Σειρά Fourier. Παραδείγματα λύσεων. Σειρές Fourier σε παραδείγματα και προβλήματα Παραδείγματα επέκτασης μιας συνάρτησης σε μια σειρά Fourier

2. Προσδιορισμός συντελεστών σειράς με χρήση τύπων Fourier.

Έστω μια περιοδική συνάρτηση ƒ(x) με περίοδο 2π τέτοια ώστε να παριστάνεται από μια τριγωνομετρική σειρά που συγκλίνει σε μια δεδομένη συνάρτηση στο διάστημα (-π, π), δηλαδή είναι το άθροισμα αυτής της σειράς:

Ας υποθέσουμε ότι το ολοκλήρωμα της συνάρτησης στην αριστερή πλευρά αυτής της ισότητας είναι ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων των όρων αυτής της σειράς. Αυτό θα ισχύει αν υποθέσουμε ότι η σειρά αριθμών που αποτελείται από τους συντελεστές μιας δεδομένης τριγωνομετρικής σειράς είναι απολύτως συγκλίνουσα, δηλ. η θετική σειρά αριθμών συγκλίνει

Η σειρά (1) είναι μείζονα και μπορεί να ενσωματωθεί κάθε προς όρο στο διάστημα (-π, π). Ας ενσωματώσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας (2):

Ας αξιολογήσουμε ξεχωριστά κάθε ολοκλήρωμα που εμφανίζεται στη δεξιά πλευρά:

,

,

Ετσι, , όπου

. (4)

Εκτίμηση συντελεστών Fourier. (Μπουγκρόφ)

Θεώρημα 1. Έστω η συνάρτηση ƒ(x) της περιόδου 2π έχει συνεχή παράγωγο ƒ (s) (x) τάξης s, που ικανοποιεί την ανισότητα σε ολόκληρο τον πραγματικό άξονα:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

τότε οι συντελεστές Fourier της συνάρτησης ƒ ικανοποιούν την ανισότητα

Απόδειξη. Ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα και λαμβάνοντας υπόψη αυτό

ƒ(-π) = ƒ(π), έχουμε

Ενσωματώνοντας τη δεξιά πλευρά του (7) διαδοχικά, λαμβάνοντας υπόψη ότι οι παράγωγοι ƒ ΄, …, ƒ (s-1) είναι συνεχείς και παίρνουν τις ίδιες τιμές στα σημεία t = -π και t = π, όπως όπως και η εκτίμηση (5), λαμβάνουμε την πρώτη εκτίμηση (6).

Η δεύτερη εκτίμηση (6) λαμβάνεται με παρόμοιο τρόπο.

Θεώρημα 2. Για τους συντελεστές Fourier ƒ(x) ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:

(8)

Απόδειξη. έχουμε

(9)

Εισάγοντας μια αλλαγή μεταβλητής σε αυτήν την περίπτωση και λαμβάνοντας υπόψη ότι η ƒ(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση, λαμβάνουμε

Προσθέτοντας (9) και (10), παίρνουμε

Πραγματοποιούμε την απόδειξη για το b k με παρόμοιο τρόπο.

Συνέπεια. Αν η συνάρτηση ƒ(x) είναι συνεχής, τότε οι συντελεστές Fourier της τείνουν στο μηδέν: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Χώρος συναρτήσεων με βαθμωτό γινόμενο.

Μια συνάρτηση ƒ(x) ονομάζεται τμηματικά συνεχής σε ένα διάστημα εάν είναι συνεχής σε αυτό το διάστημα, με πιθανή εξαίρεση έναν πεπερασμένο αριθμό σημείων όπου έχει ασυνέχειες του πρώτου είδους. Τέτοια σημεία μπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν με πραγματικούς αριθμούς και, ως αποτέλεσμα, λαμβάνονται πάλι τμηματικά συνεχείς συναρτήσεις στο τμήμα.

Το κλιμακωτό γινόμενο δύο τμηματικών συνεχών σε (α< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Προφανώς, για οποιεσδήποτε τμηματικές συνεχείς συναρτήσεις ƒ, φ, ψ ικανοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες:

1) (ƒ, φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) και από την ισότητα (ƒ , ƒ) = 0 προκύπτει ότι ƒ(x) =0 στις , εξαιρουμένων, ίσως, ενός πεπερασμένου αριθμού σημείων x;

3) (α ƒ + β φ, ψ) = α (ƒ, ψ) + β (φ, ψ),

όπου α, β είναι αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί.

Θα υποδηλώσουμε το σύνολο όλων των τμηματικών συνεχών συναρτήσεων που ορίζονται στο διάστημα για το οποίο εισάγεται το βαθμωτό γινόμενο σύμφωνα με τον τύπο (11), και ονομάστε το διάστημα

Σημείωση 1.

Στα μαθηματικά, το διάστημα = (a, b) είναι μια συλλογή από συναρτήσεις ƒ(x) που μπορούν να ολοκληρωθούν με την έννοια Lebesgue μαζί με τα τετράγωνά τους, για τις οποίες το βαθμωτό γινόμενο εισάγεται σύμφωνα με τον τύπο (11). Ο εν λόγω χώρος είναι ένα μέρος. Ο χώρος έχει πολλές ιδιότητες του χώρου, αλλά όχι όλες.

Από τις ιδιότητες 1), 2), 3) ακολουθεί η σημαντική ανισότητα Bunyakovsky | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ, ƒ) ½ (φ, φ) ½, που στη γλώσσα των ολοκληρωμάτων μοιάζει με αυτό:

Μέγεθος

ονομάζεται κανόνας της συνάρτησης f.

Ο κανόνας έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1) || στ || ≥ 0, στην περίπτωση αυτή η ισότητα μπορεί να είναι μόνο για τη μηδενική συνάρτηση f = 0, δηλ. μια συνάρτηση ίση με μηδέν, εκτός, ίσως, από έναν πεπερασμένο αριθμό σημείων.

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός.

Η δεύτερη ιδιότητα στη γλώσσα των ολοκληρωμάτων μοιάζει με αυτό:

και ονομάζεται ανισότητα Minkowski.

Λένε ότι μια ακολουθία συναρτήσεων ( f n ) ανήκει, συγκλίνει σε μια συνάρτηση ανήκει με την έννοια του μέσου τετραγώνου στο (ή επίσης στον κανόνα) εάν

Σημειώστε ότι αν η ακολουθία των συναρτήσεων ƒ n (x) συγκλίνει ομοιόμορφα στη συνάρτηση ƒ (x) στο τμήμα , τότε για αρκετά μεγάλο n η διαφορά ƒ (x) - ƒ n (x) σε απόλυτη τιμή θα πρέπει να είναι μικρή για όλα x από το τμήμα.

Εάν το ƒ n (x) τείνει στο ƒ (x) με την έννοια του μέσου τετραγώνου στο διάστημα , τότε η υποδεικνυόμενη διαφορά μπορεί να μην είναι μικρή για μεγάλα n παντού στο . Σε ορισμένα σημεία του τμήματος αυτή η διαφορά μπορεί να είναι μεγάλη, αλλά το μόνο σημαντικό πράγμα είναι ότι το ολοκλήρωμα του τετραγώνου του πάνω από το τμήμα είναι μικρό για μεγάλα n.

Παράδειγμα. Έστω η συνεχής τμηματικά γραμμική συνάρτηση ƒ n (x) (n = 1, 2,...) που φαίνεται στο σχήμα, και

(Bugrov, σελ. 281, εικ. 120)

Για κάθε φυσικό αριθμό n

και, κατά συνέπεια, αυτή η ακολουθία συναρτήσεων, αν και συγκλίνει στο μηδέν ως n → ∞, δεν συγκλίνει ομοιόμορφα. Εν τω μεταξύ

δηλαδή η ακολουθία των συναρτήσεων (f n (x)) τείνει στο μηδέν με την έννοια του μέσου τετραγώνου στο .

Από τα στοιχεία μιας ορισμένης ακολουθίας συναρτήσεων ƒ 1, ƒ 2, ƒ 3,… (που ανήκουν σε ) κατασκευάζουμε μια σειρά

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Το άθροισμα των πρώτων ν όρων του

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

υπάρχει μια συνάρτηση που ανήκει στο . Αν συμβεί να υπάρχει συνάρτηση ƒ τέτοια που

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

τότε λένε ότι η σειρά (12) συγκλίνει στη συνάρτηση ƒ με την έννοια του μέσου τετραγώνου και γράφουν

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Σημείωση 2.

Μπορούμε να θεωρήσουμε το διάστημα = (a, b) των συναρτήσεων μιγαδικής αξίας ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), όπου ƒ 1 (x) και ƒ 2 (x) είναι πραγματικές τμηματικές συνεχείς συναρτήσεις . Σε αυτό το διάστημα, οι συναρτήσεις πολλαπλασιάζονται με μιγαδικούς αριθμούς και το κλιμακωτό γινόμενο των συναρτήσεων ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) και φ(x) = φ 1 (x) +i φ 2 (x ) ορίζεται ως εξής:

και ο κανόνας ƒ ορίζεται ως η τιμή

Οι σειρές Fourier είναι μια αναπαράσταση μιας αυθαίρετης συνάρτησης με μια συγκεκριμένη περίοδο με τη μορφή μιας σειράς. Γενικά, αυτή η λύση ονομάζεται αποσύνθεση ενός στοιχείου κατά μήκος μιας ορθογώνιας βάσης. Η επέκταση των συναρτήσεων σε σειρές Fourier είναι ένα αρκετά ισχυρό εργαλείο για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων λόγω των ιδιοτήτων αυτού του μετασχηματισμού κατά την ολοκλήρωση, τη διαφοροποίηση, καθώς και τη μετατόπιση εκφράσεων με όρισμα και συνέλιξη.

Ένα άτομο που δεν είναι εξοικειωμένο με τα ανώτερα μαθηματικά, καθώς και με τα έργα του Γάλλου επιστήμονα Fourier, πιθανότατα δεν θα καταλάβει τι είναι αυτές οι «σειρές» και σε τι χρειάζονται. Εν τω μεταξύ, αυτή η μεταμόρφωση έχει ενσωματωθεί αρκετά στη ζωή μας. Χρησιμοποιείται όχι μόνο από μαθηματικούς, αλλά και από φυσικούς, χημικούς, γιατρούς, αστρονόμους, σεισμολόγους, ωκεανογράφους και πολλούς άλλους. Ας ρίξουμε επίσης μια πιο προσεκτική ματιά στα έργα του μεγάλου Γάλλου επιστήμονα που έκανε μια ανακάλυψη που ήταν μπροστά από την εποχή της.

Ο άνθρωπος και ο Φουριέ μεταμορφώνονται

Οι σειρές Fourier είναι μία από τις μεθόδους (μαζί με την ανάλυση και άλλες Αυτή η διαδικασία συμβαίνει κάθε φορά που ένα άτομο ακούει έναν ήχο). Το αυτί μας μετατρέπει αυτόματα στοιχειώδη σωματίδια σε ένα ελαστικό μέσο σε σειρές (κατά μήκος του φάσματος) διαδοχικών επιπέδων όγκου για τόνους διαφορετικού ύψους. Στη συνέχεια, ο εγκέφαλος μετατρέπει αυτά τα δεδομένα σε ήχους που είναι οικείοι σε εμάς. Όλα αυτά συμβαίνουν έξω από την επιθυμία ή τη συνείδησή μας, από μόνα τους, αλλά για να κατανοήσουμε αυτές τις διαδικασίες, θα χρειαστούν αρκετά χρόνια για να μελετήσουμε ανώτερα μαθηματικά.

