Fourierova serija. Primjeri rješenja. Fourierovi redovi u primjerima i problemima Primjeri proširenja funkcije u Fourierov red

2. Određivanje serijskih koeficijenata korištenjem Fourierovih formula.

Neka je periodična funkcija ƒ(x) s periodom 2π takva da je predstavljena trigonometrijskim nizom koji konvergira datoj funkciji u intervalu (-π, π), tj. da je zbir ovog niza:

Pretpostavimo da je integral funkcije na lijevoj strani ove jednakosti jednak zbiru integrala članova ovog niza. Ovo će biti tačno ako pretpostavimo da je niz brojeva sastavljen od koeficijenata datog trigonometrijskog niza apsolutno konvergentan, tj.

Niz (1) je majoriziran i može se integrirati pojam po član u intervalu (-π, π). Integrirajmo obje strane jednakosti (2):

Procijenimo zasebno svaki integral koji se pojavljuje na desnoj strani:

,

,

dakle, , gdje

. (4)

Procjena Fourierovih koeficijenata. (Bugrov)

Teorema 1. Neka funkcija ƒ(x) perioda 2π ima kontinuirani izvod ƒ (s) (x) reda s, koji zadovoljava nejednakost na cijeloj realnoj osi:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

tada Fourierovi koeficijenti funkcije ƒ zadovoljavaju nejednakost

Dokaz. Integracija po dijelovima i vodeći računa o tome

ƒ(-π) = ƒ(π), imamo

Integriranje desne strane (7) sekvencijalno, uzimajući u obzir da su derivacije ƒ ΄, …, ƒ (s-1) kontinuirane i uzimaju iste vrijednosti u tačkama t = -π i t = π, kao kao i procenu (5), dobijamo prvu procenu (6).

Druga procjena (6) dobija se na sličan način.

Teorema 2. Za Fourierove koeficijente ƒ(x) vrijedi sljedeća nejednakost:

(8)

Dokaz. Imamo

(9)

Uvodeći promjenu varijable u ovom slučaju i uzimajući u obzir da je ƒ(x) periodična funkcija, dobivamo

Sabiranjem (9) i (10) dobijamo

Dokaz za b k izvodimo na sličan način.

Posljedica. Ako je funkcija ƒ(x) kontinuirana, tada njeni Fourierovi koeficijenti teže nuli: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Prostor funkcija sa skalarnim proizvodom.

Za funkciju ƒ(x) se kaže da je komadno kontinuirana na intervalu ako je kontinuirana na tom intervalu, s mogućim izuzetkom konačnog broja točaka u kojima ima diskontinuitete prve vrste. Takve tačke se mogu sabirati i množiti realnim brojevima i, kao rezultat, opet dobiti po komadima kontinuirane funkcije na segmentu.

Skalarni proizvod dva po komadu neprekidna na (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Očigledno, za bilo koje komadno kontinuirane funkcije ƒ, φ, ψ su zadovoljena sljedeća svojstva:

1) (ƒ, φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) a iz jednakosti (ƒ , ƒ) = 0 slijedi da je ƒ(x) =0 na , isključujući, možda, konačan broj točaka x;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ),

gdje su α, β proizvoljni realni brojevi.

Označit ćemo skup svih komadno kontinuiranih funkcija definiranih na intervalu za koji se skalarni proizvod uvodi prema formuli (11), i nazovi to prostor

Napomena 1.

U matematici, prostor = (a, b) je skup funkcija ƒ(x) koje su integrabilne u Lebesgueovom smislu na zajedno sa svojim kvadratima, za koje se skalarni proizvod uvodi prema formuli (11). Prostor u pitanju je dio. Prostor ima mnoga svojstva prostora, ali ne sva.

Iz svojstava 1), 2), 3) slijedi važna nejednakost Bunyakovskog | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ, ƒ) ½ (φ, φ) ½, što na jeziku integrala izgleda ovako:

Magnituda

naziva se norma funkcije f.

Norma ima sljedeća svojstva:

1) || f || ≥ 0, u ovom slučaju jednakost može biti samo za nultu funkciju f = 0, tj. funkciju jednaku nuli, osim, možda, za konačan broj tačaka;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

gdje je α realan broj.

Drugo svojstvo na jeziku integrala izgleda ovako:

i naziva se nejednakost Minkowskog.

Kažu da niz funkcija ( f n ) pripada, konvergira funkciji koja pripada u smislu srednjeg kvadrata (ili također u normi) ako

Imajte na umu da ako se niz funkcija ƒ n (x) ravnomjerno konvergira funkciji ƒ (x) na segmentu , tada bi za dovoljno veliki n razlika ƒ (x) - ƒ n (x) u apsolutnoj vrijednosti trebala biti mala za sve x iz segmenta .

Ako ƒ n (x) teži ƒ (x) u smislu srednjeg kvadrata na intervalu , tada naznačena razlika možda neće biti mala za veliko n svuda na . Na nekim mjestima segmenta ova razlika može biti velika, ali jedino je važno da je integral njegovog kvadrata nad segmentom mali za veliko n.

Primjer. Neka je zadana kontinuirana komadno linearna funkcija ƒ n (x) (n = 1, 2,...) prikazana na slici, i

(Bugrov, str. 281, sl. 120)

Za bilo koji prirodan broj n

i, prema tome, ovaj niz funkcija, iako konvergira na nulu pri n → ∞, ne konvergira ravnomjerno. U međuvremenu

to jest, niz funkcija (f n (x)) teži nuli u smislu srednjeg kvadrata na .

Iz elemenata određenog niza funkcija ƒ 1, ƒ 2, ƒ 3,... (koji pripadaju ) konstruiramo niz

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Zbir njegovih prvih n članova

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

postoji funkcija koja pripada . Ako se dogodi da postoji funkcija ƒ takva da

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

onda kažu da niz (12) konvergira funkciji ƒ u smislu srednjeg kvadrata i zapiši

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Napomena 2.

Možemo razmotriti prostor = (a, b) funkcija kompleksne vrijednosti ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), gdje su ƒ 1 (x) i ƒ 2 (x) realne komadno kontinuirane funkcije . U ovom prostoru funkcije se množe s kompleksnim brojevima i skalarnim proizvodom funkcija ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) i φ(x) = φ 1 (x) +i φ 2 (x ) definira se na sljedeći način:

a norma ƒ je definirana kao vrijednost

Fourierovi redovi su prikaz proizvoljne funkcije sa određenim periodom u obliku niza. Općenito, ovo rješenje se naziva dekompozicija elementa duž ortogonalne baze. Proširenje funkcija u Fourierov red je prilično moćan alat za rješavanje različitih problema zbog svojstava ove transformacije tokom integracije, diferencijacije, kao i pomjeranja izraza argumentom i konvolucijom.

Osoba koja nije upoznata sa višom matematikom, kao i sa radovima francuskog naučnika Fouriera, najvjerovatnije neće razumjeti šta su ove „serije“ i čemu su potrebne. U međuvremenu, ova transformacija je postala prilično integrirana u naše živote. Koriste ga ne samo matematičari, već i fizičari, hemičari, doktori, astronomi, seizmolozi, okeanografi i mnogi drugi. Pogledajmo i pobliže radove velikog francuskog naučnika koji je napravio otkriće koje je bilo ispred svog vremena.

