno sull'intervallo (e, eventualmente, su un intervallo più ampio). Se questa funzione è integrabile sul segmento , può essere espansa in un trigonometrico serie di Fourier:
, dove sono i cosiddetti Coefficienti di Fourier.

In questo caso, il numero viene chiamato periodo di decomposizione, e il numero è decomposizione dell'emivita.

Ovviamente, nel caso generale, la serie di Fourier è composta da seno e coseno:

Anzi, scriviamolo nel dettaglio:

Il termine zero della serie è solitamente scritto come .

I coefficienti di Fourier sono calcolati utilizzando le seguenti formule:

Capisco perfettamente che i nuovi termini sono ancora oscuri per i principianti per studiare l'argomento: periodo di decomposizione, mezzo ciclo, Coefficienti di Fourier e altri Niente panico, non è paragonabile all'eccitazione prima di una passeggiata spaziale. Scopriamo tutto nell'esempio più vicino, prima di eseguire ciò che è logico porsi pressanti domande pratiche:

Cosa devi fare nelle seguenti attività?

Espandi la funzione in una serie di Fourier. Inoltre, è spesso necessario disegnare un grafico di una funzione, un grafico della somma di una serie, una somma parziale e, nel caso di sofisticate fantasie professorali, fare qualcos'altro.

Come espandere una funzione in una serie di Fourier?

In sostanza, devi trovare Coefficienti di Fourier, ovvero componi e calcola tre integrali definiti.

Si prega di copiare la forma generale della serie di Fourier e le tre formule di lavoro nel taccuino. Sono molto contento che alcuni dei visitatori del sito abbiano il sogno d'infanzia di diventare un astronauta che si avvera proprio davanti ai miei occhi =)

Esempio 2

Espandi la funzione in una serie di Fourier sull'intervallo. Costruisci un grafico, un grafico della somma di una serie e una somma parziale.

Soluzione: la prima parte del compito è espandere la funzione in una serie di Fourier.

L'inizio è standard, assicurati di annotare che:

In questo problema, il periodo di espansione, il semiperiodo.

Espandiamo la funzione in una serie di Fourier sull'intervallo:

Usando le formule appropriate, troviamo Coefficienti di Fourier. Ora dobbiamo comporre e calcolare tre integrali definiti. Per comodità elencherò i punti:

1) Il primo integrale è il più semplice, però richiede già occhio e occhio:

2) Usiamo la seconda formula:

Questo integrale è ben noto e lo prende a pezzi:

Quando trovato usato metodo per portare una funzione sotto un segno differenziale.

Nell'attività in esame, è più conveniente utilizzare immediatamente formula per l'integrazione per parti in un integrale definito :

Un paio di note tecniche. Innanzitutto, dopo aver applicato la formula l'intera espressione deve essere racchiusa tra parentesi grandi, poiché c'è una costante davanti all'integrale originale. Non perdiamolo! Le parentesi possono essere aperte in qualsiasi passaggio successivo, l'ho fatto all'ultimo turno. Nel primo "pezzo" mostriamo un'estrema precisione nella sostituzione, come puoi vedere, la costante è fuori mercato e i limiti dell'integrazione sono sostituiti nel prodotto. Questa azione è contrassegnata da parentesi quadre. Bene, l'integrale del secondo "pezzo" della formula ti è ben noto dal compito di allenamento ;-)

E, soprattutto, la massima concentrazione di attenzione!

3) Cerchiamo il terzo coefficiente di Fourier:

Si ottiene un parente dell'integrale precedente, che è anche integrato per parti:

Questa istanza è un po 'più complicata, commenterò gli ulteriori passaggi passo dopo passo:

(1) L'intera espressione è racchiusa tra parentesi grandi.. Non volevo sembrare noioso, perdono la costante troppo spesso.

(2) In questo caso, ho subito ampliato quelle grandi parentesi. Attenzione speciale lo dedichiamo al primo “pezzo”: la continua fuma a margine e non partecipa alla sostituzione dei limiti di integrazione (e) nel prodotto. Vista la confusione del record, è opportuno evidenziare ancora questa azione tra parentesi quadre. Con il secondo "pezzo" tutto è più semplice: qui la frazione è apparsa dopo aver aperto parentesi grandi e la costante - come risultato dell'integrazione dell'integrale familiare ;-)

(3) Tra parentesi quadre si effettuano le trasformazioni, e nell'integrale giusto si sostituiscono i limiti di integrazione.

(4) Estraiamo il “flasher” dalle parentesi quadre: , dopodiché apriamo le parentesi interne: .

(5) Cancelliamo l'1 e il -1 tra parentesi e facciamo le semplificazioni finali.

Alla fine ho trovato tutti e tre i coefficienti di Fourier:

Sostituiscili nella formula :

Non dimenticare di dividere a metà. All'ultimo passaggio, la costante ("meno due"), che non dipende da "en", viene estratta dalla somma.

Pertanto, abbiamo ottenuto l'espansione della funzione in una serie di Fourier sull'intervallo:

Studiamo la questione della convergenza delle serie di Fourier. Spiegherò la teoria in particolare Teorema di Dirichlet, letteralmente "sulle dita", quindi se hai bisogno di formulazioni rigorose, fai riferimento a un libro di testo sul calcolo (per esempio, il 2° volume di Bohan; o il 3° volume di Fichtenholtz, ma è più difficile in esso).

Nella seconda parte dell'attività, è necessario disegnare un grafico, un grafico a somma serie e un grafico a somma parziale.