Περισσότερα για τον μετασχηματισμό Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier μπορεί να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας αναλυτικές, αριθμητικές και άλλες μεθόδους. Οι σειρές Fourier αναφέρονται στην αριθμητική μέθοδο αποσύνθεσης οποιωνδήποτε ταλαντευτικών διεργασιών - από τις παλίρροιες των ωκεανών και τα κύματα φωτός έως τους κύκλους ηλιακής (και άλλων αστρονομικών αντικειμένων) δραστηριότητας. Χρησιμοποιώντας αυτές τις μαθηματικές τεχνικές, μπορείτε να αναλύσετε συναρτήσεις, αντιπροσωπεύοντας τυχόν ταλαντωτικές διεργασίες ως μια σειρά ημιτονοειδών συνιστωσών που κινούνται από το ελάχιστο στο μέγιστο και προς τα πίσω. Ο μετασχηματισμός Fourier είναι μια συνάρτηση που περιγράφει τη φάση και το πλάτος των ημιτονοειδών που αντιστοιχούν σε μια συγκεκριμένη συχνότητα. Αυτή η διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση πολύ περίπλοκων εξισώσεων που περιγράφουν δυναμικές διεργασίες που προκύπτουν υπό την επίδραση θερμικής, φωτός ή ηλεκτρικής ενέργειας. Επίσης, οι σειρές Fourier καθιστούν δυνατή την απομόνωση σταθερών συστατικών σε πολύπλοκα ταλαντευτικά σήματα, καθιστώντας δυνατή τη σωστή ερμηνεία των πειραματικών παρατηρήσεων που λαμβάνονται στην ιατρική, τη χημεία και την αστρονομία.

Ιστορικό υπόβαθρο

Ο ιδρυτής αυτής της θεωρίας είναι ο Γάλλος μαθηματικός Jean Baptiste Joseph Fourier. Αυτή η μεταμόρφωση πήρε στη συνέχεια το όνομά του. Αρχικά, ο επιστήμονας χρησιμοποίησε τη μέθοδό του για να μελετήσει και να εξηγήσει τους μηχανισμούς της θερμικής αγωγιμότητας - τη διάδοση της θερμότητας στα στερεά. Ο Fourier πρότεινε ότι η αρχική ακανόνιστη κατανομή μπορεί να αποσυντεθεί σε απλά ημιτονοειδή, καθένα από τα οποία θα έχει τη δική του ελάχιστη και μέγιστη θερμοκρασία, καθώς και τη δική του φάση. Σε αυτή την περίπτωση, κάθε τέτοιο συστατικό θα μετρηθεί από το ελάχιστο στο μέγιστο και πίσω. Η μαθηματική συνάρτηση που περιγράφει τις άνω και κάτω κορυφές της καμπύλης, καθώς και τη φάση καθεμιάς από τις αρμονικές, ονομάζεται μετασχηματισμός Fourier της έκφρασης κατανομής θερμοκρασίας. Ο συγγραφέας της θεωρίας μείωσε τη γενική συνάρτηση κατανομής, η οποία είναι δύσκολο να περιγραφεί μαθηματικά, σε μια πολύ βολική σειρά συνημιτόνου και ημιτόνου, που μαζί δίνουν την αρχική κατανομή.

Η αρχή της μεταμόρφωσης και οι απόψεις των συγχρόνων

Οι σύγχρονοι του επιστήμονα - κορυφαίοι μαθηματικοί των αρχών του δέκατου ένατου αιώνα - δεν αποδέχθηκαν αυτή τη θεωρία. Η κύρια ένσταση ήταν ο ισχυρισμός του Fourier ότι μια ασυνεχής συνάρτηση, που περιγράφει μια ευθεία γραμμή ή μια ασυνεχή καμπύλη, μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα άθροισμα ημιτονοειδών παραστάσεων που είναι συνεχείς. Για παράδειγμα, θεωρήστε το βήμα Heaviside: η τιμή του είναι μηδέν στα αριστερά της ασυνέχειας και ένα στα δεξιά. Αυτή η συνάρτηση περιγράφει την εξάρτηση του ηλεκτρικού ρεύματος από μια προσωρινή μεταβλητή όταν το κύκλωμα είναι κλειστό. Οι σύγχρονοι της θεωρίας εκείνης της εποχής δεν είχαν αντιμετωπίσει ποτέ παρόμοια κατάσταση όπου μια ασυνεχής έκφραση θα περιγραφόταν από έναν συνδυασμό συνεχών, συνηθισμένων συναρτήσεων όπως η εκθετική, ημιτονοειδής, η γραμμική ή η τετραγωνική.

Τι μπέρδεψε τους Γάλλους μαθηματικούς σχετικά με τη θεωρία του Φουριέ;

Άλλωστε, αν ο μαθηματικός είχε δίκιο στις δηλώσεις του, τότε αθροίζοντας την άπειρη τριγωνομετρική σειρά Fourier, μπορεί κανείς να αποκτήσει μια ακριβή αναπαράσταση της έκφρασης του βήματος, ακόμα κι αν έχει πολλά παρόμοια βήματα. Στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα, μια τέτοια δήλωση φαινόταν παράλογη. Όμως, παρ' όλες τις αμφιβολίες, πολλοί μαθηματικοί διεύρυναν το πεδίο μελέτης αυτού του φαινομένου, πηγαίνοντάς το πέρα ​​από τη μελέτη της θερμικής αγωγιμότητας. Ωστόσο, οι περισσότεροι επιστήμονες συνέχισαν να βασανίζονται από το ερώτημα: «Μπορεί το άθροισμα μιας ημιτονοειδούς σειράς να συγκλίνει στην ακριβή τιμή της ασυνεχούς συνάρτησης;»

Σύγκλιση σειρών Fourier: ένα παράδειγμα

Το ζήτημα της σύγκλισης τίθεται όποτε είναι απαραίτητο να αθροιστούν άπειρες σειρές αριθμών. Για να κατανοήσετε αυτό το φαινόμενο, εξετάστε ένα κλασικό παράδειγμα. Θα μπορέσετε ποτέ να φτάσετε στον τοίχο αν κάθε επόμενο βήμα είναι το μισό του μεγέθους του προηγούμενου; Ας υποθέσουμε ότι είστε δύο μέτρα από τον στόχο σας, το πρώτο βήμα σας οδηγεί στο μισό της διαδρομής, το επόμενο θα σας οδηγήσει στα τρία τέταρτα και μετά το πέμπτο θα έχετε καλύψει σχεδόν το 97 τοις εκατό της διαδρομής. Ωστόσο, όσα βήματα και να κάνετε, δεν θα πετύχετε τον στόχο που θέλετε με αυστηρή μαθηματική έννοια. Χρησιμοποιώντας αριθμητικούς υπολογισμούς, μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι τελικά δυνατό να πλησιάσουμε όσο μια δεδομένη απόσταση. Αυτή η απόδειξη ισοδυναμεί με την απόδειξη ότι το άθροισμα του μισού, του ενός τέταρτου κ.λπ. θα τείνει προς τη μονάδα.

The Question of Convergence: The Second Coming, ή το όργανο του Λόρδου Kelvin

Αυτό το ζήτημα τέθηκε ξανά στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα, όταν προσπάθησαν να χρησιμοποιήσουν τη σειρά Fourier για να προβλέψουν την ένταση της παλίρροιας. Εκείνη την εποχή, ο Λόρδος Κέλβιν εφηύρε ένα όργανο, το οποίο ήταν μια αναλογική υπολογιστική συσκευή που επέτρεπε σε στρατιωτικούς και ναυτικούς του εμπορικού ναυτικού να παρακολουθούν αυτό το φυσικό φαινόμενο. Αυτός ο μηχανισμός προσδιόρισε σύνολα φάσεων και πλάτη από έναν πίνακα με ύψη παλίρροιας και αντίστοιχα χρονικά σημεία, προσεκτικά μετρημένα σε ένα δεδομένο λιμάνι καθ' όλη τη διάρκεια του έτους. Κάθε παράμετρος ήταν ένα ημιτονοειδές στοιχείο της έκφρασης του ύψους της παλίρροιας και ήταν ένα από τα κανονικά συστατικά. Οι μετρήσεις τροφοδοτήθηκαν στο υπολογιστικό όργανο του Λόρδου Κέλβιν, το οποίο συνέθεσε μια καμπύλη που προέβλεπε το ύψος του νερού σε συνάρτηση με το χρόνο για το επόμενο έτος. Πολύ σύντομα σχεδιάστηκαν παρόμοιες καμπύλες για όλα τα λιμάνια του κόσμου.

Τι γίνεται αν η διαδικασία διαταραχθεί από μια ασυνεχή λειτουργία;

Εκείνη την εποχή, φαινόταν προφανές ότι ένας προγνωστικός παράγοντας παλιρροϊκών κυμάτων με μεγάλο αριθμό στοιχείων μέτρησης μπορούσε να υπολογίσει μεγάλο αριθμό φάσεων και πλάτη και έτσι να παρέχει πιο ακριβείς προβλέψεις. Ωστόσο, αποδείχθηκε ότι αυτό το μοτίβο δεν παρατηρείται σε περιπτώσεις όπου η παλιρροιακή έκφραση που έπρεπε να συντεθεί περιείχε ένα απότομο άλμα, ήταν δηλαδή ασυνεχές. Εάν εισαχθούν δεδομένα από έναν πίνακα χρονικών στιγμών στη συσκευή, υπολογίζει αρκετούς συντελεστές Fourier. Η αρχική λειτουργία αποκαθίσταται χάρη στα ημιτονοειδή εξαρτήματα (σύμφωνα με τους συντελεστές που βρέθηκαν). Η ασυμφωνία μεταξύ της αρχικής και της ανακατασκευασμένης έκφρασης μπορεί να μετρηθεί σε οποιοδήποτε σημείο. Κατά τη διενέργεια επαναλαμβανόμενων υπολογισμών και συγκρίσεων, είναι σαφές ότι η τιμή του μεγαλύτερου σφάλματος δεν μειώνεται. Ωστόσο, εντοπίζονται στην περιοχή που αντιστοιχεί στο σημείο ασυνέχειας και σε οποιοδήποτε άλλο σημείο τείνουν στο μηδέν. Το 1899, αυτό το αποτέλεσμα επιβεβαιώθηκε θεωρητικά από τον Joshua Willard Gibbs του Πανεπιστημίου Yale.

Σύγκλιση σειρών Fourier και ανάπτυξη των μαθηματικών γενικότερα

Η ανάλυση Fourier δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε εκφράσεις που περιέχουν άπειρο αριθμό αιχμών σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Γενικά, οι σειρές Fourier, εάν η αρχική συνάρτηση αντιπροσωπεύεται από το αποτέλεσμα μιας πραγματικής φυσικής μέτρησης, πάντα συγκλίνουν. Ερωτήσεις σχετικά με τη σύγκλιση αυτής της διαδικασίας για συγκεκριμένες κατηγορίες συναρτήσεων οδήγησαν στην εμφάνιση νέων κλάδων στα μαθηματικά, για παράδειγμα, τη θεωρία των γενικευμένων συναρτήσεων. Συνδέεται με ονόματα όπως L. Schwartz, J. Mikusinski και J. Temple. Στο πλαίσιο αυτής της θεωρίας, δημιουργήθηκε μια σαφής και ακριβής θεωρητική βάση για εκφράσεις όπως η συνάρτηση δέλτα Dirac (περιγράφει μια περιοχή μιας ενιαίας περιοχής συγκεντρωμένη σε μια απειροελάχιστη γειτονιά ενός σημείου) και το «βήμα» Heaviside. Χάρη σε αυτή την εργασία, η σειρά Fourier έγινε εφαρμόσιμη στην επίλυση εξισώσεων και προβλημάτων που περιλαμβάνουν διαισθητικές έννοιες: σημειακό φορτίο, σημειακή μάζα, μαγνητικά δίπολα και συγκεντρωμένο φορτίο σε μια δέσμη.