Čovjek i Fourierova transformacija

Fourierovi nizovi su jedna od metoda (zajedno sa analizom i drugim). Ovaj proces se dešava svaki put kada osoba čuje zvuk. Naše uho automatski transformiše elementarne čestice u elastičnom mediju u redove (duž spektra) uzastopnih nivoa jačine zvuka za tonove različite visine. Zatim, mozak pretvara ove podatke u zvukove koji su nam poznati. Sve se to dešava izvan naše želje ili svijesti, samo od sebe, ali da bismo razumjeli te procese, biće potrebno nekoliko godina da se izuči višu matematika.

Više o Fourierovoj transformaciji

Fourierova transformacija se može izvesti analitičkim, numeričkim i drugim metodama. Fourierovi redovi se odnose na numeričku metodu razlaganja bilo kakvih oscilatornih procesa - od okeanskih plima i svjetlosnih valova do ciklusa solarne (i drugih astronomskih objekata) aktivnosti. Koristeći ove matematičke tehnike, možete analizirati funkcije, predstavljajući sve oscilatorne procese kao niz sinusnih komponenti koje se kreću od minimuma do maksimuma i nazad. Fourierova transformacija je funkcija koja opisuje fazu i amplitudu sinusoida koje odgovaraju određenoj frekvenciji. Ovaj proces se može koristiti za rješavanje vrlo složenih jednačina koje opisuju dinamičke procese koji nastaju pod utjecajem toplinske, svjetlosne ili električne energije. Takođe, Fourierovi nizovi omogućavaju izolaciju konstantnih komponenti u složenim oscilatornim signalima, što omogućava ispravnu interpretaciju eksperimentalnih zapažanja dobijenih u medicini, hemiji i astronomiji.

Istorijska referenca

Osnivač ove teorije je francuski matematičar Jean Baptiste Joseph Fourier. Ova transformacija je kasnije nazvana po njemu. U početku je naučnik koristio svoju metodu da proučava i objasni mehanizme toplotne provodljivosti - širenja toplote u čvrstim materijama. Fourier je predložio da se početna nepravilna raspodjela može razložiti na jednostavne sinusoide, od kojih će svaka imati svoj temperaturni minimum i maksimum, kao i svoju fazu. U ovom slučaju, svaka takva komponenta će se mjeriti od minimuma do maksimuma i nazad. Matematička funkcija koja opisuje gornji i donji vrh krivulje, kao i fazu svakog od harmonika, naziva se Fourierova transformacija izraza raspodjele temperature. Autor teorije je opću funkciju distribucije, koju je teško matematički opisati, sveo na vrlo pogodan niz kosinusa i sinusa, koji zajedno daju originalnu distribuciju.

Princip transformacije i pogledi savremenika

Naučnikovi savremenici - vodeći matematičari ranog devetnaestog veka - nisu prihvatili ovu teoriju. Glavni prigovor je bila Fourierova tvrdnja da se diskontinuirana funkcija, koja opisuje pravu liniju ili diskontinuiranu krivu, može predstaviti kao zbir sinusoidnih izraza koji su kontinuirani. Kao primjer, razmotrite Hevisajdov korak: njegova vrijednost je nula lijevo od diskontinuiteta i jedan desno. Ova funkcija opisuje ovisnost električne struje o privremenoj varijabli kada je krug zatvoren. Savremenici teorije u to vrijeme nikada se nisu susreli sa sličnom situacijom u kojoj bi diskontinuirani izraz bio opisan kombinacijom kontinuiranih, običnih funkcija kao što su eksponencijalne, sinusne, linearne ili kvadratne.

Šta je zbunilo francuske matematičare oko Furijeove teorije?

Na kraju krajeva, ako je matematičar bio u pravu u svojim izjavama, onda se zbrajanjem beskonačnog trigonometrijskog Fourierovog niza može dobiti tačan prikaz koraka izraza, čak i ako ima mnogo sličnih koraka. Početkom devetnaestog veka takva izjava je izgledala apsurdno. Ali uprkos svim sumnjama, mnogi matematičari proširili su opseg proučavanja ovog fenomena, odvodeći ga dalje od proučavanja toplotne provodljivosti. Međutim, većinu naučnika i dalje muči pitanje: "Može li zbir sinusoidnog niza konvergirati točnoj vrijednosti diskontinuirane funkcije?"

Konvergencija Fourierovih redova: primjer

Pitanje konvergencije se postavlja kad god je potrebno sabrati beskonačne nizove brojeva. Da biste razumjeli ovaj fenomen, razmotrite klasičan primjer. Hoćete li ikada moći doći do zida ako je svaki sljedeći korak upola manji od prethodnog? Recimo da ste dva metra od cilja, prvi korak vas vodi do polovine, sljedeći vas vodi do tri četvrtine, a nakon petog ćete preći skoro 97 posto puta. Međutim, bez obzira na to koliko koraka napravite, nećete postići željeni cilj u strogom matematičkom smislu. Koristeći numeričke proračune, može se dokazati da je na kraju moguće prići što bliže određenoj udaljenosti. Ovaj dokaz je ekvivalentan demonstraciji da će zbir jedne polovine, jedne četvrtine, itd. težiti jedinstvu.

Pitanje konvergencije: Drugi dolazak, ili instrument Lorda Kelvina

Ovo pitanje je ponovo pokrenuto krajem devetnaestog veka, kada su pokušali da koriste Fourierov niz za predviđanje intenziteta plime i oseke. U to vrijeme, Lord Kelvin je izumio instrument, koji je bio analogni računarski uređaj koji je omogućio vojnim i trgovačkim mornarima da prate ovaj prirodni fenomen. Ovaj mehanizam je određivao skupove faza i amplituda iz tabele visina plime i odgovarajućih vremenskih tačaka, pažljivo mjerenih u datoj luci tokom cijele godine. Svaki parametar bio je sinusoidna komponenta izraza visine plime i jedna od regularnih komponenti. Mjerenja su unesena u računski instrument Lorda Kelvina, koji je sintetizirao krivulju koja je predviđala visinu vode kao funkciju vremena za narednu godinu. Vrlo brzo su iscrtane slične krivulje za sve luke svijeta.

Što ako je proces poremećen diskontinuiranom funkcijom?

Tada se činilo očiglednim da prediktor plimnog talasa sa velikim brojem elemenata za brojanje može izračunati veliki broj faza i amplituda i na taj način obezbediti preciznija predviđanja. Međutim, pokazalo se da se ovaj obrazac ne primjećuje u slučajevima kada je ekspresija plime koja bi se trebala sintetizirati sadržavala oštar skok, odnosno bio je diskontinuiran. Ako se u uređaj unesu podaci iz tabele vremenskih momenata, on izračunava nekoliko Fourierovih koeficijenata. Originalna funkcija se vraća zahvaljujući sinusoidnim komponentama (u skladu sa pronađenim koeficijentima). Nesklad između originalnog i rekonstruiranog izraza može se izmjeriti u bilo kojoj tački. Kada se vrše ponovljeni proračuni i poređenja, jasno je da se vrijednost najveće greške ne smanjuje. Međutim, oni su lokalizirani u području koje odgovara tački diskontinuiteta, au bilo kojoj drugoj tački teže nuli. Godine 1899., ovaj rezultat je teoretski potvrdio Joshua Willard Gibbs sa Univerziteta Yale.