Il grafico della funzione è il solito linea retta sull'aereo, disegnato con una linea tratteggiata nera:

Trattiamo la somma delle serie. Come sapete, le serie funzionali convergono in funzioni. Nel nostro caso, la serie costruita di Fourier per qualsiasi valore di "x" converge alla funzione mostrata in rosso. Questa funzione è soggetta a pause di 1° tipo in punti, ma anche definiti in essi (punti rossi nel disegno)

In questo modo: . È facile vedere che differisce notevolmente dalla funzione originale, motivo per cui nella notazione viene utilizzata una tilde al posto del segno di uguale.

Studiamo un algoritmo con il quale è conveniente costruire la somma di una serie.

Sull'intervallo centrale, la serie di Fourier converge alla funzione stessa (il segmento rosso centrale coincide con la linea tratteggiata nera della funzione lineare).

Ora parliamo un po' della natura dell'espansione trigonometrica considerata. serie di Fourier include solo funzioni periodiche (costante, seno e coseno), quindi la somma delle serie è anche una funzione periodica.

Cosa significa questo nel nostro esempio particolare? E questo significa che la somma delle serie –necessariamente periodico e il segmento rosso dell'intervallo deve essere ripetuto all'infinito a sinistra ea destra.

Penso che ora il significato della frase "periodo di decomposizione" sia finalmente diventato chiaro. In poche parole, ogni volta che la situazione si ripete ancora e ancora.

In pratica è solitamente sufficiente rappresentare tre periodi di scomposizione, come si fa nel disegno. Bene, e più "monconi" di periodi vicini - per chiarire che il grafico continua.

Di particolare interesse sono punti di discontinuità di 1° tipo. In tali punti, la serie di Fourier converge a valori isolati, che si trovano esattamente al centro del "salto" di discontinuità (punti rossi nel disegno). Come trovare l'ordinata di questi punti? Per prima cosa troviamo l'ordinata del "piano superiore": per questo calcoliamo il valore della funzione nel punto più a destra del periodo di espansione centrale: . Per calcolare l'ordinata del "piano inferiore", il modo più semplice è prendere il valore più a sinistra dello stesso periodo: . L'ordinata del valore medio è la media aritmetica della somma di "alto e basso": . Bello è il fatto che quando crei un disegno, vedrai immediatamente se il centro è calcolato correttamente o in modo errato.

Costruiamo una somma parziale delle serie e nello stesso tempo ripetiamo il significato del termine "convergenza". Il motivo è noto dalla lezione su la somma delle serie numeriche. Descriviamo nel dettaglio la nostra ricchezza:

Per fare una somma parziale, devi scrivere zero + altri due termini della serie. Questo è,

Nel disegno, il grafico della funzione è mostrato in verde e, come puoi vedere, avvolge abbastanza strettamente la somma totale. Se consideriamo una somma parziale di cinque termini della serie, il grafico di questa funzione avvicinerà le linee rosse in modo ancora più accurato, se ci sono cento termini, il "serpente verde" si fonderà completamente con i segmenti rossi, eccetera. Pertanto, la serie di Fourier converge alla sua somma.

È interessante notare che qualsiasi somma parziale lo è funzione continua, ma la somma totale della serie è ancora discontinua.

In pratica, non è raro costruire un grafico a somma parziale. Come farlo? Nel nostro caso è necessario considerare la funzione sul segmento, calcolarne i valori alle estremità del segmento e nei punti intermedi (più punti si considerano, più accurato sarà il grafico). Quindi dovresti segnare questi punti sul disegno e disegnare con cura un grafico sul periodo, quindi "replicarlo" in intervalli adiacenti. In che altro modo? Dopotutto, anche l'approssimazione è una funzione periodica... ...il suo grafico in qualche modo mi ricorda un ritmo cardiaco uniforme sul display di un dispositivo medico.

Certo, non è molto comodo eseguire la costruzione, poiché bisogna essere estremamente attenti, mantenendo una precisione non inferiore al mezzo millimetro. Tuttavia, soddisferò i lettori che sono in disaccordo con il disegno: in un compito "reale", è tutt'altro che sempre necessario eseguire un disegno, da qualche parte nel 50% dei casi è necessario espandere la funzione in una serie di Fourier e questo è esso.

Dopo aver completato il disegno, completiamo l'attività:

Risposta:

In molti compiti, la funzione ne risente rottura del 1° tipo proprio sul periodo di decomposizione:

Esempio 3

Espandi in una serie di Fourier la funzione data sull'intervallo. Disegna un grafico della funzione e la somma totale della serie.

La funzione proposta è data a tratti (e, badate bene, solo sul segmento) e sopportare rottura del 1° tipo al punto. È possibile calcolare i coefficienti di Fourier? Nessun problema. Sia la parte sinistra che quella destra della funzione sono integrabili sui loro intervalli, quindi gli integrali in ciascuna delle tre formule dovrebbero essere rappresentati come la somma di due integrali. Vediamo, ad esempio, come si fa per un coefficiente zero:

Il secondo integrale si è rivelato uguale a zero, il che ha ridotto il lavoro, ma non è sempre così.

Altri due coefficienti di Fourier sono scritti in modo simile.

Come visualizzare la somma di una serie? Sull'intervallo sinistro disegniamo un segmento di linea retta e sull'intervallo - un segmento di linea retta (evidenziare la sezione dell'asse in grassetto). Cioè, sull'intervallo di espansione, la somma della serie coincide con la funzione ovunque, ad eccezione di tre punti "cattivi". Nel punto di discontinuità della funzione, la serie di Fourier converge ad un valore isolato, che si trova esattamente al centro del “salto” della discontinuità. Non è difficile vederlo oralmente: limite di sinistra:, limite di destra: e, ovviamente, l'ordinata del punto medio è 0,5.