Μέθοδος Fourier

Οι σειρές Fourier, σύμφωνα με τις αρχές της παρεμβολής, ξεκινούν με την αποσύνθεση σύνθετων μορφών σε απλούστερες. Για παράδειγμα, μια αλλαγή στη ροή θερμότητας εξηγείται από το πέρασμά της από διάφορα εμπόδια από θερμομονωτικό υλικό ακανόνιστου σχήματος ή μια αλλαγή στην επιφάνεια της γης - σεισμός, αλλαγή στην τροχιά ενός ουράνιου σώματος - η επιρροή των πλανητών. Κατά κανόνα, τέτοιες εξισώσεις που περιγράφουν απλά κλασικά συστήματα μπορούν εύκολα να λυθούν για κάθε μεμονωμένο κύμα. Ο Fourier έδειξε ότι απλές λύσεις μπορούν επίσης να αθροιστούν για να δώσουν λύσεις σε πιο σύνθετα προβλήματα. Με μαθηματικούς όρους, οι σειρές Fourier είναι μια τεχνική για την αναπαράσταση μιας έκφρασης ως άθροισμα αρμονικών - συνημιτόνου και ημιτόνου. Επομένως, αυτή η ανάλυση είναι επίσης γνωστή ως «αρμονική ανάλυση».

Σειρά Fourier - μια ιδανική τεχνική πριν από την «εποχή των υπολογιστών»

Πριν από τη δημιουργία της τεχνολογίας υπολογιστών, η τεχνική Fourier ήταν το καλύτερο όπλο στο οπλοστάσιο των επιστημόνων όταν εργάζονταν με την κυματική φύση του κόσμου μας. Η σειρά Fourier σε σύνθετη μορφή καθιστά δυνατή την επίλυση όχι μόνο απλών προβλημάτων που μπορούν να εφαρμοστούν άμεσα στους νόμους της μηχανικής του Νεύτωνα, αλλά και θεμελιωδών εξισώσεων. Οι περισσότερες ανακαλύψεις της Νευτώνειας επιστήμης τον δέκατο ένατο αιώνα έγιναν δυνατές μόνο με την τεχνική του Φουριέ.

Σειρά Fourier σήμερα

Με την ανάπτυξη των υπολογιστών, οι μετασχηματισμοί Fourier έχουν ανέλθει σε ένα ποιοτικά νέο επίπεδο. Αυτή η τεχνική είναι σταθερά εδραιωμένη σε όλους σχεδόν τους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας. Ένα παράδειγμα είναι ο ψηφιακός ήχος και το βίντεο. Η εφαρμογή του έγινε δυνατή μόνο χάρη σε μια θεωρία που αναπτύχθηκε από έναν Γάλλο μαθηματικό στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα. Έτσι, η σειρά Fourier σε μια πολύπλοκη μορφή κατέστησε δυνατή μια σημαντική ανακάλυψη στη μελέτη του διαστήματος. Επιπλέον, επηρέασε τη μελέτη της φυσικής των υλικών ημιαγωγών και του πλάσματος, την ακουστική μικροκυμάτων, την ωκεανογραφία, το ραντάρ και τη σεισμολογία.

Τριγωνομετρική σειρά Fourier

Στα μαθηματικά, μια σειρά Fourier είναι ένας τρόπος αναπαράστασης αυθαίρετων μιγαδικών συναρτήσεων ως άθροισμα απλούστερων. Σε γενικές περιπτώσεις, ο αριθμός τέτοιων εκφράσεων μπορεί να είναι άπειρος. Επιπλέον, όσο περισσότερο λαμβάνεται υπόψη ο αριθμός τους στον υπολογισμό, τόσο πιο ακριβές είναι το τελικό αποτέλεσμα. Τις περισσότερες φορές, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις συνημιτόνου ή ημιτόνου χρησιμοποιούνται ως απλούστερες. Στην περίπτωση αυτή, οι σειρές Fourier ονομάζονται τριγωνομετρικές και η λύση τέτοιων εκφράσεων ονομάζεται αρμονική διαστολή. Αυτή η μέθοδος παίζει σημαντικό ρόλο στα μαθηματικά. Πρώτα απ 'όλα, η τριγωνομετρική σειρά παρέχει ένα μέσο για την απεικόνιση και επίσης τη μελέτη συναρτήσεων είναι η κύρια συσκευή της θεωρίας. Επιπλέον, σας επιτρέπει να λύσετε μια σειρά προβλημάτων στη μαθηματική φυσική. Τέλος, η θεωρία αυτή συνέβαλε στην ανάπτυξη μιας σειράς πολύ σημαντικών κλάδων της μαθηματικής επιστήμης (η θεωρία των ολοκληρωμάτων, η θεωρία των περιοδικών συναρτήσεων). Επιπλέον, χρησίμευσε ως το σημείο εκκίνησης για την ανάπτυξη των ακόλουθων συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής και επίσης έθεσε τα θεμέλια για την αρμονική ανάλυση.

Τα οποία είναι ήδη αρκετά βαρετά. Και αισθάνομαι ότι ήρθε η στιγμή που ήρθε η ώρα να εξαχθούν νέα κονσερβοποιημένα προϊόντα από τα στρατηγικά αποθέματα της θεωρίας. Είναι δυνατόν να επεκταθεί η συνάρτηση σε μια σειρά με κάποιον άλλο τρόπο; Για παράδειγμα, να εκφράσετε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε ημίτονο και συνημίτονο; Φαίνεται απίστευτο, αλλά τέτοιες φαινομενικά μακρινές λειτουργίες μπορεί να είναι
«επανένωση». Εκτός από τα γνωστά πτυχία στη θεωρία και την πράξη, υπάρχουν και άλλες προσεγγίσεις για την επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά.

Σε αυτό το μάθημα θα εξοικειωθούμε με την τριγωνομετρική σειρά Fourier, θα αγγίξουμε το ζήτημα της σύγκλισης και του αθροίσματος της και, φυσικά, θα αναλύσουμε πολλά παραδείγματα επέκτασης συναρτήσεων σε σειρές Fourier. Ήθελα ειλικρινά να ονομάσω το άρθρο "Σειρά Fourier για ανδρείκελα", αλλά αυτό θα ήταν ανειλικρινές, καθώς η επίλυση των προβλημάτων θα απαιτούσε γνώση άλλων κλάδων της μαθηματικής ανάλυσης και κάποια πρακτική εμπειρία. Επομένως, το προοίμιο θα μοιάζει με εκπαίδευση αστροναυτών =)

Πρώτον, θα πρέπει να προσεγγίσετε τη μελέτη των υλικών της σελίδας σε εξαιρετική μορφή. Νυσταγμένος, ξεκούραστος και νηφάλιος. Χωρίς έντονα συναισθήματα για ένα σπασμένο πόδι χάμστερ και εμμονικές σκέψεις για τις δυσκολίες της ζωής για τα ψάρια του ενυδρείου. Η σειρά Fourier δεν είναι δύσκολο να κατανοηθεί, αλλά οι πρακτικές εργασίες απαιτούν απλώς αυξημένη συγκέντρωση προσοχής - ιδανικά, θα πρέπει να απομακρυνθείτε εντελώς από τα εξωτερικά ερεθίσματα. Η κατάσταση επιδεινώνεται από το γεγονός ότι δεν υπάρχει εύκολος τρόπος να ελέγξετε τη λύση και να απαντήσετε. Έτσι, εάν η υγεία σας είναι κάτω από το μέσο όρο, τότε είναι καλύτερα να κάνετε κάτι πιο απλό. Είναι αλήθεια.

Δεύτερον, πριν πετάξετε στο διάστημα, είναι απαραίτητο να μελετήσετε τον πίνακα οργάνων του διαστημικού σκάφους. Ας ξεκινήσουμε με τις τιμές των συναρτήσεων που πρέπει να κάνετε κλικ στο μηχάνημα:

Για οποιαδήποτε φυσική αξία:

1) . Πράγματι, το ημιτονοειδές «ράβει» τον άξονα x μέσω κάθε «pi»:
. Στην περίπτωση αρνητικών τιμών του επιχειρήματος, το αποτέλεσμα, φυσικά, θα είναι το ίδιο: .

2) . Αυτό όμως δεν το γνώριζαν όλοι. Το συνημίτονο "pi" είναι το ισοδύναμο ενός "ανοιγόμενου":

Ένα αρνητικό επιχείρημα δεν αλλάζει το θέμα: .

Ίσως είναι αρκετό.

Και τρίτον, αγαπητό σώμα κοσμοναυτών, πρέπει να μπορείτε να... ενοποιώ.
Συγκεκριμένα, με αυτοπεποίθηση υποθέστε τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο, ενσωματώνουν αποσπασματικάκαι να είσαι σε ειρήνη με Τύπος Newton-Leibniz. Ας ξεκινήσουμε τις σημαντικές ασκήσεις πριν από την πτήση. Δεν συνιστώ κατηγορηματικά να το παραλείψετε, για να μην κολλήσετε αργότερα σε έλλειψη βαρύτητας:

Παράδειγμα 1

Να υπολογίσετε οριστικά ολοκληρώματα

όπου παίρνει φυσικές αξίες.

Διάλυμα: η ολοκλήρωση πραγματοποιείται πάνω από τη μεταβλητή «x» και σε αυτό το στάδιο η διακριτή μεταβλητή «en» θεωρείται σταθερά. Σε όλα τα ολοκληρώματα βάλτε τη συνάρτηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο:

Μια σύντομη έκδοση της λύσης που θα ήταν καλό να στοχεύσετε μοιάζει με αυτό:

Ας το συνηθίσουμε:

Οι τέσσερις υπόλοιποι πόντοι είναι μόνοι σας. Προσπαθήστε να προσεγγίσετε την εργασία συνειδητά και γράψτε τα ολοκληρώματα με σύντομο τρόπο. Δείγματα λύσεων στο τέλος του μαθήματος.

Αφού εκτελέσουμε τις ασκήσεις ΠΟΙΟΤΗΤΑ, φοράμε διαστημικές στολές
και ετοιμαζόμαστε να ξεκινήσουμε!

Επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Fourier στο διάστημα

Σκεφτείτε κάποια λειτουργία που αποφασισμένοςτουλάχιστον για ένα χρονικό διάστημα (και ενδεχομένως για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα). Εάν αυτή η συνάρτηση μπορεί να ενσωματωθεί στο διάστημα, τότε μπορεί να επεκταθεί σε τριγωνομετρική Σειρά Fourier:
, όπου βρίσκονται τα λεγόμενα Συντελεστές Fourier.

Στην περίπτωση αυτή καλείται ο αριθμός περίοδο αποσύνθεσης, και ο αριθμός είναι χρόνος ημιζωής αποσύνθεσης.