Konvergencija Fourierovih redova i razvoj matematike općenito

Fourierova analiza nije primjenjiva na izraze koji sadrže beskonačan broj skokova u određenom intervalu. Općenito, Fourierovi redovi, ako je originalna funkcija predstavljena rezultatom stvarnog fizičkog mjerenja, uvijek konvergiraju. Pitanja o konvergenciji ovog procesa za određene klase funkcija dovela su do pojave novih grana u matematici, na primjer, teorije generaliziranih funkcija. Vezana je za imena kao što su L. Schwartz, J. Mikusinski i J. Temple. U okviru ove teorije stvorena je jasna i precizna teorijska osnova za izraze kao što su Diracova delta funkcija (opisuje područje jedne površine koncentrirano u infinitezimalnom susjedstvu tačke) i Heavisideov “korak”. Zahvaljujući ovom radu, Fourierovi redovi su postali primjenjivi na rješavanje jednačina i problema koji uključuju intuitivne koncepte: tačkasti naboj, tačkasta masa, magnetni dipoli i koncentrisano opterećenje na snopu.

Fourierova metoda

Fourierovi redovi, u skladu sa principima interferencije, počinju razlaganjem složenih oblika na jednostavnije. Na primjer, promjena toka topline objašnjava se njegovim prolaskom kroz razne prepreke od toplotnoizolacionog materijala nepravilnog oblika ili promjenom površine zemlje - potresom, promjenom orbite nebeskog tijela - utjecajem planeta. Po pravilu, takve jednačine koje opisuju jednostavne klasične sisteme mogu se lako riješiti za svaki pojedinačni val. Fourier je pokazao da se jednostavna rješenja također mogu sabrati kako bi se proizvela rješenja za složenije probleme. U matematičkom smislu, Fourierovi redovi su tehnika za predstavljanje izraza kao sume harmonika - kosinusa i sinusa. Stoga je ova analiza poznata i kao „harmonička analiza“.

Fourierov niz - idealna tehnika prije "kompjuterskog doba"

Prije stvaranja kompjuterske tehnologije, Fourierova metoda je bila najbolje oružje u arsenalu naučnika u radu s talasnom prirodom našeg svijeta. Fourierov red u složenom obliku omogućava rješavanje ne samo jednostavnih problema koji se mogu direktno primijeniti na Newtonove zakone mehanike, već i fundamentalne jednadžbe. Većina otkrića Njutnove nauke u devetnaestom veku omogućila je samo Furijeova tehnika.

Fourierova serija danas

Sa razvojem računara, Fourierove transformacije su se podigle na kvalitativno novi nivo. Ova tehnika je čvrsto uspostavljena u gotovo svim oblastima nauke i tehnologije. Primjer je digitalni audio i video. Njegova implementacija je postala moguća samo zahvaljujući teoriji koju je razvio francuski matematičar početkom devetnaestog veka. Dakle, Fourierov niz u složenom obliku omogućio je iskorak u proučavanju svemira. Osim toga, utjecao je na proučavanje fizike poluvodičkih materijala i plazme, mikrovalne akustike, oceanografije, radara i seizmologije.

Trigonometrijska Fourierova serija

U matematici, Fourierov red je način predstavljanja proizvoljnih složenih funkcija kao zbroja jednostavnijih. U opštim slučajevima, broj takvih izraza može biti beskonačan. Štaviše, što se njihov broj više uzima u obzir u proračunu, to je konačni rezultat tačniji. Najčešće se kao najjednostavnije koriste trigonometrijske funkcije kosinusa ili sinusa. U ovom slučaju, Fourierovi redovi se nazivaju trigonometrijski, a rješenje takvih izraza naziva se harmonijska ekspanzija. Ova metoda igra važnu ulogu u matematici. Prije svega, trigonometrijski niz pruža sredstvo za prikazivanje i proučavanje funkcija; Osim toga, omogućava rješavanje brojnih problema iz matematičke fizike. Konačno, ova teorija je doprinijela razvoju niza veoma važnih grana matematičke nauke (teorija integrala, teorija periodičnih funkcija). Osim toga, poslužio je kao polazna tačka za razvoj sljedećih funkcija realne varijable, a također je postavio temelj za harmonijsku analizu.

Koje su već prilično dosadne. I osjećam da je došao trenutak kada je došlo vrijeme da se iz strateških rezervi teorije izvuku nova konzervirana roba. Da li je moguće proširiti funkciju u niz na neki drugi način? Na primjer, izraziti segment prave linije u smislu sinusa i kosinusa? Čini se nevjerovatnim, ali takve naizgled udaljene funkcije mogu biti
"ponovno ujedinjenje". Pored poznatih diploma u teoriji i praksi, postoje i drugi pristupi proširenju funkcije u niz.

U ovoj lekciji ćemo se upoznati sa trigonometrijskim Fourierovim redom, dotaknuti se pitanja njegove konvergencije i sume i, naravno, analiziraćemo brojne primere proširenja funkcija u Fourierov red. Iskreno sam želio nazvati članak „Furierov niz za lutke“, ali to bi bilo neiskreno, jer bi rješavanje problema zahtijevalo poznavanje drugih grana matematičke analize i određeno praktično iskustvo. Stoga će preambula ličiti na obuku astronauta =)

Prvo, trebali biste pristupiti proučavanju materijala stranica u odličnom obliku. Pospan, odmoran i priseban. Bez jakih emocija o slomljenoj nozi hrčka i opsesivnih misli o teškoćama života akvarijskih riba. Fourierov niz nije teško razumjeti, ali praktični zadaci jednostavno zahtijevaju povećanu koncentraciju pažnje - u idealnom slučaju, trebali biste se potpuno odvojiti od vanjskih podražaja. Situaciju otežava činjenica da ne postoji lak način da se proveri rešenje i odgovori. Dakle, ako je vaše zdravlje ispod prosjeka, onda je bolje učiniti nešto jednostavnije. Da li je istina.

Drugo, prije letenja u svemir potrebno je proučiti instrument ploču letjelice. Počnimo s vrijednostima funkcija koje treba kliknuti na mašini:

Za bilo koju prirodnu vrijednost:

1) . Zaista, sinusoida "prošiva" x-osu kroz svaki "pi":
. U slučaju negativnih vrijednosti argumenta, rezultat će, naravno, biti isti: .

2) . Ali nisu svi to znali. Kosinus "pi" je ekvivalent "blinkaru":

Negativan argument ne mijenja stvar: .

Možda je to dovoljno.

I treće, dragi kosmonautski korpusi, morate biti u stanju da... integrisati.
Posebno samouvjereno podvesti funkciju pod diferencijalni predznak, integrisati po komadu i budi u miru Newton-Leibnizova formula. Počnimo sa važnim vježbama prije leta. Kategorično ne preporučujem da ga preskočite, kako se kasnije ne biste zgnječili u bestežinskom stanju:

Primjer 1

Izračunati određene integrale

gdje preuzima prirodne vrijednosti.

Rješenje: integracija se vrši preko varijable “x” i u ovoj fazi se diskretna varijabla “en” smatra konstantom. U svim integralima stavi funkciju pod diferencijalni predznak:

Kratka verzija rješenja na koju bi bilo dobro ciljati izgleda ovako:

Hajde da se naviknemo:

Četiri preostale tačke su za vas. Pokušajte savjesno pristupiti zadatku i napišite integrale na kratak način. Primjeri rješenja na kraju lekcije.

Nakon izvođenja vježbi KVALITETNO obukli smo skafander
i spremam se za početak!

Proširivanje funkcije u Fourierov niz na intervalu

Razmotrimo tu neku funkciju odlučan barem na određeno vrijeme (a moguće i na duži period). Ako je ova funkcija integrabilna na intervalu, onda se može proširiti u trigonometrijsku Fourierova serija:
, gdje se nalaze tzv Fourierovi koeficijenti.