A causa della periodicità della somma, il quadro deve essere “moltiplicato” in periodi confinanti, in particolare raffigurare la stessa cosa sugli intervalli e . In questo caso, nei punti, la serie di Fourier converge ai valori mediani.

In realtà, non c'è niente di nuovo qui.

Prova a risolvere questo problema da solo. Un esempio approssimativo di design e disegno raffinato alla fine della lezione.

Espansione di una funzione in una serie di Fourier su un periodo arbitrario

Per un periodo di espansione arbitrario, dove "el" è un numero positivo, le formule per la serie di Fourier e per i coefficienti di Fourier differiscono per un argomento seno e coseno leggermente più complicato:

Se , otteniamo le formule per l'intervallo con cui abbiamo iniziato.

L'algoritmo e i principi per risolvere il problema sono completamente preservati, ma aumenta la complessità tecnica dei calcoli:

Esempio 4

Espandi la funzione in una serie di Fourier e traccia la somma.

Soluzione: infatti, un analogo dell'Esempio n. 3 con rottura del 1° tipo al punto. In questo problema, il periodo di espansione, il semiperiodo. La funzione è definita solo nel semiintervallo , ma questo non cambia le cose: è importante che entrambe le parti della funzione siano integrabili.

Espandiamo la funzione in una serie di Fourier:

Poiché la funzione è discontinua all'origine, ogni coefficiente di Fourier va ovviamente scritto come somma di due integrali:

1) Scriverò il primo integrale il più dettagliato possibile:

2) Osserva attentamente la superficie della luna:

Secondo integrale prendere in parti:

A cosa dovresti prestare molta attenzione dopo aver aperto la continuazione della soluzione con un asterisco?

Primo, non perdiamo l'integrale primo , dove eseguiamo immediatamente portando sotto il segno del differenziale. In secondo luogo, non dimenticare la sfortunata costante prima delle parentesi grandi e non farti confondere dai segni quando si utilizza la formula . Grandi parentesi, dopotutto, è più conveniente aprire immediatamente nel passaggio successivo.

Il resto è una questione di tecnica, solo un'esperienza insufficiente nella risoluzione di integrali può causare difficoltà.

Sì, non è stato vano che gli eminenti colleghi del matematico francese Fourier si siano indignati: come ha osato scomporre le funzioni in serie trigonometriche?! =) A proposito, probabilmente tutti sono interessati al significato pratico del compito in questione. Lo stesso Fourier lavorò a un modello matematico di conduzione del calore, e successivamente la serie a lui intitolata iniziò ad essere utilizzata per studiare molti processi periodici, apparentemente invisibili nel mondo esterno. Ora, tra l'altro, mi sono sorpreso a pensare che non era un caso che avessi confrontato il grafico del secondo esempio con un ritmo cardiaco periodico. Gli interessati possono prendere confidenza con l'applicazione pratica Trasformate di Fourier da fonti terze. ... Anche se è meglio di no - sarà ricordato come Primo amore =)

3) Dati gli anelli deboli più volte citati, si tratta del terzo coefficiente:

Integrazione per parti:

Sostituiamo nella formula i coefficienti di Fourier trovati , senza dimenticare di dividere a metà il coefficiente zero:

Tracciamo la somma della serie. Ripetiamo brevemente la procedura: sull'intervallo costruiamo una linea e sull'intervallo - una linea. Con un valore zero di "x", mettiamo un punto nel mezzo del "salto" del gap e "replichiamo" il grafico per periodi vicini:

Agli “svincoli” dei periodi la somma sarà pari anche ai punti medi del “salto” dello scarto.

Pronto. Ti ricordo che la funzione stessa è condizionatamente definita solo sul semiintervallo e, ovviamente, coincide con la somma delle serie sugli intervalli

Risposta:

A volte una funzione data a tratti è continua anche nel periodo di espansione. L'esempio più semplice: . Soluzione (Vedi Bohan Volume 2)è lo stesso dei due esempi precedenti: nonostante continuità di funzione al punto , ogni coefficiente di Fourier è espresso come somma di due integrali.

Nell'intervallo di rottura punti di discontinuità di 1° tipo e/o punti di "giunzione" del grafico possono essere più (due, tre e in generale qualsiasi finale Quantità). Se una funzione è integrabile in ogni sua parte, allora è espandibile anche in una serie di Fourier. Ma per esperienza pratica, non ricordo una scatola del genere. Tuttavia, ci sono compiti più difficili di quelli appena considerati e alla fine dell'articolo per tutti ci sono collegamenti a serie di Fourier di maggiore complessità.

Nel frattempo, rilassiamoci, adagiandoci sulle nostre sedie e contemplando le infinite distese di stelle:

Esempio 5

Espandi la funzione in una serie di Fourier sull'intervallo e traccia la somma delle serie.

In questo compito, la funzione continuo sul semiintervallo di decomposizione, che semplifica la soluzione. Tutto è molto simile all'esempio n. 2. Non c'è via di fuga dall'astronave - devi decidere =) Un esempio di progetto approssimativo alla fine della lezione, il programma è allegato.

Espansione in serie di Fourier di funzioni pari e dispari

Con le funzioni pari e dispari, il processo di risoluzione del problema è notevolmente semplificato. Ed ecco perché. Torniamo all'espansione della funzione in una serie di Fourier su un periodo di "due pi" e periodo arbitrario "due birre" .