Είναι προφανές ότι στη γενική περίπτωση η σειρά Fourier αποτελείται από ημίτονο και συνημίτονο:

Πράγματι, ας το γράψουμε αναλυτικά:

Ο μηδενικός όρος της σειράς γράφεται συνήθως με τη μορφή .

Οι συντελεστές Fourier υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:

Καταλαβαίνω πολύ καλά ότι όσοι αρχίζουν να μελετούν το θέμα είναι ακόμα ασαφείς σχετικά με τους νέους όρους: περίοδος αποσύνθεσης, μισού κύκλου, Συντελεστές Fourierκλπ. Μην πανικοβάλλεστε, αυτό δεν συγκρίνεται με τον ενθουσιασμό πριν πάτε στο διάστημα. Ας καταλάβουμε τα πάντα στο παρακάτω παράδειγμα, πριν εκτελέσουμε το οποίο είναι λογικό να κάνουμε πιεστικές πρακτικές ερωτήσεις:

Τι πρέπει να κάνετε στις παρακάτω εργασίες;

Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier. Επιπλέον, είναι συχνά απαραίτητο να απεικονίσετε ένα γράφημα μιας συνάρτησης, ένα γράφημα του αθροίσματος μιας σειράς, ένα μερικό άθροισμα και στην περίπτωση περίπλοκων φαντασιώσεων καθηγητών, να κάνετε κάτι άλλο.

Πώς να επεκτείνετε μια συνάρτηση σε μια σειρά Fourier;

Ουσιαστικά πρέπει να βρεις Συντελεστές Fourier, δηλαδή να συνθέσετε και να υπολογίσετε τρία οριστικό ολοκλήρωμα.

Αντιγράψτε τη γενική μορφή της σειράς Fourier και τους τρεις τύπους εργασίας στο σημειωματάριό σας. Χαίρομαι πολύ που ορισμένοι επισκέπτες του ιστότοπου πραγματοποιούν το παιδικό τους όνειρο να γίνουν αστροναύτης μπροστά στα μάτια μου =)

Παράδειγμα 2

Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier στο διάστημα. Κατασκευάστε ένα γράφημα, ένα γράφημα του αθροίσματος της σειράς και του μερικού αθροίσματος.

Διάλυμα: Το πρώτο μέρος της εργασίας είναι η επέκταση της συνάρτησης σε μια σειρά Fourier.

Η αρχή είναι τυπική, φροντίστε να σημειώσετε ότι:

Σε αυτό το πρόβλημα, η περίοδος επέκτασης είναι μισή περίοδος.

Ας επεκτείνουμε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier στο διάστημα:

Χρησιμοποιώντας τους κατάλληλους τύπους, βρίσκουμε Συντελεστές Fourier. Τώρα πρέπει να συνθέσουμε και να υπολογίσουμε τρία οριστικό ολοκλήρωμα. Για ευκολία, θα αριθμήσω τα σημεία:

1) Το πρώτο ολοκλήρωμα είναι το απλούστερο, ωστόσο, απαιτεί επίσης βολβούς ματιών:

2) Χρησιμοποιήστε τον δεύτερο τύπο:

Αυτό το ολοκλήρωμα είναι γνωστό και το παίρνει κομμάτι-κομμάτι:

Χρησιμοποιείται όταν βρεθεί μέθοδος υπαγωγής μιας συνάρτησης κάτω από το διαφορικό πρόσημο.

Στην εργασία που εξετάζουμε, είναι πιο βολικό να το χρησιμοποιήσετε αμέσως τύπος για ενσωμάτωση κατά μέρη σε ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα :

Μερικές τεχνικές σημειώσεις. Πρώτον, μετά την εφαρμογή του τύπου ολόκληρη η έκφραση πρέπει να περικλείεται σε μεγάλες αγκύλες, αφού υπάρχει μια σταθερά πριν από το αρχικό ολοκλήρωμα. Ας μην τη χάσουμε! Οι παρενθέσεις μπορούν να επεκταθούν σε οποιοδήποτε περαιτέρω βήμα. Στο πρώτο "κομμάτι" Δείχνουμε εξαιρετική προσοχή στην υποκατάσταση, όπως μπορείτε να δείτε, η σταθερά δεν χρησιμοποιείται και τα όρια ενσωμάτωσης αντικαθίστανται στο προϊόν. Αυτή η ενέργεια επισημαίνεται σε αγκύλες. Λοιπόν, είστε εξοικειωμένοι με το ολοκλήρωμα του δεύτερου "κομματιού" της φόρμουλας από την εκπαιδευτική εργασία;-)

Και το πιο σημαντικό - εξαιρετική συγκέντρωση!

3) Αναζητούμε τον τρίτο συντελεστή Fourier:

Λαμβάνεται ένας συγγενής του προηγούμενου ολοκληρώματος, ο οποίος είναι επίσης ενσωματώνει αποσπασματικά:

Αυτή η περίπτωση είναι λίγο πιο περίπλοκη, θα σχολιάσω τα περαιτέρω βήματα βήμα προς βήμα:

(1) Η έκφραση περικλείεται πλήρως σε μεγάλες αγκύλες. Δεν ήθελα να φαίνομαι βαρετός, χάνουν τη σταθερά πολύ συχνά.

(2) Σε αυτή την περίπτωση, άνοιξα αμέσως αυτές τις μεγάλες παρενθέσεις. Ιδιαίτερη προσοχήΑφοσιωνόμαστε στο πρώτο «κομμάτι»: η συνεχής καπνίζει στο περιθώριο και δεν συμμετέχει στην υποκατάσταση των ορίων ενσωμάτωσης (και) στο προϊόν. Λόγω της ακαταστασίας του δίσκου, συνιστάται και πάλι να τονίσετε αυτή την ενέργεια με αγκύλες. Με το δεύτερο "κομμάτι" όλα είναι πιο απλά: εδώ το κλάσμα εμφανίστηκε μετά το άνοιγμα μεγάλων παρενθέσεων και η σταθερά - ως αποτέλεσμα της ενσωμάτωσης του γνωστού ολοκληρώματος;-)

(3) Σε αγκύλες πραγματοποιούμε μετασχηματισμούς, και στο δεξί ολοκλήρωμα - αντικατάσταση ορίων ολοκλήρωσης.

(4) Αφαιρούμε το «φως που αναβοσβήνει» από τις αγκύλες: , και μετά ανοίγουμε τις εσωτερικές αγκύλες: .

(5) Ακυρώνουμε 1 και –1 σε παρένθεση και πραγματοποιούμε τις τελικές απλουστεύσεις.

Τέλος, βρίσκονται και οι τρεις συντελεστές Fourier:

Ας τα αντικαταστήσουμε στη φόρμουλα :

Ταυτόχρονα, μην ξεχάσετε να χωρίσετε στη μέση. Στο τελευταίο βήμα, η σταθερά («μείον δύο»), η οποία δεν εξαρτάται από το «en», λαμβάνεται εκτός του αθροίσματος.

Έτσι, λάβαμε την επέκταση της συνάρτησης σε μια σειρά Fourier στο διάστημα:

Ας μελετήσουμε το ζήτημα της σύγκλισης της σειράς Fourier. Θα εξηγήσω τη θεωρία, συγκεκριμένα Θεώρημα Dirichlet, κυριολεκτικά «στα δάχτυλα», οπότε αν χρειάζεστε αυστηρές διατυπώσεις, ανατρέξτε στο σχολικό βιβλίο για τη μαθηματική ανάλυση (για παράδειγμα, ο 2ος τόμος του Bohan ή ο 3ος τόμος του Fichtenholtz, αλλά είναι πιο δύσκολο).

Το δεύτερο μέρος του προβλήματος απαιτεί τη σχεδίαση μιας γραφικής παράστασης, μιας γραφικής παράστασης του αθροίσματος μιας σειράς και μιας γραφικής παράστασης ενός μερικού αθροίσματος.

Το γράφημα της συνάρτησης είναι το συνηθισμένο ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο, το οποίο σχεδιάζεται με μια μαύρη διακεκομμένη γραμμή:

Ας υπολογίσουμε το άθροισμα της σειράς. Όπως γνωρίζετε, οι σειρές συναρτήσεων συγκλίνουν σε συναρτήσεις. Στην περίπτωσή μας, η κατασκευασμένη σειρά Fourier για οποιαδήποτε τιμή του "x"θα συγκλίνει στη συνάρτηση, η οποία εμφανίζεται με κόκκινο χρώμα. Αυτή η λειτουργία ανέχεται ρήξεις 1ου είδουςσε σημεία, αλλά ορίζεται και σε αυτά (κόκκινες κουκκίδες στο σχέδιο)

Ετσι: . Είναι εύκολο να δει κανείς ότι διαφέρει αισθητά από την αρχική λειτουργία, γι' αυτό και στο λήμμα Χρησιμοποιείται περισπωμένη αντί για ίσον.

Ας μελετήσουμε έναν αλγόριθμο που είναι βολικός για την κατασκευή του αθροίσματος μιας σειράς.

Στο κεντρικό διάστημα, η σειρά Fourier συγκλίνει στην ίδια τη συνάρτηση (το κεντρικό κόκκινο τμήμα συμπίπτει με τη μαύρη διακεκομμένη γραμμή της γραμμικής συνάρτησης).

Τώρα ας μιλήσουμε λίγο για τη φύση της τριγωνομετρικής επέκτασης που εξετάζουμε. Σειρά Fourier περιλαμβάνονται μόνο περιοδικές συναρτήσεις (σταθερά, ημίτονο και συνημίτονο), οπότε το άθροισμα της σειράς είναι επίσης περιοδική συνάρτηση.

Τι σημαίνει αυτό στο συγκεκριμένο παράδειγμά μας; Και αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα της σειράς –σίγουρα περιοδικήκαι το κόκκινο τμήμα του διαστήματος πρέπει να επαναλαμβάνεται ατελείωτα αριστερά και δεξιά.

Νομίζω ότι η έννοια της φράσης «περίοδος αποσύνθεσης» έχει πλέον γίνει επιτέλους σαφής. Για να το θέσω απλά, κάθε φορά που η κατάσταση επαναλαμβάνεται ξανά και ξανά.

Στην πράξη, συνήθως αρκεί η απεικόνιση τριών περιόδων αποσύνθεσης, όπως γίνεται στο σχέδιο. Λοιπόν, και επίσης "κολοβώματα" γειτονικών περιόδων - έτσι ώστε να είναι σαφές ότι το γράφημα συνεχίζεται.

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν σημεία ασυνέχειας 1ου είδους. Σε τέτοια σημεία, η σειρά Fourier συγκλίνει σε μεμονωμένες τιμές, οι οποίες βρίσκονται ακριβώς στη μέση του «άλματος» της ασυνέχειας (κόκκινες κουκκίδες στο σχέδιο). Πώς να μάθετε τη τεταγμένη αυτών των σημείων; Αρχικά, ας βρούμε την τεταγμένη του «πάνω ορόφου»: για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης στο δεξιότερο σημείο της κεντρικής περιόδου της επέκτασης: . Για να υπολογίσετε την τεταγμένη του «κάτω ορόφου», ο ευκολότερος τρόπος είναι να λάβετε την πιο αριστερή τιμή της ίδιας περιόδου: . Η τεταγμένη της μέσης τιμής είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του αθροίσματος του «πάνω και κάτω»: . Ένα ευχάριστο γεγονός είναι ότι κατά την κατασκευή ενός σχεδίου, θα δείτε αμέσως εάν η μέση υπολογίζεται σωστά ή λάθος.