U ovom slučaju se poziva broj period raspadanja, a broj je poluživot raspadanja.

Očigledno je da se u opštem slučaju Fourierov red sastoji od sinusa i kosinusa:

Zaista, hajde da to zapišemo detaljno:

Nulti član serije obično se piše u obliku .

Fourierovi koeficijenti se izračunavaju pomoću sljedećih formula:

Savršeno dobro razumijem da onima koji počinju proučavati ovu temu još uvijek nisu jasni novi pojmovi: period raspadanja, poluciklus, Fourierovi koeficijenti itd. Bez panike, ovo se ne može porediti sa uzbuđenjem pred odlazak u svemir. Razumijemo sve u sljedećem primjeru, prije izvođenja kojeg je logično postaviti goruća praktična pitanja:

Šta treba da uradite u sledećim zadacima?

Proširite funkciju u Fourierov niz. Uz to, često je potrebno prikazati graf funkcije, graf zbira niza, djelomični zbir, au slučaju sofisticiranih profesorskih fantazija, učiniti nešto drugo.

Kako proširiti funkciju u Fourierov red?

U suštini, morate pronaći Fourierovi koeficijenti, odnosno sastavi i izračunaj tri definitivni integral.

Molimo kopirajte opći oblik Fourierove serije i tri radne formule u svoju bilježnicu. Veoma mi je drago što neki posetioci sajta ostvaruju svoj detinji san da postanu astronaut pred mojim očima =)

Primjer 2

Proširite funkciju u Fourierov niz na intervalu. Konstruirajte graf, graf zbira niza i parcijalnog zbira.

Rješenje: Prvi dio zadatka je proširiti funkciju u Fourierov niz.

Početak je standardan, obavezno zapišite:

U ovom problemu period ekspanzije je poluperiod.

Proširimo funkciju u Fourierov niz na intervalu:

Koristeći odgovarajuće formule, nalazimo Fourierovi koeficijenti. Sada treba da sastavimo i izračunamo tri definitivni integral. Radi praktičnosti, numerisaću tačke:

1) Prvi integral je najjednostavniji, međutim, za njega su potrebne i očne jabučice:

2) Koristite drugu formulu:

Ovaj integral je dobro poznat i uzima deo po deo:

Koristi se kada se nađe metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak.

U zadatku koji se razmatra, pogodnije je odmah koristiti formula za integraciju po dijelovima u određenom integralu :

Par tehničkih napomena. Prvo, nakon primjene formule cijeli izraz mora biti stavljen u velike zagrade, pošto postoji konstanta ispred originalnog integrala. Nemojmo je izgubiti! Zagrade se mogu proširiti u bilo kojem daljnjem koraku. U prvom "komadu" Pokazujemo izuzetnu pažnju u zamjeni, kao što vidite, konstanta se ne koristi, a granice integracije su zamijenjene u proizvodu. Ova radnja je istaknuta u uglastim zagradama. Pa, upoznati ste sa integralom drugog “komada” formule iz zadatka za obuku ;-)

I što je najvažnije - ekstremna koncentracija!

3) Tražimo treći Furijeov koeficijent:

Dobija se relativ prethodnog integrala, koji je takođe integriše po komadu:

Ovaj primjer je malo složeniji, komentirat ću dalje korake korak po korak:

(1) Izraz je u potpunosti stavljen u velike zagrade. Nisam želeo da delujem dosadno, prečesto gube konstantu.

(2) U ovom slučaju, odmah sam otvorio ove velike zagrade. Posebna pažnja Posvećujemo se prvom “komadu”: stalno puši sa strane i ne učestvuje u zamjeni granica integracije (i) u proizvod. Zbog nereda u zapisu, ponovo je preporučljivo ovu radnju istaknuti uglastim zagradama. Sa drugim "komadom" sve je jednostavnije: ovdje se razlomak pojavio nakon otvaranja velikih zagrada, a konstanta - kao rezultat integracije poznatog integrala;-)

(3) Transformacije provodimo u uglastim zagradama, au desnom integralu zamjenjujemo granice integracije.

(4) Uklonimo „trepćuće svjetlo“ iz uglastih zagrada: , a zatim otvorimo unutrašnje zagrade: .

(5) Poništavamo 1 i –1 u zagradama i izvodimo konačna pojednostavljenja.

Konačno, sva tri Furijeova koeficijenta su pronađena:

Zamijenimo ih u formulu :

U isto vrijeme, ne zaboravite podijeliti na pola. U zadnjem koraku, konstanta (“minus dva”), koja ne zavisi od “en”, uzima se izvan zbira.

Tako smo dobili proširenje funkcije u Fourierov red na intervalu:

Proučimo pitanje konvergencije Fourierovog reda. Posebno ću objasniti teoriju Dirichletova teorema, doslovno "na prste", pa ako su vam potrebne stroge formulacije, pogledajte udžbenik matematičke analize (na primjer, 2. tom Bohana; ili 3. tom Fihtenholca, ali je teže).

Drugi dio zadatka zahtijeva crtanje grafa, grafa zbira niza i grafa parcijalnog zbira.

Grafikon funkcije je uobičajen prava linija na ravni, koji je nacrtan crnom isprekidanom linijom:

Hajde da shvatimo zbir serije. Kao što znate, nizovi funkcija konvergiraju funkcijama. U našem slučaju, konstruisani Fourierov red za bilo koju vrijednost "x"će konvergirati funkciji koja je prikazana crvenom bojom. Ova funkcija toleriše rupture 1. vrste u tačkama, ali je i definisan na njima (crvene tačke na crtežu)

ovako: . Lako je uočiti da se primjetno razlikuje od originalne funkcije, zbog čega u unosu Koristi se tilda umjesto znaka jednakosti.

Hajde da proučimo algoritam koji je pogodan za konstruisanje sume niza.

Na središnjem intervalu, Fourierov red konvergira samoj funkciji (središnji crveni segment poklapa se sa crnom isprekidanom linijom linearne funkcije).

Hajdemo sada malo o prirodi trigonometrijske ekspanzije koja se razmatra. Fourierova serija uključene su samo periodične funkcije (konstante, sinusi i kosinusi), tako da je zbir niza je također periodična funkcija.

Šta to znači u našem konkretnom primjeru? A to znači da je zbir serije –svakako periodično a crveni segment intervala mora se beskonačno ponavljati lijevo i desno.

Mislim da je značenje izraza „period raspadanja“ sada konačno postalo jasno. Pojednostavljeno rečeno, svaki put se situacija iznova ponavlja.

U praksi je obično dovoljno prikazati tri perioda dekompozicije, kao što je to učinjeno na crtežu. Pa, i "panjevi" susjednih perioda - tako da je jasno da se grafikon nastavlja.

Od posebnog interesa su tačke diskontinuiteta 1. vrste. U takvim tačkama Fourierov red konvergira ka izolovanim vrednostima, koje se nalaze tačno u sredini „skoka“ diskontinuiteta (crvene tačke na crtežu). Kako saznati ordinate ovih tačaka? Prvo, pronađimo ordinatu "gornjeg kata": da bismo to učinili, izračunavamo vrijednost funkcije u krajnjoj desnoj tački središnjeg perioda ekspanzije: . Da biste izračunali ordinatu "donjeg sprata", najlakši način je da uzmete najlijevu vrijednost istog perioda: . Ordinata prosječne vrijednosti je aritmetička sredina zbira “vrh i dna”: . Ugodna činjenica je da ćete prilikom konstruiranja crteža odmah vidjeti da li je sredina izračunata ispravno ili netačno.