Assumiamo che la nostra funzione sia pari. Il termine generale della serie, come puoi vedere, contiene coseni pari e seni dispari. E se scomponiamo una funzione EVEN, allora perché abbiamo bisogno di seni dispari?! Azzeriamo il coefficiente non necessario: .

In questo modo, una funzione pari si espande in una serie di Fourier solo in coseni:

Perché il integrali di funzioni pari su un segmento di integrazione simmetrico rispetto a zero può essere raddoppiato, quindi anche il resto dei coefficienti di Fourier è semplificato.

Per intervallo:

Per un intervallo arbitrario:

Esempi di libri di testo che si trovano in quasi tutti i libri di testo di calcolo includono espansioni di funzioni pari . Inoltre, si sono incontrati più volte nella mia pratica personale:

Esempio 6

Data una funzione. Necessario:

1) espandere la funzione in una serie di Fourier con periodo , dove è un numero positivo arbitrario;

2) annotare l'espansione sull'intervallo, costruire una funzione e rappresentare graficamente la somma totale della serie.

Soluzione: nel primo paragrafo, si propone di risolvere il problema in modo generale, e questo è molto conveniente! Ci sarà bisogno: basta sostituire il tuo valore.

1) In questo problema, il periodo di espansione, il semiperiodo. Nel corso di ulteriori azioni, in particolare durante l'integrazione, "el" è considerata una costante

La funzione è pari, il che significa che si espande in una serie di Fourier solo in coseni: .

I coefficienti di Fourier sono ricercati dalle formule . Presta attenzione ai loro vantaggi assoluti. Innanzitutto, l'integrazione viene eseguita sul segmento positivo dell'espansione, il che significa che ci sbarazziamo in sicurezza del modulo , considerando solo "x" da due pezzi. E, in secondo luogo, l'integrazione è notevolmente semplificata.

Due:

Integrazione per parti:

In questo modo:
, mentre la costante , che non dipende da "en", viene sottratta alla somma.

Risposta:

2) Scriviamo l'espansione sull'intervallo, per questo sostituiamo il valore desiderato del semiperiodo nella formula generale:

Espansione in serie di Fourier di funzioni pari e dispari Espansione di una funzione data su un segmento in una serie in termini di seno o coseno Serie di Fourier per una funzione con un periodo arbitrario Rappresentazione complessa della serie di Fourier Serie di Fourier in sistemi di funzioni ortogonali generali Serie di Fourier in un sistema ortogonale Proprietà minima dei coefficienti di Fourier Disuguaglianza di Bessel Parseval di uguaglianza Sistemi chiusi Completezza e chiusura dei sistemi