Ας κατασκευάσουμε ένα μερικό άθροισμα της σειράς και ας επαναλάβουμε ταυτόχρονα την έννοια του όρου «σύγκλιση». Το κίνητρο είναι επίσης γνωστό από το μάθημα για άθροισμα μιας σειράς αριθμών. Ας περιγράψουμε αναλυτικά τον πλούτο μας:

Για να συνθέσετε ένα μερικό άθροισμα, πρέπει να γράψετε μηδέν + δύο ακόμη όρους της σειράς. Ήτοι,

Στο σχέδιο, το γράφημα της συνάρτησης εμφανίζεται με πράσινο χρώμα και, όπως μπορείτε να δείτε, "τυλίγει" το πλήρες άθροισμα αρκετά σφιχτά. Εάν λάβουμε υπόψη ένα μερικό άθροισμα πέντε όρων της σειράς, τότε το γράφημα αυτής της συνάρτησης θα προσεγγίσει τις κόκκινες γραμμές με ακόμη μεγαλύτερη ακρίβεια, εάν υπάρχουν εκατό όροι, τότε το "πράσινο φίδι" θα συγχωνευθεί πλήρως με τα κόκκινα τμήματα. και τα λοιπά. Έτσι, η σειρά Fourier συγκλίνει στο άθροισμά της.

Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι οποιοδήποτε μερικό ποσό είναι συνεχής λειτουργία, ωστόσο, το συνολικό άθροισμα της σειράς εξακολουθεί να είναι ασυνεχές.

Στην πράξη, δεν είναι τόσο σπάνιο να κατασκευάσουμε ένα γράφημα μερικού αθροίσματος. Πώς να το κάνετε αυτό; Στην περίπτωσή μας, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε τη συνάρτηση στο τμήμα, να υπολογίσουμε τις τιμές της στα άκρα του τμήματος και στα ενδιάμεσα σημεία (όσα περισσότερα σημεία λάβετε υπόψη, τόσο πιο ακριβές θα είναι το γράφημα). Στη συνέχεια, θα πρέπει να σημειώσετε αυτά τα σημεία στο σχέδιο και να σχεδιάσετε προσεκτικά ένα γράφημα για την περίοδο και, στη συνέχεια, να το «αντιγράψετε» σε παρακείμενα διαστήματα. Πώς αλλιώς; Εξάλλου, η προσέγγιση είναι επίσης μια περιοδική συνάρτηση... ...κατά κάποιο τρόπο το γράφημα της μου θυμίζει έναν ομαλό καρδιακό ρυθμό στην οθόνη μιας ιατρικής συσκευής.

Η πραγματοποίηση της κατασκευής, φυσικά, δεν είναι πολύ βολική, αφού πρέπει να είστε εξαιρετικά προσεκτικοί, διατηρώντας ακρίβεια όχι μικρότερη από μισό χιλιοστό. Ωστόσο, θα ευχαριστήσω τους αναγνώστες που δεν αισθάνονται άνετα με το σχέδιο - σε ένα «πραγματικό» πρόβλημα δεν είναι πάντα απαραίτητο να πραγματοποιηθεί ένα σχέδιο σε περίπου 50% των περιπτώσεων είναι απαραίτητο να επεκταθεί η λειτουργία σε μια σειρά Fourier και αυτό είναι όλο .

Αφού ολοκληρώσουμε το σχέδιο, ολοκληρώνουμε την εργασία:

Απάντηση:

Σε πολλές εργασίες η λειτουργία υποφέρει ρήξη 1ου είδουςακριβώς κατά την περίοδο αποσύνθεσης:

Παράδειγμα 3

Αναπτύξτε τη συνάρτηση που δίνεται στο διάστημα σε μια σειρά Fourier. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης και του συνολικού αθροίσματος της σειράς.

Η προτεινόμενη συνάρτηση καθορίζεται τμηματικά (και, σημειώστε, μόνο στο τμήμα)και αντέχει ρήξη 1ου είδουςστο σημείο. Είναι δυνατός ο υπολογισμός των συντελεστών Fourier; Κανένα πρόβλημα. Τόσο η αριστερή όσο και η δεξιά πλευρά της συνάρτησης μπορούν να ολοκληρωθούν στα διαστήματα τους, επομένως τα ολοκληρώματα σε καθέναν από τους τρεις τύπους πρέπει να αντιπροσωπεύονται ως το άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων. Ας δούμε, για παράδειγμα, πώς γίνεται αυτό για έναν μηδενικό συντελεστή:

Το δεύτερο ολοκλήρωμα αποδείχθηκε ίσο με μηδέν, γεγονός που μείωσε το έργο, αλλά αυτό δεν συμβαίνει πάντα.

Οι άλλοι δύο συντελεστές Fourier περιγράφονται παρόμοια.

Πώς να εμφανίσετε το άθροισμα μιας σειράς; Στο αριστερό διάστημα σχεδιάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα και στο διάστημα - ένα ευθύγραμμο τμήμα (επισημαίνουμε το τμήμα του άξονα με έντονη γραφή και έντονη γραφή). Δηλαδή, στο διάστημα επέκτασης, το άθροισμα της σειράς συμπίπτει με τη συνάρτηση παντού εκτός από τρία «κακά» σημεία. Στο σημείο ασυνέχειας της συνάρτησης, η σειρά Fourier θα συγκλίνει σε μια απομονωμένη τιμή, η οποία βρίσκεται ακριβώς στη μέση του «άλματος» της ασυνέχειας. Δεν είναι δύσκολο να το δεις προφορικά: όριο αριστερής όψης: , όριο δεξιάς: και, προφανώς, η τεταγμένη του μέσου σημείου είναι 0,5.

Λόγω της περιοδικότητας του αθροίσματος, η εικόνα πρέπει να "πολλαπλασιαστεί" σε γειτονικές περιόδους, ειδικότερα, το ίδιο πράγμα πρέπει να απεικονίζεται στα διαστήματα και . Ταυτόχρονα, σε σημεία η σειρά Fourier θα συγκλίνει στις διάμεσες τιμές.

Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει τίποτα νέο εδώ.

Προσπαθήστε να αντιμετωπίσετε αυτό το έργο μόνοι σας. Ένα κατά προσέγγιση δείγμα του τελικού σχεδίου και ένα σχέδιο στο τέλος του μαθήματος.

Επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Fourier σε μια αυθαίρετη περίοδο

Για μια αυθαίρετη περίοδο επέκτασης, όπου το "el" είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός, οι τύποι για τις σειρές Fourier και τους συντελεστές Fourier διακρίνονται από ένα ελαφρώς πιο περίπλοκο όρισμα για το ημίτονο και το συνημίτονο:

Εάν , τότε παίρνουμε τους τύπους διαστήματος με τους οποίους ξεκινήσαμε.

Ο αλγόριθμος και οι αρχές για την επίλυση του προβλήματος διατηρούνται πλήρως, αλλά η τεχνική πολυπλοκότητα των υπολογισμών αυξάνεται:

Παράδειγμα 4

Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier και σχεδιάστε το άθροισμα.

Διάλυμα: στην πραγματικότητα ένα ανάλογο του Παραδείγματος Νο. 3 με ρήξη 1ου είδουςστο σημείο. Σε αυτό το πρόβλημα, η περίοδος επέκτασης είναι μισή περίοδος. Η συνάρτηση ορίζεται μόνο στο μισό διάστημα, αλλά αυτό δεν αλλάζει το θέμα - είναι σημαντικό και τα δύο κομμάτια της συνάρτησης να είναι ενσωματωμένα.

Ας επεκτείνουμε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier:

Δεδομένου ότι η συνάρτηση είναι ασυνεχής στην αρχή, κάθε συντελεστής Fourier θα πρέπει προφανώς να γραφτεί ως το άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων:

1) Θα γράψω το πρώτο ολοκλήρωμα με όσο το δυνατόν περισσότερες λεπτομέρειες:

2) Εξετάζουμε προσεκτικά την επιφάνεια της Σελήνης:

Δεύτερο ολοκλήρωμα πάρε το κομμάτι-κομμάτι:

Τι πρέπει να προσέξουμε πολύ αφού ανοίξουμε τη συνέχεια της λύσης με αστερίσκο;

Πρώτον, δεν χάνουμε το πρώτο ολοκλήρωμα , όπου και εκτελούμε αμέσως προσυπογράφοντας το διαφορικό πρόσημο. Δεύτερον, μην ξεχνάτε την άτυχη σταθερά πριν από τις μεγάλες αγκύλες και μην μπερδεύεστε με τα σημάδιαόταν χρησιμοποιείτε φόρμουλα . Τα μεγάλα στηρίγματα εξακολουθούν να είναι πιο βολικά για να ανοίξουν αμέσως στο επόμενο βήμα.

Τα υπόλοιπα είναι θέμα τεχνικής, οι δυσκολίες μπορούν να προκληθούν μόνο από ανεπαρκή εμπειρία στην επίλυση ολοκληρωμάτων.

Ναι, δεν ήταν καθόλου αγανακτισμένοι οι επιφανείς συνάδελφοι του Γάλλου μαθηματικού Φουριέ - πώς τόλμησε να τακτοποιήσει συναρτήσεις σε τριγωνομετρικές σειρές;! =) Παρεμπιπτόντως, πιθανώς όλοι ενδιαφέρονται για το πρακτικό νόημα της εν λόγω εργασίας. Ο ίδιος ο Fourier εργάστηκε σε ένα μαθηματικό μοντέλο θερμικής αγωγιμότητας και στη συνέχεια η σειρά που πήρε το όνομά του άρχισε να χρησιμοποιείται για τη μελέτη πολλών περιοδικών διεργασιών, οι οποίες είναι ορατές και αόρατες στον περιβάλλοντα κόσμο. Τώρα, παρεμπιπτόντως, έπιασα τον εαυτό μου να σκέφτεται ότι δεν ήταν τυχαίο που συνέκρινα το γράφημα του δεύτερου παραδείγματος με τον περιοδικό ρυθμό της καρδιάς. Οι ενδιαφερόμενοι μπορούν να εξοικειωθούν με την πρακτική εφαρμογή Μετασχηματισμός Fourierσε πηγές τρίτων. ...Αν και είναι καλύτερα να μην το κάνετε - θα μείνει στη μνήμη ως Πρώτη Αγάπη =)

3) Λαμβάνοντας υπόψη τους επανειλημμένα αναφερόμενους αδύναμους συνδέσμους, ας δούμε τον τρίτο συντελεστή:

Ας ενσωματώσουμε ανά μέρη:

Ας αντικαταστήσουμε τους συντελεστές Fourier που βρέθηκαν στον τύπο , χωρίς να ξεχνάμε να διαιρέσουμε τον μηδενικό συντελεστή στο μισό:

Ας σχεδιάσουμε το άθροισμα της σειράς. Ας επαναλάβουμε εν συντομία τη διαδικασία: κατασκευάζουμε μια ευθεία σε ένα διάστημα και μια ευθεία σε ένα διάστημα. Εάν η τιμή "x" είναι μηδέν, βάζουμε ένα σημείο στη μέση του "άλματος" του κενού και "αντιγράφουμε" το γράφημα για γειτονικές περιόδους:


Στις «διασταυρώσεις» των περιόδων, το άθροισμα θα είναι επίσης ίσο με τα μέσα του «άλματος» του κενού.