Konstruirajmo parcijalni zbir niza i u isto vrijeme ponovimo značenje pojma "konvergencija". Motiv je poznat i iz lekcije o zbir niza brojeva. Hajde da detaljno opišemo naše bogatstvo:

Da biste sastavili delimični zbir, potrebno je da napišete nula + još dva člana serije. To je,

Na crtežu je grafik funkcije prikazan zelenom bojom i, kao što vidite, prilično čvrsto „zamotava“ puni zbir. Ako uzmemo u obzir djelomični zbir od pet članova serije, onda će graf ove funkcije još preciznije aproksimirati crvene linije, ako postoji sto članova, tada će se “zelena zmija” zapravo potpuno spojiti s crvenim segmentima; itd. Dakle, Fourierov red konvergira svom zbiru.

Zanimljivo je primijetiti da je bilo koji djelomični iznos kontinuirana funkcija, međutim, ukupan zbroj serije je i dalje diskontinuiran.

U praksi, nije tako retko konstruisati graf parcijalne sume. Kako uraditi? U našem slučaju, potrebno je razmotriti funkciju na segmentu, izračunati njene vrijednosti na krajevima segmenta i u međutočkama (što više tačaka uzmete u obzir, to će graf biti tačniji). Zatim treba da označite ove tačke na crtežu i pažljivo nacrtate grafikon na periodu, a zatim ga „replicirate“ u susedne intervale. Kako drugačije? Na kraju krajeva, aproksimacija je također periodična funkcija... ...na neki način me njen grafikon podsjeća na uglađen srčani ritam na displeju medicinskog uređaja.

Izvođenje konstrukcije, naravno, nije baš zgodno, jer morate biti izuzetno oprezni, održavajući tačnost ne manju od pola milimetra. Međutim, ugodit ću čitateljima kojima crtanje nije ugodno – u “pravom” problemu nije uvijek potrebno izvršiti crtež u oko 50% slučajeva potrebno je proširiti funkciju u Fourierov niz i to je to; .

Nakon završetka crteža, završavamo zadatak:

Odgovori:

U mnogim zadacima funkcija trpi ruptura 1. vrste tačno tokom perioda raspadanja:

Primjer 3

Proširite funkciju datu na intervalu u Fourierov niz. Nacrtajte graf funkcije i ukupnog zbroja niza.

Predložena funkcija je specificirana u komadima (i, napominjemo, samo na segmentu) i izdrži ruptura 1. vrste u tački . Da li je moguće izračunati Fourierove koeficijente? Nema problema. I lijeva i desna strana funkcije su integrabilne na svojim intervalima, stoga integrale u svakoj od tri formule treba prikazati kao zbir dva integrala. Pogledajmo, na primjer, kako se to radi za nulti koeficijent:

Pokazalo se da je drugi integral jednak nuli, što je smanjilo rad, ali to nije uvijek slučaj.

Druga dva Fourierova koeficijenta opisana su slično.

Kako prikazati zbir niza? Na lijevom intervalu crtamo ravnu liniju, a na intervalu - ravnu liniju (odsjek ose ističemo podebljano i podebljano). Odnosno, na intervalu proširenja, zbir niza se poklapa sa funkcijom svuda osim za tri „loše“ tačke. U tački diskontinuiteta funkcije, Fourierov red će konvergirati do izolovane vrijednosti, koja se nalazi tačno u sredini „skoka“ diskontinuiteta. Nije teško to usmeno vidjeti: lijevo ograničenje: , desno ograničenje: i, očigledno, ordinata sredine je 0,5.

Zbog periodičnosti zbira, slika se mora „pomnožiti“ u susjedne periode, posebno ista stvar mora biti prikazana na intervalima i . Istovremeno, u tačkama će Fourierov red konvergirati srednjim vrijednostima.

U stvari, tu nema ničeg novog.

Pokušajte sami da se nosite sa ovim zadatkom. Približan uzorak konačnog dizajna i crtež na kraju lekcije.

Proširenje funkcije u Fourierov niz u proizvoljnom periodu

Za proizvoljni period ekspanzije, gdje je "el" bilo koji pozitivan broj, formule za Fourierov red i Fourierove koeficijente razlikuju se malo složenijim argumentom za sinus i kosinus:

Ako je , tada dobivamo intervalne formule s kojima smo započeli.

Algoritam i principi za rješavanje problema u potpunosti su očuvani, ali se povećava tehnička složenost proračuna:

Primjer 4

Proširite funkciju u Fourierov red i nacrtajte zbir.

Rješenje: zapravo analog primjera br. 3 sa ruptura 1. vrste u tački . U ovom problemu period ekspanzije je poluperiod. Funkcija je definirana samo na poluintervalu, ali to ne mijenja stvar - važno je da su oba dijela funkcije integrabilna.

Proširimo funkciju u Fourierov niz:

Budući da je funkcija diskontinuirana u početku, svaki Fourierov koeficijent bi očito trebao biti zapisan kao zbir dvaju integrala:

1) Prvi integral ću napisati što je moguće detaljnije:

2) Pažljivo gledamo na površinu Mjeseca:

Drugi integral uzimaj deo po deo:

Na šta treba obratiti posebnu pažnju nakon što otvorimo nastavak rješenja sa zvjezdicom?

Prvo, ne gubimo prvi integral , gdje odmah izvršavamo pretplati se na diferencijalni znak. Drugo, ne zaboravite na nesrećnu konstantu ispred velikih zagrada i nemojte se zbuniti znakovima kada koristite formulu . Velike zagrade je ipak pogodnije otvoriti odmah u sljedećem koraku.

Ostalo je stvar tehnike poteškoće mogu biti uzrokovane samo nedovoljnim iskustvom u rješavanju integrala.

Da, nisu uzalud bili ogorčeni ugledni kolege francuskog matematičara Fouriera - kako se on usudio složiti funkcije u trigonometrijske nizove?! =) Inače, vjerovatno sve zanima praktično značenje dotičnog zadatka. I sam Fourier je radio na matematičkom modelu toplinske provodljivosti, a potom je serija nazvana po njemu počela da se koristi za proučavanje mnogih periodičnih procesa, koji su vidljivi i nevidljivi u okolnom svijetu. Sada sam, inače, uhvatio sebe kako mislim da nisam slučajno uporedio grafik drugog primjera s periodičnim ritmom srca. Zainteresovani se mogu upoznati sa praktičnom primjenom Fourierova transformacija u izvorima trećih strana. ...Iako je bolje ne - pamtiće se kao Prva ljubav =)

3) Uzimajući u obzir više puta spominjane slabe karike, pogledajmo treći koeficijent:

Integrirajmo po dijelovima:

Zamijenimo pronađene Fourierove koeficijente u formulu , ne zaboravljajući podijeliti nulti koeficijent na pola:

Nacrtajmo zbir serije. Ponovimo ukratko postupak: na intervalu konstruišemo pravu, a na intervalu pravu. Ako je vrijednost “x” nula, stavljamo tačku u sredinu “skoka” jaza i “repliciramo” graf za susjedne periode:


Na “spojnicama” perioda, zbir će takođe biti jednak sredinama “skoka” jaza.