Espansione in serie di Fourier delle funzioni pari e dispari La funzione f(x), definita sul segmento \-1, dove I > 0, viene chiamata anche se il Grafico della funzione pari è simmetrico rispetto all'asse y. La funzione f(x) definita sul segmento J, dove I > 0, si dice dispari se il Grafico della funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine. Esempio. a) La funzione è pari sul segmento |-jt, jt), poiché per ogni x e b) La funzione è dispari, poiché l'espansione in serie di Fourier delle funzioni pari e dispari è l'espansione di una funzione data sul segmento in una serie di seni o coseni Serie di Fourier per una funzione con periodo arbitrario Notazione complessa della serie di Fourier Serie di Fourier in sistemi di funzioni ortogonali in generale Serie di Fourier in un sistema ortogonale Proprietà minima dei coefficienti di Fourier Disuguaglianza di Bessel Uguaglianza di Parseval Sistemi chiusi Completezza e chiusura dei sistemi c) Funzione f(x)=x2-x, dove non appartiene né a funzioni pari né a funzioni dispari, poiché Sia la funzione f(x) che soddisfa le condizioni del Teorema 1 sia pari sul segmento x|. Quindi per tutti cioè /(g) cos nx è una funzione pari e f(x)sinnx è una funzione dispari. Pertanto, i coefficienti di Fourier di una funzione pari /(x) saranno uguali, quindi la serie di Fourier di una funzione pari ha la forma f(x) sin nx è una funzione pari. Pertanto, avremo Quindi, la serie di Fourier di una funzione dispari ha la forma Abbiamo Applicando l'integrazione per parti due volte, otteniamo che Quindi, la serie di Fourier di questa funzione assomiglia a questa: o, in forma espansa, Questa uguaglianza è valida per qualsiasi x €, poiché nei punti x = ±ir la somma delle serie coincide con i valori della funzione f(x ) = x2, poiché i grafici della funzione f(x) = x e le somme delle serie risultanti sono riportati in fig. Commento. Questa serie di Fourier ti consente di trovare la somma di una delle serie numeriche convergenti, ovvero, per x \u003d 0, otteniamo che La funzione /(x) soddisfa le condizioni del Teorema 1, quindi può essere espansa in una serie di Fourier, che, per la stranezza di questa funzione, avrà la forma Integrando per parti, troviamo i coefficienti di Fourier Pertanto, il Fourier serie di questa funzione ha la forma Questa uguaglianza vale per tutti x Â punti x - ±tg la somma della serie di Fourier non coincide con i valori della funzione / (x) = x, poiché è uguale a Outside the segmento [- *, n-] la somma della serie è una continuazione periodica della funzione / (x) \u003d x; il suo grafico è mostrato in Fig. 6. § 6. Espansione di una funzione data su un intervallo in una serie in termini di seno o coseno Sia data una funzione monotona a tratti limitata / su un intervallo . I valori di questa funzione sull'intervallo 0| possono essere definiti in vari modi. Ad esempio è possibile definire la funzione / sul segmento mc] in modo tale che /. In questo caso si dice che) "si estende al segmento 0] in modo pari"; la sua serie di Fourier conterrà solo coseni. Se, invece, la funzione /(x) è definita sul segmento [-x, mc] in modo che /(, allora si ottiene una funzione dispari, e allora diciamo che / "è estesa al segmento [-*, 0 ] in modo strano"; in questo caso, la serie di Fourier conterrà solo seni. Quindi, ogni funzione monotona a tratti limitata /(x), definita sul segmento , può essere espansa in una serie di Fourier sia in termini di seni e coseni. Esempio 1. Espandere la funzione in una serie di Fourier: a) per coseni; b) lungo i seni. M Questa funzione, con le sue estensioni pari e dispari al segmento |-x, 0) sarà limitata e monotona a tratti. a) Continuiamo / (z) nel segmento 0) a) Continuiamo j \ x) nel segmento (-m, 0 | in modo uniforme (Fig. 7), quindi la sua serie di Fourier i avrà la forma P \u003d 1 dove i coefficienti di Fourier sono uguali, rispettivamente per Pertanto, b) Continuiamo /(z) nel segmento [-x,0] in modo dispari (Fig. 8). Poi la sua serie di Fourier §7. Serie di Fourier per una funzione con un periodo arbitrario Sia la funzione fix) periodica con un periodo di 21,1 ^ 0. Per espanderla in una serie di Fourier sull'intervallo in cui I > 0, facciamo un cambio di variabile impostando x = jt . Allora la funzione F(t) = / ^tj sarà una funzione periodica dell'argomento t con un periodo e può essere espansa su un segmento di una serie di Fourier Ritornando alla variabile x, cioè, ponendo, otteniamo , rimaniamo in vigore anche per funzioni periodiche con periodo arbitrario 21. In particolare, resta valido anche il criterio sufficiente per l'espansione di una funzione in una serie di Fourier. Esempio 1. Espandere in una serie di Fourier una funzione periodica con periodo 21, data sul segmento [-/,/] dalla formula (Fig. 9). Poiché questa funzione è pari, la sua serie di Fourier ha la forma Sostituendo i valori trovati dei coefficienti di Fourier nella serie di Fourier, otteniamo Notiamo un'importante proprietà delle funzioni periodiche. Teorema 5. Se una funzione ha un periodo T ed è integrabile, allora per ogni numero a vale l'uguaglianza m. cioè l'integrale su un segmento la cui lunghezza è uguale al periodo T ha lo stesso valore indipendentemente dalla posizione di questo segmento sull'asse reale. Infatti, facciamo un cambio di variabile nel secondo integrale, assumendo Ciò dà e quindi, geometricamente, questa proprietà significa che nel caso dell'area ombreggiata in Fig. 10 aree sono uguali tra loro. In particolare, per una funzione f(x) con un periodo, otteniamo allo sviluppo in serie di Fourier di funzioni pari e dispari l'espansione di una funzione data su un segmento in una serie in termini di seno o coseno Serie di Fourier per una funzione con un periodo arbitrario Rappresentazione complessa della serie di Fourier La serie di Fourier nelle funzioni dei sistemi ortogonali in generale Serie di Fourier in un sistema ortogonale Proprietà minima dei coefficienti di Fourier Disuguaglianza di Bessel Uguaglianza di Parseval Sistemi chiusi Completezza e chiusura di sistemi che i coefficienti di Fourier di una funzione periodica f(x) con un periodo di 21 può essere calcolato usando le formule dove a è un numero reale arbitrario (notare che le funzioni cos - e sin hanno un periodo di 2/). Esempio 3. Espandere in una serie di Fourier una funzione data su un intervallo con periodo 2x (Fig. 11). 4 Trova i coefficienti di Fourier di questa funzione. Inserendo le formule troviamo che per Pertanto, la serie di Fourier apparirà così: Nel punto x = jt (punto di discontinuità del primo tipo) abbiamo §8. Notazione complessa della serie di Fourier In questa sezione vengono utilizzati alcuni elementi di analisi complessa (vedi Capitolo XXX, dove tutte le operazioni qui eseguite con espressioni complesse sono rigorosamente giustificate). Lascia che la funzione f(x) soddisfi condizioni sufficienti per l'espansione in una serie di Fourier. Quindi sul segmento x] può essere rappresentato da una serie della forma Usando le formule di Eulero Sostituendo queste espressioni nella serie (1) al posto di cos nx e sin xy avremo Introduciamo la seguente notazione Quindi la serie (2) assume la forma Così, la serie di Fourier (1) è presentata nella forma complessa (3). Troviamo espressioni per i coefficienti in termini di integrali. Abbiamo Allo stesso modo, troviamo Infine, le formule per с„, с_п e с possono essere scritte come segue: . . I coefficienti cn sono chiamati coefficienti complessi di Fourier della funzione Per una funzione periodica con un periodo), la forma complessa della serie di Fourier assume la forma valori w se esistono dei limiti Esempio. Espandere la funzione periodo in una serie di Fourier complessa Questa funzione soddisfa condizioni sufficienti per l'espansione in una serie di Fourier. Trova i coefficienti complessi di Fourier di questa funzione. Abbiamo per dispari per pari n, o, in breve. Sostituendo i valori), otteniamo infine. Si noti che questa serie può anche essere scritta come segue: Serie di Fourier in sistemi ortogonali generali di funzioni 9.1. Sistemi di funzioni ortogonali Denotiamo con l'insieme di tutte le funzioni (reali) che sono definite al quadrato e integrabili sull'intervallo [a, 6], cioè quelle per le quali esiste un integrale, in particolare tutte le funzioni f(x) che sono continui sull'intervallo [a , 6], appartengono a 6] e i valori dei loro integrali di Lebesgue coincidono con i valori