Ετοιμος. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι η ίδια η συνάρτηση ορίζεται από συνθήκη μόνο σε ένα μισό διάστημα και, προφανώς, συμπίπτει με το άθροισμα της σειράς στα διαστήματα

Απάντηση:

Μερικές φορές μια τμηματικά δεδομένη συνάρτηση είναι συνεχής κατά τη διάρκεια της περιόδου επέκτασης. Το απλούστερο παράδειγμα: . Διάλυμα (βλ. Bohan τόμος 2)το ίδιο όπως και στα δύο προηγούμενα παραδείγματα: παρά συνέχεια λειτουργίαςστο σημείο , κάθε συντελεστής Fourier εκφράζεται ως το άθροισμα δύο ολοκληρωμάτων.

Στο διάστημα αποσύνθεσης σημεία ασυνέχειας 1ου είδουςκαι/ή μπορεί να υπάρχουν περισσότερα σημεία «σύνδεσης» του γραφήματος (δύο, τρία και γενικά οποιαδήποτε τελικόςποσότητα). Εάν μια συνάρτηση μπορεί να ενσωματωθεί σε κάθε μέρος, τότε είναι επίσης επεκτάσιμη σε μια σειρά Fourier. Αλλά από πρακτική εμπειρία δεν θυμάμαι κάτι τόσο σκληρό. Ωστόσο, υπάρχουν πιο δύσκολες εργασίες από αυτές που μόλις εξετάστηκαν και στο τέλος του άρθρου υπάρχουν σύνδεσμοι για τη σειρά Fourier αυξημένης πολυπλοκότητας για όλους.

Στο μεταξύ, ας χαλαρώσουμε, ας ακουμπήσουμε πίσω στις καρέκλες μας και ας αναλογιστούμε τις ατελείωτες εκτάσεις των αστεριών:

Παράδειγμα 5

Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier στο διάστημα και σχεδιάστε το άθροισμα της σειράς.

Σε αυτό το πρόβλημα η συνάρτηση συνεχήςστο μισό διάστημα επέκτασης, το οποίο απλοποιεί τη λύση. Όλα μοιάζουν πολύ με το Παράδειγμα Νο. 2. Δεν υπάρχει διαφυγή από το διαστημόπλοιο - πρέπει να αποφασίσετε =) Ένα κατά προσέγγιση δείγμα σχεδίασης στο τέλος του μαθήματος, επισυνάπτεται ένα διάγραμμα.

Επέκταση σειράς Fourier άρτιων και περιττών συναρτήσεων

Με άρτιες και περιττές συναρτήσεις, η διαδικασία επίλυσης του προβλήματος απλοποιείται αισθητά. Και να γιατί. Ας επιστρέψουμε στην επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Fourier με περίοδο "δύο pi" και αυθαίρετη περίοδος «δύο ελ» .

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτησή μας είναι άρτια. Ο γενικός όρος της σειράς, όπως μπορείτε να δείτε, περιέχει άρτια συνημίτονα και περιττά ημίτονο. Και αν επεκτείνουμε μια συνάρτηση ΖΥΓΗ, τότε γιατί χρειαζόμαστε περιττά ημιτόνια;! Ας μηδενίσουμε τον περιττό συντελεστή: .

Ετσι, μια άρτια συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier μόνο σε συνημίτονα:

Από ολοκληρώματα άρτιων συναρτήσεωνκατά μήκος ενός τμήματος ολοκλήρωσης που είναι συμμετρικό ως προς το μηδέν μπορεί να διπλασιαστεί, και στη συνέχεια οι υπόλοιποι συντελεστές Fourier απλοποιούνται.

Για το κενό:

Για ένα αυθαίρετο διάστημα:

Παραδείγματα σχολικών βιβλίων που μπορούν να βρεθούν σχεδόν σε οποιοδήποτε εγχειρίδιο μαθηματικής ανάλυσης περιλαμβάνουν επεκτάσεις ζυγών συναρτήσεων . Επιπλέον, έχουν συναντηθεί αρκετές φορές στην προσωπική μου πρακτική:

Παράδειγμα 6

Δίνεται η συνάρτηση. Υποχρεούμαι:

1) επεκτείνετε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier με τελεία , όπου είναι ένας αυθαίρετος θετικός αριθμός.

2) Καταγράψτε την επέκταση στο διάστημα, κατασκευάστε μια συνάρτηση και γράψτε το συνολικό άθροισμα της σειράς.

Διάλυμα: στην πρώτη παράγραφο προτείνεται να λυθεί το πρόβλημα σε γενική μορφή, και αυτό είναι πολύ βολικό! Εάν προκύψει ανάγκη, απλώς αντικαταστήστε την αξία σας.

1) Σε αυτό το πρόβλημα, η περίοδος επέκτασης είναι μισή περίοδος. Κατά τη διάρκεια περαιτέρω ενεργειών, ιδιαίτερα κατά την ενσωμάτωση, το «el» θεωρείται σταθερά

Η συνάρτηση είναι άρτια, πράγμα που σημαίνει ότι μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier μόνο σε συνημίτονα: .

Αναζητούμε συντελεστές Fourier χρησιμοποιώντας τους τύπους . Δώστε προσοχή στα άνευ όρων πλεονεκτήματά τους. Πρώτον, η ενοποίηση πραγματοποιείται στο θετικό τμήμα της επέκτασης, πράγμα που σημαίνει ότι απαλλαγούμε με ασφάλεια από τη μονάδα , λαμβάνοντας υπόψη μόνο το «Χ» των δύο κομματιών. Και, δεύτερον, η ενσωμάτωση απλοποιείται αισθητά.

Δυο:

Ας ενσωματώσουμε ανά μέρη:

Ετσι:
, ενώ η σταθερά , η οποία δεν εξαρτάται από το "en", λαμβάνεται εκτός του αθροίσματος.

Απάντηση:

2) Ας γράψουμε την επέκταση στο διάστημα για να το κάνουμε αυτό, αντικαθιστούμε την απαιτούμενη τιμή μισής περιόδου στον γενικό τύπο:

Επέκταση σειράς Fourier άρτιων και περιττών συναρτήσεων επέκταση μιας συνάρτησης που δίνεται σε ένα διάστημα σε μια σειρά σε ημίτονο ή συνημίτονα Σειρές Fourier για μια συνάρτηση με αυθαίρετη περίοδο Μιγαδική αναπαράσταση της σειράς Fourier σειρές Fourier σε γενικά ορθογώνια συστήματα συναρτήσεων Σειρές Fourier σε ορθογώνιο σύστημα Ελάχιστη ιδιότητα των συντελεστών Fourier Ανισότητα Bessel Ισότητα Parseval Κλειστά συστήματα Πληρότητα και κλειστά συστήματα