Spreman. Da vas podsjetim da je sama funkcija po uvjetu definirana samo na poluintervalu i očito se poklapa sa zbirom nizova na intervalima

Odgovori:

Ponekad je funkcija zadana po komadima kontinuirana tokom perioda ekspanzije. Najjednostavniji primjer: . Rješenje (vidi Bohan tom 2) isto kao u dva prethodna primjera: uprkos kontinuitet funkcije u tački , svaki Fourier koeficijent se izražava kao zbir dva integrala.

Na intervalu razlaganja tačke diskontinuiteta 1. vrste i/ili može biti više „spojnih“ tačaka grafa (dve, tri i generalno bilo koje final količina). Ako je funkcija integrabilna na svakom dijelu, onda je također proširiva u Fourierov red. Ali iz praktičnog iskustva ne pamtim tako okrutnu stvar. Međutim, postoje teži zadaci od onih koji su upravo razmatrani, a na kraju članka su linkovi na Fourierove serije povećane složenosti za sve.

U međuvremenu, opustimo se, zavalimo se u fotelje i promatrajmo beskrajna zvjezdana prostranstva:

Primjer 5

Proširite funkciju u Fourierov niz na intervalu i nacrtajte zbir tog niza.

U ovom problemu funkcija kontinuirano na poluintervalu ekspanzije, što pojednostavljuje rješenje. Sve je vrlo slično primjeru br. 2. Iz svemirskog broda nema bijega - morate odlučiti =) Približan uzorak dizajna na kraju lekcije, dijagram je u prilogu.

Proširivanje parnih i neparnih funkcija u Fourierov red

Uz parne i neparne funkcije, proces rješavanja problema je značajno pojednostavljen. I zato. Vratimo se na proširenje funkcije u Fourierov red s periodom od “dva pi” i proizvoljna tačka “dva el” .

Pretpostavimo da je naša funkcija parna. Opšti pojam serije, kao što vidite, sadrži parne kosinuse i neparne sinuse. A ako proširujemo EVEN funkciju, zašto su nam onda potrebni neparni sinusi?! Resetujmo nepotreban koeficijent: .

dakle, parna funkcija se može proširiti u Fourierov red samo u kosinusima:

Zbog integrali parnih funkcija duž segmenta integracije koji je simetričan u odnosu na nulu može se udvostručiti, tada se preostali Fourierovi koeficijenti pojednostavljuju.

Za prazninu:

Za proizvoljan interval:

Primjeri iz udžbenika koji se mogu naći u gotovo svakom udžbeniku matematičke analize uključuju proširenja parnih funkcija . Osim toga, nekoliko puta su se susreli u mojoj ličnoj praksi:

Primjer 6

Funkcija je data. Obavezno:

1) proširiti funkciju u Fourierov red s periodom, gdje je proizvoljan pozitivan broj;

2) zapisati ekspanziju na intervalu, konstruisati funkciju i nacrtati ukupan zbir niza.

Rješenje: u prvom pasusu se predlaže rješavanje problema u općem obliku, i to je vrlo zgodno! Ako se ukaže potreba, samo zamijenite svoju vrijednost.

1) U ovom problemu, period ekspanzije je poluperiod. Tokom daljih radnji, posebno tokom integracije, “el” se smatra konstantom

Funkcija je parna, što znači da se može proširiti u Fourierov red samo u kosinusima: .

Fourierove koeficijente tražimo koristeći formule . Obratite pažnju na njihove bezuslovne prednosti. Prvo, integracija se vrši preko pozitivnog segmenta proširenja, što znači da se sigurno rješavamo modula , uzimajući u obzir samo “X” od dva komada. I, drugo, integracija je primjetno pojednostavljena.

dva:

Integrirajmo po dijelovima:

ovako:
, dok se konstanta , koja ne zavisi od “en”, uzima izvan zbira.

Odgovori:

2) Zapišimo ekspanziju na intervalu da bismo to učinili, potrebnu vrijednost poluperioda zamjenjujemo u opću formulu:

Fourierov red proširenja parnih i neparnih funkcija proširenje funkcije date na intervalu u niz u sinusima ili kosinusima Fourierov red za funkciju sa proizvoljnim periodom Kompleksni prikaz Fourierovog niza Fourierov red u općim ortogonalnim sistemima funkcija Fourierov red u ortogonalni sistem Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Beselova nejednakost Jednakost Parseval Zatvoreni sistemi Potpunost i zatvorenost sistema