degli integrali di Riemann. Definizione. Il sistema di funzioni, dove, è detto ortogonale sull'intervallo [a, b\, se la Condizione (1) assume, in particolare, che nessuna delle funzioni sia identicamente uguale a zero. L'integrale è inteso nel senso di Lebesgue. e chiamiamo la quantità la norma di una funzione Se in un sistema ortogonale per ogni n abbiamo, allora il sistema di funzioni è detto ortonormale. Se il sistema (y>n(x)) è ortogonale, allora il sistema Esempio 1. Un sistema trigonometrico è ortogonale su un segmento. Il sistema di funzioni è un sistema ortonormale di funzioni, Esempio 2. Il sistema coseno e il sistema seno è ortonormale. Introduciamo la notazione che sono ortogonali sul segmento (0, f|, ma non ortonormali (per I ↦ 2). Poiché le loro norme sono COS, le funzioni formano un sistema ortonormale di funzioni su un segmento. Mostriamo, ad esempio che i polinomi di Legendre sono ortogonali Sia m > n In questo caso, integrando n volte per parti, troviamo, poiché per la funzione t/m = (z2 - I)m, tutte le derivate fino all'ordine m - I compreso svaniscono alle estremità dell'intervallo [-1,1). Definizione. Il sistema di funzioni (pn(x)) si dice ortogonale sull'intervallo (a, b) per sbalzo p(x) se: 1) ci sono integrali per ogni n = 1,2,... Qui si assume che la funzione peso p(x) è definita e positiva ovunque sull'intervallo (a, b), con la possibile eccezione di un numero finito di punti in cui p(x) può svanire. Dopo aver eseguito la differenziazione nella formula (3), troviamo. Si può dimostrare che i polinomi di Chebyshev-Hermite sono ortogonali sull'intervallo Esempio 4. Il sistema di funzioni di Bessel (jL(pix)^ è ortogonale sull'intervallo di zeri del sistema di funzioni di Bessel Sia un sistema ortogonale di funzioni nell'intervallo (a, 6) e converga la serie (cj = const) su questo intervallo alla funzione f(x): In virtù dell'ortogonalità del sistema, otteniamo che questa operazione ha, in generale, carattere puramente formale. Tuttavia, in alcuni casi, ad esempio, quando la serie (4) converge uniformemente, tutte le funzioni sono continue e l'intervallo (a, 6) è finito, questa operazione è legale. Ma è l'interpretazione formale che è importante per noi ora. Quindi diciamo che è data una funzione. Formiamo i numeri c * secondo la formula (5) e scriviamo La serie a destra è detta serie di Fourier della funzione f (x) rispetto al sistema (^n (n)) - I numeri Cn sono detti coefficienti di Fourier della funzione f (x) in questo sistema. Il segno ~ nella formula (6) significa solo che i numeri Cn sono correlati alla funzione f(x) dalla formula (5) (in questo caso, non si presume che la serie a destra converga, tanto meno converge alla funzione f(x)). Quindi sorge spontanea la domanda: quali sono le proprietà di questa serie? In che senso "rappresenta" la funzione f(x)? 9.3. Definizione di convergenza media. Una successione converge ad un elemento ] in media se la norma è nello spazio Teorema 6. Se una successione ) converge in modo uniforme, allora converge anche in media. M Lascia che la successione ()) converga uniformemente sul segmento [a, b] alla funzione f(x). Ciò significa che per ogni, per ogni n sufficientemente grande, abbiamo Quindi, da cui segue la nostra affermazione. Non è vero il contrario: la successione () può convergere in media a /(x), ma non essere uniformemente convergente. Esempio. Consideriamo la successione nx È facile vedere che Ma questa convergenza non è uniforme: esiste e, per esempio, tale che non importa quanto grande sia n, sul segmento serie di Fourier per una funzione di periodo arbitrario Rappresentazione complessa di la serie di Fourier serie di Fourier in generale sistemi di funzioni ortogonali serie di Fourier in un sistema ortogonale Proprietà minima dei coefficienti di Fourier Disuguaglianza di Bessel uguaglianza di Parseval Sistemi chiusi Completezza e chiusura dei sistemi e let ) nel sistema ortonormale b Considera una combinazione lineare dove n ^ 1 è un intero fisso, e trova i valori delle costanti per le quali l'integrale assume il suo valore minimo. Scriviamolo più in dettaglio Integrando termine per termine, per l'ortonormalità del sistema, otteniamo I primi due termini a destra dell'uguaglianza (7) sono indipendenti e il terzo termine non è negativo. Pertanto, l'integrale (*) assume un valore minimo in ak = sk. L'integrale è chiamato approssimazione radice-quadrato medio della funzione f(x) come combinazione lineare di Tn(x). Pertanto, l'approssimazione radice-quadrato-medio della funzione /\ assume un valore minimo quando. quando Tn(x) è la 71a somma parziale della serie di Fourier della funzione /(x) nel sistema (. Ponendo ak = ck, da (7) otteniamo L'uguaglianza (9) è chiamata identità di Bessel. Poiché la sua sinistra lato non è negativo, quindi da esso segue la disuguaglianza di Bessel Poiché qui è arbitrario, la disuguaglianza di Bessel può essere rappresentata in una forma rafforzata, cioè, per qualsiasi funzione /, la serie di coefficienti di Fourier al quadrato di questa funzione in un sistema ortonormale ) converge . Poiché il sistema è ortonormale sul segmento [-x, r], la disuguaglianza (10) tradotta nella consueta notazione della serie trigonometrica di Fourier dà la relazione do valida per qualsiasi funzione f(x) con quadrato integrabile. Se f2(x) è integrabile, allora, in virtù della condizione necessaria per la convergenza delle serie sul lato sinistro della disuguaglianza (11), lo otteniamo. Uguaglianza di Parseval Per alcuni sistemi (^n(x)) il segno di disuguaglianza nella formula (10) può essere sostituito (per tutte le funzioni f(x) 6 x) con un segno di uguale. L'uguaglianza risultante è chiamata uguaglianza di Parseval-Steklov (condizione di completezza). L'identità di Bessel (9) ci permette di scrivere la condizione (12) in una forma equivalente dalla norma spaziale 6]. Definizione. Un sistema ortonormale ( si dice completo in b2[ay b] se una qualsiasi funzione può essere approssimata con una qualsiasi precisione in media da una combinazione lineare della forma con un numero sufficientemente grande di termini, cioè se per qualsiasi funzione f(x) ∈ b2[a, b\ e per ogni e > 0 esiste un numero naturale nq e numeri a\, a2y..., tali che No. Teorema 7. Se il sistema ) è completo nello spazio per ortonormalizzazione, la serie di Fourier di qualsiasi funzione / in questo sistema converge a f( x) in media, cioè secondo la norma Si può dimostrare che il sistema trigonometrico è completo nello spazio Questo implica l'asserzione. Teorema 8. Se una funzione /0 converge ad essa la sua serie trigonometrica di Fourier in media. 9.5. sistemi chiusi. Completezza e chiusura dei sistemi Definizione. Un sistema ortonormale di funzioni \, si dice chiuso se nello spazio Li\a, b) non esiste una funzione diversa da zero ortogonale a tutte le funzioni Nello spazio L2\a, b\ i concetti di completezza e chiusura dei sistemi ortonormali coincidere. Esercizi 1. Espandi la funzione nella serie di Fourier nell'intervallo (-i-, x) 2. Espandi la funzione nella serie di Fourier nell'intervallo (-r, r) 3. Espandi la funzione nella serie di Fourier nell'intervallo (-r, r) 4. Espandere in una serie di Fourier nella funzione di intervallo (-jt, r) 5. Espandere in una serie di Fourier nell'intervallo (-r, r) la funzione f(x) = x + x. 6. Espandi in una serie di Fourier nell'intervallo (-jt, r) la funzione n 7. Espandi in una serie di Fourier nell'intervallo (-r, x) la funzione / (x) \u003d sin2 x. 8. Espandi in una serie di Fourier nell'intervallo (-m, jt) la funzione f(x) = y 9. Espandi in una serie di Fourier nell'intervallo (-mm, -k) la funzione f(x) = | sinx|. 10. Espandere in una serie di Fourier nell'intervallo (-x-, r) la funzione f(x) = g. 11. Espandi in una serie di Fourier nell'intervallo (-r, r) la funzione f (x) \u003d sin §. 12. Espandere in una serie di Fourier la funzione f (x) = n -2x, data nell'intervallo (0, x), proseguendola nell'intervallo (-x, 0): a) in modo pari; b) in modo strano. 13. Espandi in una serie di Fourier in termini di seni la funzione / (x) \u003d x2, data nell'intervallo (0, x). 14. Espandi in una serie di Fourier la funzione / (x) \u003d 3-x, data nell'intervallo (-2,2). 15. Espandere in una serie di Fourier la funzione f (x) \u003d |x |, data nell'intervallo (-1,1). 16. Espandi in una serie di Fourier in termini di seni la funzione f (x) \u003d 2x, specificata nell'intervallo (0,1).