Επέκταση σειράς Fourier άρτιων και περιττών συναρτήσεων Μια συνάρτηση f(x), που ορίζεται στο διάστημα \-1, όπου I > 0, καλείται ακόμη και αν η γραφική παράσταση της άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα τεταγμένων. Μια συνάρτηση f(x), που ορίζεται στο τμήμα J), όπου I > 0, ονομάζεται περιττή εάν η γραφική παράσταση της περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή. Παράδειγμα. α) Η συνάρτηση είναι άρτια στο διάστημα |-jt, jt), αφού για όλα τα x e β) Η συνάρτηση είναι περιττή, αφού η επέκταση της σειράς Fourier των άρτιων και περιττών συναρτήσεων είναι η επέκταση μιας συνάρτησης που δίνεται σε ένα διάστημα σε μια σειρά σε ημίτονο ή Σειρά Fourier για μια συνάρτηση με αυθαίρετη περίοδο Μιγαδική αναπαράσταση της σειράς Fourier για γενικά ορθογώνια συστήματα συναρτήσεων Σειρά Fourier για ένα ορθογώνιο σύστημα Ελάχιστη ιδιότητα των συντελεστών Fourier Ανισότητα του Parseval Κλειστά συστήματα Πληρότητα και κλειστότητα συστημάτων γ) f(x)=x2-x, όπου δεν ανήκει ούτε σε άρτιες ούτε σε περιττές συναρτήσεις, αφού Έστω η συνάρτηση f(x), που ικανοποιεί τις συνθήκες του Θεωρήματος 1, να είναι άρτια στο διάστημα x|. Τότε για όλους δηλ. Η /(x) cos nx είναι άρτια συνάρτηση και η f(x) sinnx είναι περιττή. Επομένως, οι συντελεστές Fourier μιας άρτιας συνάρτησης /(x) θα είναι ίσοι. Επομένως, η σειρά Fourier μιας άρτιας συνάρτησης έχει τη μορφή f(x) sin х - μια άρτια συνάρτηση. Επομένως, θα έχουμε Έτσι, η σειρά Fourier μιας περιττής συνάρτησης έχει τη μορφή Παράδειγμα 1. Αναπτύξτε τη συνάρτηση 4 σε μια σειρά Fourier στο διάστημα -x ^ x ^ n Εφόσον αυτή η συνάρτηση είναι άρτια και ικανοποιεί τις συνθήκες του Θεωρήματος 1, τότε η σειρά Fourier του έχει τη μορφή Βρείτε τους συντελεστές Fourier. Έχουμε Εφαρμόζοντας την ολοκλήρωση ανά μέρη δύο φορές, παίρνουμε ότι, λοιπόν, η σειρά Fourier αυτής της συνάρτησης μοιάζει με αυτό: ή, σε διευρυμένη μορφή, Αυτή η ισότητα ισχύει για οποιοδήποτε x €, αφού στα σημεία x = ±ir το άθροισμα των Η σειρά συμπίπτει με τις τιμές της συνάρτησης f(x) = x2, αφού τα γραφήματα της συνάρτησης f(x) = x και το άθροισμα της σειράς που προκύπτει δίνονται στο Σχ. Σχόλιο. Αυτή η σειρά Fourier μας επιτρέπει να βρούμε το άθροισμα μιας από τις συγκλίνουσες αριθμητικές σειρές, δηλαδή, για x = 0 λαμβάνουμε το Παράδειγμα 2. Αναπτύξτε τη συνάρτηση /(x) = x σε μια σειρά Fourier στο διάστημα. 6. § 6. Επέκταση συνάρτησης που δίνεται σε διάστημα σε σειρά σε ημίτονο ή συνημίτονο Έστω μια οριοθετημένη τμηματικά μονοτονική συνάρτηση / να δοθεί στο διάστημα. Οι τιμές αυτής της συνάρτησης στο διάστημα 0| μπορεί να οριστεί περαιτέρω με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, μπορείτε να ορίσετε μια συνάρτηση / στο τμήμα tc] έτσι ώστε /. Σε αυτή την περίπτωση λένε ότι) "επεκτείνεται στο τμήμα 0] με άρτιο τρόπο". Η σειρά Fourier του θα περιέχει μόνο συνημίτονα. Εάν η συνάρτηση /(x) οριστεί στο διάστημα [-l-, mc] έτσι ώστε το /(, τότε το αποτέλεσμα είναι μια περιττή συνάρτηση, και τότε λένε ότι το / εκτείνεται στο διάστημα [-*, 0] Σε αυτή την περίπτωση, η σειρά Fourier θα περιέχει μόνο ημίτονο /(x) που ορίζεται στο διάστημα σε μια σειρά Fourier Η συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier: α) με συνημίτονα. β) από ημίτονο. Αυτό δίνει και επομένως, Γεωμετρικά, αυτή η ιδιότητα σημαίνει ότι στην περίπτωση της περιοχής που σκιάζεται στο Σχ. 10 περιοχές είναι ίσες μεταξύ τους. Συγκεκριμένα, για μια συνάρτηση f(x) με περίοδο λαμβάνουμε στην Επέκταση σε μια σειρά Fourier άρτιων και περιττών συναρτήσεων, επέκταση μιας συνάρτησης που δίνεται σε ένα διάστημα σε μια σειρά σε ημίτονο ή συνημίτονο σειρά Fourier για μια συνάρτηση με αυθαίρετη περίοδος Σύνθετη σημειογραφία της σειράς Fourier της σειράς Fourier σε γενικές γραμμές ορθογώνια συστήματα συναρτήσεις Σειρά Fourier σε ένα ορθογώνιο σύστημα Ελάχιστη ιδιότητα των συντελεστών Fourier Ανισότητα Bessel ισότητα Parseval Κλειστά συστήματα Πληρότητα και κλειστότητα συστημάτων Παράδειγμα 2. Η συνάρτηση x είναι περιοδική με περίοδο Λόγω της περιττότητας αυτής της συνάρτησης, χωρίς να υπολογίζουμε ολοκληρωτικά, μπορούμε να δηλώσουμε ότι για οποιαδήποτε Η αποδεδειγμένη ιδιότητα, ειδικότερα, δείχνει ότι οι συντελεστές Fourier ενός Η περιοδική συνάρτηση f(x) με περίοδο 21 μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τους τύπους όπου το a είναι ένας αυθαίρετος πραγματικός αριθμός (σημειώστε ότι οι συναρτήσεις co - και sin έχουν περίοδο 2/). Παράδειγμα 3. Αναπτύξτε σε μια σειρά Fourier μια συνάρτηση που δίνεται σε ένα διάστημα με περίοδο 2x (Εικ. 11). 4 Ας βρούμε τους συντελεστές Fourier αυτής της συνάρτησης. Βάζοντας στους τύπους διαπιστώνουμε ότι για το Επομένως, η σειρά Fourier θα μοιάζει με αυτό: Στο σημείο x = jt (σημείο ασυνέχειας πρώτου είδους) έχουμε §8. Σύνθετη εγγραφή της σειράς Fourier Αυτή η ενότητα χρησιμοποιεί ορισμένα στοιχεία σύνθετης ανάλυσης (βλ. Κεφάλαιο XXX, όπου όλες οι ενέργειες που εκτελούνται εδώ με σύνθετες εκφράσεις είναι αυστηρά αιτιολογημένες). Έστω ότι η συνάρτηση f(x) ικανοποιεί επαρκείς συνθήκες για επέκταση σε σειρά Fourier. Στη συνέχεια, στο τμήμα x] μπορεί να αναπαρασταθεί από μια σειρά της μορφής Χρησιμοποιώντας τους τύπους του Euler Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις σε σειρές (1) αντί για cos πx και sin φx θα έχουμε Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό Στη συνέχεια, η σειρά (2) θα πάρει η μορφή Έτσι, η σειρά Fourier (1) αναπαρίσταται σε σύνθετη μορφή (3). Ας βρούμε εκφράσεις για τους συντελεστές μέσω ολοκληρωμάτων. Έχουμε Ομοίως, βρίσκουμε Οι τελικοί τύποι για τα с„, с_п και σ μπορούν να γραφτούν ως εξής: . . Οι συντελεστές ονομάζονται μιγαδικοί συντελεστές Fourier για μια περιοδική συνάρτηση με τελεία, η μιγαδική μορφή της σειράς Fourier θα έχει τη μορφή όπου οι συντελεστές Cn υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους σύγκλισης των σειρών ) και (4) νοούνται ως εξής: οι σειρές (3) και (4) ονομάζονται συγκλίνουσες για δεδομένες τιμές εάν υπάρχουν όρια Παράδειγμα. Επέκταση της συνάρτησης περιόδου σε μια σύνθετη σειρά Fourier Αυτή η συνάρτηση ικανοποιεί επαρκείς προϋποθέσεις για επέκταση σε μια σειρά Fourier. Ας βρούμε τους μιγαδικούς συντελεστές Fourier αυτής της συνάρτησης. Έχουμε για περιττό για άρτιο n, ή, εν συντομία. Αντικαθιστώντας τις τιμές), τελικά λαμβάνουμε Σημειώστε ότι αυτή η σειρά μπορεί επίσης να γραφτεί ως εξής: Σειρά Fourier για γενικά ορθογώνια συστήματα συναρτήσεων 9.1. Ορθογώνια συστήματα συναρτήσεων Ας υποδηλώσουμε με το σύνολο όλων των (πραγματικών) συναρτήσεων που ορίζονται και μπορούν να ολοκληρωθούν στο διάστημα [a, 6] με ένα τετράγωνο, δηλαδή αυτές για τις οποίες υπάρχει ολοκλήρωμα, συγκεκριμένα, όλες οι συναρτήσεις f(x). στο διάστημα [a , 6], ανήκουν στο 6] και οι τιμές των ολοκληρωμάτων τους Lebesgue συμπίπτουν με τις τιμές των ολοκληρωμάτων Riemann. Ορισμός. Ένα σύστημα συναρτήσεων, όπου, ονομάζεται ορθογώνιο στο διάστημα [a, b\, εάν η συνθήκη (1) υποθέτει, συγκεκριμένα, ότι καμία από τις συναρτήσεις δεν είναι πανομοιότυπα μηδέν. Το ολοκλήρωμα εννοείται με την έννοια του Lebesgue. Ωστόσο, σε ορισμένες περιπτώσεις, για παράδειγμα, όταν η σειρά (4) συγκλίνει ομοιόμορφα, όλες οι συναρτήσεις είναι συνεχείς και το διάστημα (a, 6) είναι πεπερασμένο, αυτή η πράξη είναι νόμιμη. Αλλά για εμάς τώρα είναι η επίσημη ερμηνεία που είναι σημαντική. Ας δοθεί λοιπόν μια συνάρτηση. Ας σχηματίσουμε τους αριθμούς c* σύμφωνα με τον τύπο (5) και γράψουμε Η σειρά στη δεξιά πλευρά ονομάζεται σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) ως προς το σύστημα (^n(i)). ονομάζονται συντελεστές Fourier της συνάρτησης f(x) ως προς αυτό το σύστημα. Το σύμβολο ~ στον τύπο (6) σημαίνει μόνο ότι οι αριθμοί Cn σχετίζονται με τη συνάρτηση f(x) από τον τύπο (5) (δεν θεωρείται ότι η σειρά στα δεξιά συγκλίνει καθόλου, πολύ λιγότερο συγκλίνει στη συνάρτηση f (x)). Ως εκ τούτου, προκύπτει φυσικά το ερώτημα: ποιες είναι οι ιδιότητες αυτής της σειράς; Με ποια έννοια «αντιπροσωπεύει» τη συνάρτηση f(x); 9.3. Σύγκλιση στο μέσο όρο Ορισμός. Μια ακολουθία συγκλίνει στο στοιχείο ] κατά μέσο όρο εάν η νόρμα βρίσκεται στο χώρο Θεώρημα 6. Εάν μια ακολουθία ) συγκλίνει ομοιόμορφα, τότε συγκλίνει κατά μέσο όρο. όταν Tn(x) είναι το 71ο μερικό άθροισμα της σειράς Fourier της συνάρτησης /(x) πάνω από το σύστημα (. Ρύθμιση ak = sk, από το (7) προκύπτει η ισότητα (9) ονομάζεται ταυτότητα Bessel. Η πλευρά είναι μη αρνητική, τότε από αυτήν προκύπτει η ανισότητα του Bessel Εφόσον βρίσκομαι εδώ αυθαίρετα, η ανισότητα του Bessel μπορεί να αναπαρασταθεί σε ενισχυμένη μορφή, δηλ. για οποιαδήποτε συνάρτηση / η σειρά των τετραγωνικών συντελεστών Fourier αυτής της συνάρτησης σε ένα ορθοκανονικό σύστημα ) συγκλίνει. . Εφόσον το σύστημα είναι ορθοκανονικό στο διάστημα [-x, m], τότε η ανισότητα (10) που μεταφράζεται στη συνήθη σημειογραφία της τριγωνομετρικής σειράς Fourier δίνει τη σχέση do που ισχύει για οποιαδήποτε συνάρτηση /(x) με ολοκληρωμένο τετράγωνο. Αν η f2(x) είναι ολοκληρωμένη, τότε, λόγω της απαραίτητης συνθήκης για τη σύγκλιση της σειράς στην αριστερή πλευρά της ανίσωσης (11), λαμβάνουμε ότι. Ισότητα Parseval Για ορισμένα συστήματα (^„(x)), το πρόσημο της ανισότητας στον τύπο (10) μπορεί να αντικατασταθεί (για όλες τις συναρτήσεις f(x) 6 ×) από ένα πρόσημο ίσου. Η ισότητα που προκύπτει ονομάζεται ισότητα Parseval-Steklov (συνθήκη πληρότητας). Η ταυτότητα του Bessel (9) μας επιτρέπει να γράψουμε τη συνθήκη (12) σε μια ισοδύναμη μορφή. Έτσι, η εκπλήρωση της συνθήκης πληρότητας σημαίνει ότι τα επιμέρους αθροίσματα Sn(x) της σειράς Fourier της συνάρτησης /(x) συγκλίνουν. /(x) κατά μέσο όρο, δηλ. σύμφωνα με τον κανόνα του χώρου 6]. Ορισμός. Ένα ορθοκανονικό σύστημα ( ονομάζεται πλήρες στο b2[аy b] εάν κάθε συνάρτηση μπορεί να προσεγγιστεί με οποιαδήποτε ακρίβεια κατά μέσο όρο από έναν γραμμικό συνδυασμό της φόρμας με έναν αρκετά μεγάλο αριθμό όρων, δηλ. εάν για οποιαδήποτε συνάρτηση /(x) ∈ b2 [a, b\ και για οποιοδήποτε e > 0 υπάρχει ένας φυσικός αριθμός nq και οι αριθμοί a\, a2y..., έτσι ώστε Όχι Από τον παραπάνω συλλογισμό προκύπτει το θεώρημα 7. Αν με ορθοκανονικοποίηση το σύστημα ) είναι πλήρες στο διάστημα, το Η σειρά Fourier οποιασδήποτε συνάρτησης / σε αυτό το σύστημα συγκλίνει στο f(x) κατά μέσο όρο, δηλ. σύμφωνα με τον κανόνα Μπορεί να φανεί ότι το τριγωνομετρικό σύστημα είναι πλήρες στο διάστημα. Θεώρημα 8. Αν μια συνάρτηση /o η τριγωνομετρική σειρά Fourier της συγκλίνει σε αυτήν κατά μέσο όρο. 9.5. Κλειστά συστήματα. Πληρότητα και κλειστότητα συστημάτων Ορισμός. Ένα ορθοκανονικό σύστημα συναρτήσεων \ ονομάζεται κλειστό εάν στο χώρο Li\a, β) δεν υπάρχει μη μηδενική συνάρτηση ορθογώνια σε όλες τις συναρτήσεις Στο χώρο L2\a, b\, οι έννοιες της πληρότητας και της κλειστότητας των ορθοκανονικών συστημάτων συμπίπτουν. Ασκήσεις 1. Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Fourier στο διάστημα (-i-, x) 2. Αναπτύξτε τη συνάρτηση 3 σε μια σειρά Fourier στο διάστημα (-tr, tr) 3. Αναπτύξτε τη συνάρτηση 4 σε μια σειρά Fourier στο το διάστημα (-tr, tr) στη σειρά Fourier στο διάστημα (-jt, tr) συνάρτηση 5. Αναπτύξτε τη συνάρτηση f(x) = x + x σε μια σειρά Fourier στο διάστημα (-t, t). 6. Αναπτύξτε τη συνάρτηση n σε μια σειρά Fourier στο διάστημα (-jt, tr) 7. Αναπτύξτε τη συνάρτηση /(x) = sin2 x σε μια σειρά Fourier στο διάστημα (-tr, x). 8. Αναπτύξτε τη συνάρτηση f(x) = y σε σειρά Fourier στο διάστημα (-tr, jt) 9. Αναπτύξτε τη συνάρτηση f(x) = | αμαρτία x|. 10. Αναπτύξτε τη συνάρτηση f(x) = § σε μια σειρά Fourier στο διάστημα (-π-, π). 11. Αναπτύξτε τη συνάρτηση f(x) = sin § σε μια σειρά Fourier στο διάστημα (-tr, tr). 12. Αναπτύξτε τη συνάρτηση f(x) = n -2x, που δίνεται στο διάστημα (0, x), σε μια σειρά Fourier, επεκτείνοντάς την στο διάστημα (-x, 0): α) με άρτιο τρόπο. β) με περίεργο τρόπο. 13. Αναπτύξτε τη συνάρτηση /(x) = x2, που δίνεται στο διάστημα (0, x), σε μια σειρά Fourier σε ημίτονο. 14. Αναπτύξτε τη συνάρτηση /(x) = 3, που δίνεται στο διάστημα (-2,2), σε μια σειρά Fourier. 15. Αναπτύξτε σε σειρά Fourier τη συνάρτηση f(x) = |x|, που δίνεται στο διάστημα (-1,1). 16. Επεκτείνετε τη συνάρτηση f(x) = 2x, που καθορίζεται στο διάστημα (0,1), σε μια σειρά Fourier σε ημίτονο.