Proširenje parnih i neparnih funkcija u Fourierov red Funkcija f(x), definirana na intervalu \-1, gdje je I > 0, naziva se parnom ako je graf parne funkcije simetričan u odnosu na ordinatnu os. Funkcija f(x), definirana na segmentu J), gdje je I > 0, naziva se neparnom ako je graf neparne funkcije simetričan u odnosu na ishodište. Primjer. a) Funkcija je parna na intervalu |-jt, jt), budući da je za sve x e b) Funkcija je neparna, budući da je proširenje parnih i neparnih funkcija u Fourierov red proširenje funkcije date na intervalu u niz u sinusima ili kosinusi Fourierov red za funkciju sa proizvoljnim periodom Kompleksni prikaz Furijeovog reda Fourierov red za opšte ortogonalne sisteme funkcija Fourierov red za ortogonalni sistem Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Besselova nejednakost Parsevalova jednakost Zatvoreni sistemi Potpunost i zatvorenost sistema c) Funkcija f (x)=x2-x, pri čemu ne pripada ni parnim ni neparnim funkcijama, budući da je funkcija f(x), koja zadovoljava uslove teoreme 1, parna na intervalu x|. Onda za sve tj. /(x) cos nx je parna funkcija, a f(x) sinnx je neparna. Stoga će Furijeovi koeficijenti parne funkcije /(x) biti jednaki. Dakle, Fourierov red parne funkcije ima oblik f(x) sin h - parna funkcija. Dakle, imat ćemo Dakle, Fourierov red neparne funkcije ima oblik Primjer 1. Proširite funkciju 4 u Fourierov red na intervalu -x ^ x ^ n Pošto je ova funkcija parna i zadovoljava uvjete teoreme 1, onda njegov Fourierov red ima oblik Nađi Fourierove koeficijente. Imamo Primjenjujući integraciju po dijelovima dva puta, dobijamo da Dakle, Fourierov red ove funkcije izgleda ovako: ili, u proširenom obliku, Ova jednakost vrijedi za bilo koje x €, budući da je u tačkama x = ±ir zbir serija se poklapa sa vrijednostima funkcije f(x) = x2, budući da su grafovi funkcije f(x) = x i zbroj rezultirajućeg niza dati na Sl. Komentar. Ovaj Fourierov red nam omogućava da pronađemo zbir jednog od konvergentnih numeričkih redova, naime, za x = 0 dobijamo da je Primjer 2. Proširiti funkciju /(x) = x u Fourierov red na intervalu. 6. § 6. Proširivanje funkcije date na intervalu u niz u sinusima ili kosinusima Neka je na intervalu data ograničena po komadima monotona funkcija /. Vrijednosti ove funkcije na intervalu 0| može se dalje definisati na različite načine. Na primjer, možete definirati funkciju / na segmentu tc] tako da /. U ovom slučaju kažu da) se „proširuje na segment 0] na paran način“; njegov Fourierov niz će sadržavati samo kosinuse. Ako je funkcija /(x) definirana na segmentu [-l-, mc] tako da /(, tada dobijamo neparnu funkciju, a onda kažu da je / „prošireno na segment [-*, 0] u na neparan način” U ovom slučaju, Fourierov red će sadržavati samo sinuse. Funkcija se može proširiti u Fourierov red: a) kosinusima; b) po sinusima. Ovo daje i stoga, geometrijski, ovo svojstvo znači da u slučaju područja zasjenjenog na Sl. 10 oblasti su međusobno jednake. Konkretno, za funkciju f(x) s periodom dobijamo proširenje u Fourierov niz parnih i neparnih funkcija, proširenje funkcije date na intervalu u niz u sinusima ili kosinusima Fourierov red za funkciju s proizvoljnim period Kompleksna notacija Fourierovog niza Fourierov red u općim ortogonalnim sistemskim funkcijama Fourierov red u ortogonalnom sistemu Minimalno svojstvo Fourierovih koeficijenata Besselova nejednakost Parsevalova jednakost Zatvoreni sistemi Potpunost i zatvorenost sistema Primjer 2. Funkcija x je periodična s periodom Zbog neparnosti ove funkcije, bez izračunavanja integrala, možemo reći da za bilo koje Dokazano svojstvo, posebno, pokazuje da se Furijeovi koeficijenti periodične funkcije f(x) s periodom od 21 mogu izračunati korištenjem formula gdje je a proizvoljan realni broj (imajte na umu da funkcije cos - i sin imaju period 2/). Primjer 3. Proširiti u Fourierov red funkciju datu na intervalu s periodom 2x (slika 11). 4 Nađimo Fourierove koeficijente ove funkcije. Stavljajući formule nalazimo da će za Prema tome, Fourierov red izgledati ovako: U tački x = jt (tačka diskontinuiteta prve vrste) imamo §8. Kompleksno snimanje Fourierove serije Ovaj odeljak koristi neke elemente kompleksne analize (pogledajte Poglavlje XXX, gde su sve radnje koje se ovde izvode sa složenim izrazima strogo opravdane). Neka funkcija f(x) zadovolji dovoljne uslove za proširenje u Fourierov red. Tada se na segmentu x] može predstaviti nizom oblika. Koristeći Ojlerove formule. Zamjenom ovih izraza u niz (1) umjesto cos πx i sin φx imat ćemo uvesti sljedeću notaciju. Tada će niz (2) uzeti oblik Dakle, Fourierov red (1) je predstavljen u kompleksnom obliku (3). Nađimo izraze za koeficijente kroz integrale. Imamo Slično, nalazimo Konačne formule za s„, s_p i s mogu se napisati na sljedeći način: . . Koeficijenti s„ nazivaju se kompleksnim Fourierovim koeficijentom funkcije ) i (4) podrazumijeva se na sljedeći način: nizovi (3) i (4) se nazivaju konvergentnim za date vrijednosti ako postoje granice Primjer. Proširite funkciju perioda u složeni Fourierov red. Ova funkcija zadovoljava dovoljne uslove za proširenje u Fourierov red. Nađimo kompleksne Fourierove koeficijente ove funkcije. Imamo za nepar za par n, ili, ukratko. Zamjenom vrijednosti) konačno dobijamo Napomena da se ovaj niz može napisati i na sljedeći način: Fourierov red za opšte ortogonalne sisteme funkcija 9.1. Ortogonalni sistemi funkcija Označimo skupom svih (realnih) funkcija definiranih i integrabilnih na intervalu [a, 6] s kvadratom, tj. onih za koje postoji integral Konkretno, sve funkcije f(x). na intervalu [a , 6], pripadaju 6], a vrijednosti njihovih Lebesgueovih integrala poklapaju se sa vrijednostima Riemannovih integrala. Definicija. Sistem funkcija, gdje, se naziva ortogonalnim na intervalu [a, b\, ako uvjet (1) posebno pretpostavlja da nijedna funkcija nije identična nuli. Integral se shvata u Lebesgueovom smislu. Međutim, u nekim slučajevima, na primjer, kada se niz (4) ravnomjerno konvergira, sve funkcije su kontinuirane i interval (a, 6) je konačan, ova operacija je legalna. Ali za nas je sada važno formalno tumačenje. Dakle, neka je data funkcija. Formiramo brojeve c* koristeći formulu (5) i napišemo niz na desnoj strani funkcije f(x) u odnosu na sistem (^n(i)). nazivaju Fourierovi koeficijenti funkcije f(x) u odnosu na ovaj sistem. Znak ~ u formuli (6) samo znači da su brojevi Cn povezani sa funkcijom f(x) formulom (5) (ne pretpostavlja se da red s desne strane uopće konvergira, a još manje konvergira funkciji f (x)). Stoga se prirodno postavlja pitanje: koja su svojstva ove serije? U kom smislu ona „predstavlja“ funkciju f(x)? 9.3. Konvergencija u prosjeku Definicija. Niz konvergira elementu ] u prosjeku ako je norma u prostoru Teorema 6. Ako niz ) konvergira ravnomjerno, tada konvergira u prosjeku. kada je Tn(x) 71. parcijalni zbir Fourierovog reda funkcije /(x) nad sistemom (. Postavljanjem ak = sk, iz (7) dobijamo Jednakost (9) naziva se Beselov identitet. strana nije negativna, onda iz nje proizlazi Beselova nejednakost. Pošto sam ovde proizvoljno, Beselova nejednakost se može predstaviti u pojačanom obliku, tj. za bilo koju funkciju / niz kvadratnih Fourierovih koeficijenata ove funkcije u ortonormalnom sistemu ) konvergira. . Pošto je sistem ortonormalan na intervalu [-x, m], onda nejednakost (10) prevedena u uobičajenu notaciju trigonometrijskog Fourierovog reda daje relaciju do koja vrijedi za bilo koju funkciju /(x) s integrabilnim kvadratom. Ako je f2(x) integrabilno, onda, zbog neophodnog uslova za konvergenciju niza na lijevoj strani nejednakosti (11), to dobijamo. Parsevalova jednakost Za neke sisteme (^„(x)), predznak nejednakosti u formuli (10) može se zamijeniti (za sve funkcije f(x) 6 ×) znakom jednakosti. Rezultirajuća jednakost naziva se Parseval-Steklovska jednakost (uslov potpunosti). Beselov identitet (9) nam omogućava da zapišemo uslov (12) u ekvivalentnom obliku. Dakle, ispunjenje uslova potpunosti znači da parcijalni sumi Sn(x) Fourierovog reda funkcije /(x) konvergiraju funkciji. /(x) u prosjeku, tj. prema normi prostora 6]. Definicija. Ortonormalni sistem ( se naziva potpun u b2[ay b] ako se svaka funkcija može u prosjeku aproksimirati s bilo kojom točnošću linearnom kombinacijom oblika sa dovoljno velikim brojem članova, tj. ako za bilo koju funkciju /(x) ∈ b2 [a, b\ i za bilo koje e > 0 postoji prirodan broj nq i brojevi a\, a2y..., takvi da Ne Iz gornjeg rezonovanja slijedi Teorema 7. Ako je ortonormalizacijom sistem ) potpun u prostoru, Fourierov red bilo koje funkcije / u ovom sistemu konvergira u prosjeku na f(x), tj. prema normi. Može se pokazati da je trigonometrijski sistem potpun u prostoru. Teorema 8. Ako joj funkcija /o njen trigonometrijski Fourierov red konvergira u prosjeku. 9.5. Zatvoreni sistemi. Kompletnost i zatvorenost sistema Definicija. Ortonormalni sistem funkcija \ naziva se zatvorenim ako u prostoru Li\a, b) ne postoji funkcija koja nije nula, ortogonalna na sve funkcije podudaraju. Vježbe 1. Proširite funkciju u Fourierov red u intervalu (-i-, x) 2. Proširite funkciju 3 u Fourierov niz u intervalu (-tr, tr) 3. Proširite funkciju 4 u Fourierov red u interval (-tr, tr) u Fourierov red u funkciji intervala (-jt, tr) 5. Proširite funkciju f(x) = x + x u Fourierov niz u intervalu (-tr, tr). 6. Proširiti funkciju n u Fourierov red u intervalu (-jt, tr) 7. Proširiti funkciju /(x) = sin2 x u Fourierov red u intervalu (-tr, x). 8. Proširiti funkciju f(x) = y u Fourierov red u intervalu (-tr, jt) 9. Proširiti funkciju f(x) = | sin x|. 10. Proširiti funkciju f(x) = § u Fourierov red u intervalu (-π-, π). 11. Proširiti funkciju f(x) = sin § u Fourierov red u intervalu (-tr, tr). 12. Proširiti funkciju f(x) = n -2x, datu u intervalu (0, x), u Fourierov red, proširujući je na interval (-x, 0): a) na paran način; b) na čudan način. 13. Proširiti funkciju /(x) = x2, datu u intervalu (0, x), u Fourierov red u sinusima. 14. Proširiti funkciju /(x) = 3, datu u intervalu (-2,2), u Fourierov red. 15. Proširite funkciju f(x) = |x|, datu u intervalu (-1,1), u Fourierov red. 16. Proširite funkciju f(x) = 2x, specificiranu u intervalu (0,1), u Fourierov red u sinusima.