serie di Fourier- un modo di rappresentare una funzione complessa come somma di funzioni più semplici e note.
Seno e coseno sono funzioni periodiche. Formano anche una base ortogonale. Questa proprietà può essere spiegata per analogia con gli assi X X X e AA Y sul piano delle coordinate. Allo stesso modo in cui possiamo descrivere le coordinate di un punto rispetto agli assi, possiamo descrivere qualsiasi funzione rispetto a seno e coseno. Le funzioni trigonometriche sono ben comprese e facili da applicare in matematica.

Puoi rappresentare seni e coseni sotto forma di tali onde:

Il blu sono i coseni, il rosso sono i seni. Queste onde sono anche chiamate armoniche. I coseni sono pari, i seni sono dispari. Il termine armonica deriva dall'antichità ed è associato a osservazioni sulla relazione delle altezze nella musica.

Cos'è una serie di Fourier

Tale serie, in cui le funzioni seno e coseno sono usate come le più semplici, è chiamata trigonometrica. Prende il nome dal suo inventore Jean Baptiste Joseph Fourier, tra la fine del XVIII e l'inizio del XIX secolo. che ha dimostrato che qualsiasi funzione può essere rappresentata come una combinazione di tali armoniche. E più ne prendi, più accurata sarà questa rappresentazione. Ad esempio, l'immagine qui sotto: puoi vedere che con un gran numero di armoniche, cioè membri della serie di Fourier, il grafico rosso si avvicina a quello blu - la funzione originale.