Σειρά Fourier– ένας τρόπος αναπαράστασης μιας σύνθετης συνάρτησης ως άθροισμα απλούστερων, γνωστών.
Το ημίτονο και το συνημίτονο είναι περιοδικές συναρτήσεις. Αποτελούν επίσης μια ορθογώνια βάση. Αυτή η ιδιότητα μπορεί να εξηγηθεί κατ' αναλογία με τους άξονες Χ Χ ΧΚαι Υ Υ Υστο επίπεδο συντεταγμένων. Ακριβώς όπως μπορούμε να περιγράψουμε τις συντεταγμένες ενός σημείου ως προς τους άξονες, μπορούμε να περιγράψουμε οποιαδήποτε συνάρτηση σε σχέση με ημίτονο και συνημίτονα. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι καλά κατανοητές και εύχρηστες στα μαθηματικά.

Τα ημιτόνια και τα συνημίτονα μπορούν να αναπαρασταθούν με τη μορφή των ακόλουθων κυμάτων:

Τα μπλε είναι συνημίτονα, τα κόκκινα είναι ημίτονο. Τέτοια κύματα ονομάζονται επίσης αρμονικές. Τα συνημίτονα είναι άρτια, τα ημίτονο είναι περιττά. Ο όρος αρμονικό προέρχεται από την αρχαιότητα και συνδέεται με παρατηρήσεις για τη σχέση των πίνων στη μουσική.

Τι είναι η σειρά Fourier

Μια τέτοια σειρά, όπου χρησιμοποιούνται οι απλούστερες συναρτήσεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου, ονομάζεται τριγωνομετρική. Ονομάστηκε προς τιμή του εφευρέτη του, Jean Baptiste Joseph Fourier, στα τέλη του 18ου και στις αρχές του 19ου αιώνα. ο οποίος απέδειξε ότι οποιαδήποτε συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως συνδυασμός τέτοιων αρμονικών. Και όσο περισσότερα από αυτά παίρνετε, τόσο πιο ακριβής θα είναι αυτή η αναπαράσταση. Για παράδειγμα, η παρακάτω εικόνα: μπορείτε να παρατηρήσετε ότι με μεγάλο αριθμό αρμονικών, δηλαδή μελών της σειράς Fourier, το κόκκινο γράφημα γίνεται πιο κοντά στο μπλε - την αρχική συνάρτηση.

Πρακτική εφαρμογή στον σύγχρονο κόσμο

Χρειάζονται τώρα αυτές οι σειρές; Πού μπορούν να χρησιμοποιηθούν πρακτικά και τα χρησιμοποιεί κάποιος άλλος εκτός από θεωρητικούς μαθηματικούς; Αποδεικνύεται ότι ο Φουριέ είναι διάσημος σε όλο τον κόσμο επειδή τα πρακτικά οφέλη της σειράς του είναι κυριολεκτικά ανυπολόγιστα. Είναι βολικά για χρήση όπου υπάρχουν κραδασμοί ή κύματα: ακουστική, αστρονομία, ραδιομηχανική κ.λπ. Το απλούστερο παράδειγμα χρήσης του: ο μηχανισμός λειτουργίας μιας κάμερας ή βιντεοκάμερας. Για να εξηγήσουμε εν συντομία, αυτές οι συσκευές καταγράφουν όχι μόνο εικόνες, αλλά τους συντελεστές της σειράς Fourier. Και λειτουργεί παντού - όταν βλέπετε φωτογραφίες στο Διαδίκτυο, μια ταινία ή ακούτε μουσική. Χάρη στη σειρά Fourier μπορείτε πλέον να διαβάσετε αυτό το άρθρο από το κινητό σας τηλέφωνο. Χωρίς τον μετασχηματισμό Fourier, δεν θα είχαμε αρκετό εύρος ζώνης σύνδεσης στο Διαδίκτυο για να παρακολουθήσουμε απλώς ένα βίντεο YouTube, ακόμη και σε τυπική ποιότητα.

Αυτό το διάγραμμα δείχνει έναν δισδιάστατο μετασχηματισμό Fourier, ο οποίος χρησιμοποιείται για την αποσύνθεση της εικόνας σε αρμονικές, δηλαδή βασικά συστατικά. Σε αυτό το διάγραμμα η τιμή -1 είναι κωδικοποιημένη με μαύρο, 1 σε λευκό, δεξιά και κάτω από το γράφημα η συχνότητα αυξάνεται.

Επέκταση της σειράς Fourier

Μάλλον έχετε ήδη βαρεθεί να διαβάζετε, οπότε ας περάσουμε στους τύπους.
Για μια τέτοια μαθηματική τεχνική όπως η επέκταση των συναρτήσεων σε μια σειρά Fourier, θα πρέπει να πάρετε ολοκληρώματα. Πολλά ολοκληρώματα. Γενικά, η σειρά Fourier γράφεται ως άπειρο άθροισμα:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ ​ (ένα n​ cos (n x ) +σι n​ αμαρτία (n x ) )
Οπου
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxΑ=2π1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxένα n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (n x) d x
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sin(nx)dxσι n​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) αμαρτία (n x) d x

Αν μπορούμε με κάποιο τρόπο να μετρήσουμε έναν άπειρο αριθμό α ν α_ν ένα n​ Και b n b_n σι n​ (ονομάζονται συντελεστές επέκτασης Fourier, Α Α ΕΝΑ- αυτή είναι απλώς μια σταθερά αυτής της επέκτασης), τότε η σειρά που προκύπτει θα είναι 100% ίδια με την αρχική συνάρτηση f(x) f(x) f(x)στο τμήμα από − π -\pi − π να π\pi π . Αυτό το τμήμα οφείλεται στις ιδιότητες ολοκλήρωσης του ημιτόνου και του συνημιτόνου. Όσο περισσότερο n n n, για την οποία υπολογίζουμε τους συντελεστές της επέκτασης σειράς της συνάρτησης, τόσο πιο ακριβής θα είναι αυτή η επέκταση.

Παράδειγμα

Ας πάρουμε μια απλή συνάρτηση y = 5 x y = 5x y=5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0Α=2π1 ​ − π ∫ π ​ f(x)dx=2π1 ​ − π ∫ π ​ 5 x d x =0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0ένα 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (x ) d x =0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sin(x)dx = 10σι 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) αμαρτία (x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x αμαρτία (x) d x =1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0ένα 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x) cos (2 x) d x =π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) d x =0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sin(2x)dx = -5σι 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ φά(x) αμαρτία(2 x) ρεx= π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 xαμαρτία(2 x) ρεx= − 5

Και ούτω καθεξής. Στην περίπτωση μιας τέτοιας λειτουργίας, μπορούμε αμέσως να πούμε ότι τα πάντα a n = 0 a_n=0έναn​ = 0 , συντελεστές b n b_nσιn​ θα πρέπει να υπολογίσει. Αν πάρουμε τους τέσσερις πρώτους όρους της επέκτασης της σειράς Fourier για τη συνάρτηση y = 5 x y = 5xy= 5 x, παίρνουμε:

$5x\approx 10\cdot \mathrm{\alpha \mu \alpha \rho \tau ί\alpha }(x)-5\cdot \mathrm{\alpha \mu \alpha \rho \tau ί\alpha }(2\cdot x)+310\cdot \mathrm{\alpha \mu \alpha \rho \tau ί\alpha }(3\cdot x)-25\cdot \mathrm{\alpha \mu \alpha \rho \tau ί\alpha }(4\cdot x)$

Το γράφημα της συνάρτησης που προκύπτει θα μοιάζει με αυτό:

Η προκύπτουσα επέκταση της σειράς Fourier προσεγγίζει την αρχική μας λειτουργία. Αν πάρουμε μεγαλύτερο αριθμό όρων της σειράς, για παράδειγμα, 15, θα δούμε τα εξής:

Όσο περισσότεροι όροι της επέκτασης σε μια σειρά, τόσο μεγαλύτερη είναι η ακρίβεια.
Αν αλλάξουμε ελαφρώς την κλίμακα του γραφήματος, μπορούμε να παρατηρήσουμε ένα άλλο χαρακτηριστικό του μετασχηματισμού: η σειρά Fourier είναι μια περιοδική συνάρτηση με τελεία 2 π 2\pi2 π .

Έτσι, μπορούμε να αναπαραστήσουμε οποιαδήποτε συνάρτηση που είναι συνεχής στο διάστημα [ − π ; π ] [-\pi;\pi][ − π ; π ] . Όλα αυτά χρειάζονται για να διευκολυνθεί η ανάλυση κάποιων φαινομένων που περιγράφονται από σύνθετες συναρτήσεις. Δεν είναι πάντα δυνατός ο υπολογισμός της παραγώγου αναλυτικά (δηλαδή, χρησιμοποιώντας έναν τύπο), αλλά στην περίπτωση ενός συνόλου ημιτόνων και συνημιτόνων, δεν θα προκύψει τέτοιο πρόβλημα. Η ίδια η επέκταση της σειράς Fourier δείχνει ότι τα προβλήματα μπορούν συχνά να λυθούν αναλυτικά χρησιμοποιώντας απλουστευμένα μοντέλα, ένα παράδειγμα των οποίων είναι η σειρά Fourier.