Fourierova serija– način predstavljanja složene funkcije kao sume jednostavnijih, dobro poznatih.
Sinus i kosinus su periodične funkcije. Oni takođe formiraju ortogonalnu osnovu. Ovo svojstvo se može objasniti analogijom sa osovinama X X X I Y Y Y na koordinatnoj ravni. Baš kao što možemo opisati koordinate tačke u odnosu na ose, možemo opisati bilo koju funkciju u odnosu na sinuse i kosinuse. Trigonometrijske funkcije su dobro razumljive i jednostavne za korištenje u matematici.

Sinusi i kosinusi se mogu predstaviti u obliku sljedećih valova:

Plave su kosinusi, crvene su sinusi. Takvi talasi se nazivaju i harmonici. Kosinusi su parni, sinusi neparni. Termin harmonika potiče iz antike i povezuje se sa zapažanjima o odnosu visina u muzici.

Šta je Fourierov niz

Takav niz, u kojem se koriste najjednostavnije funkcije sinusa i kosinusa, naziva se trigonometrijskim. Ime je dobio u čast svog izumitelja, Jean Baptiste Joseph Fourier, krajem 18. i početkom 19. stoljeća. koji je dokazao da se bilo koja funkcija može predstaviti kao kombinacija takvih harmonika. I što ih više uzmete, to će ta predstava biti tačnija. Na primjer, na slici ispod: možete primijetiti da s velikim brojem harmonika, odnosno članova Fourierove serije, crveni grafikon postaje bliži plavom - originalnoj funkciji.

Praktična primjena u savremenom svijetu

Jesu li ti redovi uopće potrebni sada? Gdje se mogu praktično koristiti i koristi li ih itko osim matematičara? Ispostavilo se da je Fourier poznat u cijelom svijetu jer su praktične koristi njegove serije doslovno nesagledive. Pogodni su za upotrebu tamo gdje postoje bilo kakve vibracije ili valovi: akustika, astronomija, radiotehnika itd. Najjednostavniji primjer njegove upotrebe: mehanizam rada kamere ili video kamere. Da ukratko objasnim, ovi uređaji ne snimaju samo slike, već i koeficijente Fourierovog reda. I radi svuda – kada gledate slike na internetu, gledate film ili slušate muziku. Zahvaljujući Fourierovom nizu sada možete čitati ovaj članak sa svog mobilnog telefona. Bez Fourierove transformacije, ne bismo imali dovoljno propusnog opsega internetske veze da jednostavno gledamo YouTube video, čak iu standardnom kvalitetu.

Ovaj dijagram prikazuje dvodimenzionalnu Fourierovu transformaciju, koja se koristi za razlaganje slike na harmonike, odnosno osnovne komponente. Na ovom dijagramu vrijednost -1 je kodirana crnom bojom, 1 u bijeloj boji.

Proširenje Fourierovog reda

Vjerovatno ste se već umorili od čitanja, pa idemo na formule.
Za takvu matematičku tehniku ​​kao što je proširenje funkcija u Fourierov red, morat ćete uzeti integrale. Puno integrala. Općenito, Fourierov red se piše kao beskonačan zbir:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ ​ (a n​ cos (n x ) +b n​ grijeh (n x ))
Gdje
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2π1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxa n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (n x) d x
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxb n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (n x) d x

Ako možemo nekako prebrojati beskonačan broj a n a_n a n​ I b n b_n b n​ (oni se zovu Fourierovi koeficijenti ekspanzije, AA A- ovo je jednostavno konstanta ove ekspanzije), tada će rezultirajući niz biti 100% identičan originalnoj funkciji f(x) f(x) f(x) na segmentu od − π -\pi − π prije π\pi π . Ovaj segment je zbog svojstava integracije sinusa i kosinusa. Više n n n, za koje izračunavamo koeficijente serijske ekspanzije funkcije, to će proširenje biti preciznije.

Primjer

Uzmimo jednostavnu funkciju y = 5 x y=5x y=5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2π1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx=2π1 ​ − π ∫ π ​ 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0a 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (x ) d x =0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10b 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) sin (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x sin (x ) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0a 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5b 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f(x) grijeh(2 x) dx= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 xgrijeh(2 x) dx= − 5

I tako dalje. U slučaju takve funkcije, odmah možemo reći da je sve a n = 0 a_n=0an​ = 0 , koeficijenti b n b_nbn​ moraće da izračuna. Ako za funkciju uzmemo prva četiri člana proširenja Fourierovog reda y = 5 x y=5xy= 5 x, dobijamo:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{grijeh}(x)-5\cdot \mathrm{grijeh}(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{grijeh}(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{grijeh}(4\cdot x)$

Grafikon rezultirajuće funkcije će izgledati ovako:

Rezultirajuća ekspanzija Fourierovog reda približava se našoj izvornoj funkciji. Ako uzmemo veći broj članova serije, na primjer, 15, vidjet ćemo sljedeće:

Što je više termina proširenja u nizu, to je veća tačnost.
Ako malo promijenimo skalu grafa, možemo uočiti još jednu osobinu transformacije: Fourierov red je periodična funkcija s tačkom 2 π 2\pi2 π .

Dakle, možemo predstaviti bilo koju funkciju koja je kontinuirana na intervalu [ − π ; π ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . Sve ovo je potrebno kako bi se olakšala analiza nekih pojava koje se opisuju složenim funkcijama. Izvod nije uvijek moguće izračunati analitički (tj. korištenjem formule), ali u slučaju skupa sinusa i kosinusa, takav problem se neće pojaviti. Sama ekspanzija Fourierovog reda pokazuje da se problemi često mogu riješiti analitički korištenjem pojednostavljenih modela, čiji je jedan primjer Fourierov red.