Applicazione pratica nel mondo moderno

Queste righe sono davvero necessarie ora? Dove possono essere applicati nella pratica e qualcuno diverso dai matematici teorici li usa? Si scopre che Fourier è famoso in tutto il mondo perché l'uso pratico delle sue serie è letteralmente incalcolabile. È conveniente usarli dove ci sono vibrazioni o onde: acustica, astronomia, radioingegneria, ecc. L'esempio più semplice del suo utilizzo è il meccanismo della fotocamera o della videocamera. In breve, questi dispositivi registrano non solo immagini, ma i coefficienti della serie di Fourier. E funziona ovunque, durante la visualizzazione di immagini su Internet, un film o l'ascolto di musica. È grazie alla serie Fourier che ora puoi leggere questo articolo dal tuo cellulare. Senza la trasformazione di Fourier, non avremmo abbastanza larghezza di banda di connessioni Internet per guardare semplicemente un video di YouTube, anche in qualità standard.

In questo diagramma, la trasformata di Fourier bidimensionale, che viene utilizzata per scomporre l'immagine in armoniche, cioè componenti di base. In questo diagramma, il valore -1 è codificato in nero, 1 in bianco.A destra e in basso nel grafico, la frequenza aumenta.

Espansione di Fourier

Probabilmente sei già stanco di leggere, quindi passiamo alle formule.
Per una tale tecnica matematica come l'espansione di funzioni in una serie di Fourier, si dovranno prendere integrali. Molti integrali. In generale, la serie di Fourier è scritta come una somma infinita:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (un n cos ⁡ (n x) + b n peccato ⁡ (n x)) f (x) = A + \ displaystyle \ sum_(n = 1) ^ (\ infty) (a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ (un n cos (n x ) +b n peccato (n x ) )
dove
UN = 1 2 π ∫ - π π f (x) d X A = \ frac (1) (2 \ pi) \ displaystyle \ int \ limiti_ (- \ pi) ^ (\ pi) f (x) dxA=2 pi1 − π ∫ π f(x)dx
un n = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limiti_(-\ pi) ^ (\ pi) f (x) \ cos(nx)dxun n = π 1 − π ∫ π f(x)cos(nx)dx
b n = 1 π ∫ - π π f (x) peccato ⁡ (n x) d x b_n = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int \ limiti_(-\ pi) ^ (\ pi) f (x) \ sin(nx)dxb n = π 1 − π ∫ π f(x)sin(nx)dx

Se possiamo in qualche modo contare un numero infinito di a n a_n un n e b n b_n b n (si chiamano coefficienti dell'espansione di Fourier, AA UNè solo una costante di questa espansione), quindi la serie risultante coinciderà al 100% con la funzione originale f(x)f(x) f(x) sul segmento da − π -\pi − π prima π\pi π . Tale segmento è dovuto alle proprietà di integrazione di seno e coseno. Più n n n, per il quale calcoliamo i coefficienti di espansione della funzione in una serie, tanto più accurata sarà questa espansione.

Esempio

Prendiamo una semplice funzione y=5x y=5x y=5x
UN = 1 2 π ∫ - π π f (x) d X = 1 2 π ∫ - π π 5 x d X = 0 A = \ frac(1) (2 \ pi) \ displaystyle \ int \ limiti_(-\ pi) ^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2 pi1 − π ∫ π f (x) d x =2 pi1 − π ∫ π 5xdx=0
un 1 = 1 π ∫ - π π f (x) cos ⁡ (x) d X = 1 π ∫ - π π 5 x cos ⁡ (x) d X = 0 a_1 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0un 1 = π 1 − π ∫ π f (x ) cos (x ) d x =π 1 − π ∫ π 5xcos(x)dx=0
b 1 = 1 π ∫ - π π f (x) peccato ⁡ (x) d X = 1 π ∫ - π π 5 x peccato ⁡ (x) d X = 10 b_1 = \ frac (1) (\ pi) \ displaystyle \ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10b 1 = π 1 − π ∫ π f (x) peccato (x) d x =π 1 − π ∫ π 5xsin(x)dx=1 0
un 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0un 2 = π 1 − π ∫ π f (x ) cos (2 x ) d x =π 1 − π ∫ π 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ - π π f (x) peccato ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ - π π 5 x peccato ⁡ (2 x) d x = - 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 = π 1 − π ∫ π f(X) peccato(2 X) dX= π 1 − π ∫ π 5 Xpeccato(2 X) dX= − 5

E così via. Nel caso di una tale funzione, possiamo subito dire che tutto $a_n=0$

$\approssimativamente 10 \cdot \ sin (x) - 5 \cdot \sin(2 \cdot x) + \frac(10)(3) \cdot \sin(3 \cdot x) - \frac(5)(2) \cdot \sin (4 \ cpunto x)$

Il grafico della funzione risultante sarà simile a questo:

L'espansione di Fourier risultante si avvicina alla nostra funzione originale. Se prendiamo un numero maggiore di termini nella serie, ad esempio 15, vedremo già quanto segue:

Più termini di espansione in una serie, maggiore è la precisione.
Se cambiamo leggermente la scala del grafico, possiamo notare un'altra caratteristica della trasformazione: la serie di Fourier è una funzione periodica con un periodo $2\pi$

Pertanto, è possibile rappresentare qualsiasi funzione continua sul segmento $[-\pi;\pi]$