Series de Fourier. Ejemplos de solución. Series de Fourier en ejemplos y tareas Ejemplos de expandir una función en una serie de Fourier

17.03.2022

2. Determinación de los coeficientes de la serie por las fórmulas de Fourier.

Sea una función periódica ƒ(x) con un período de 2π tal que está representada por una serie trigonométrica convergente a una función dada en el intervalo (-π, π), es decir, es la suma de esta serie:

Suponga que la integral de la función del lado izquierdo de esta igualdad es igual a la suma de las integrales de los términos de esta serie. Esto será cierto si asumimos que la serie numérica compuesta por los coeficientes de la serie trigonométrica dada converge absolutamente, es decir, la serie numérica positiva converge

La serie (1) es mayoritaria y puede integrarse término a término en el intervalo (-π, π). Integramos ambas partes de la igualdad (2):

Calculamos por separado cada integral que aparece en el lado derecho:

De este modo, , dónde

. (4)

Estimación de los coeficientes de Fourier. (Bugrov)

Teorema 1. Sea una función ƒ(x) de periodo 2π una derivada continua ƒ(s) (x) de orden s que satisface la desigualdad en todo el eje real:

│ ƒ (s) (x)│≤ METRO s ; (5)

entonces los coeficientes de Fourier de la función ƒ satisfacen la desigualdad

Prueba. Integrando por partes y teniendo en cuenta que

ƒ(-π) = ƒ(π), tenemos

Integrando secuencialmente el lado derecho de (7), teniendo en cuenta que las derivadas ƒ ΄ ,…, ƒ (s-1) son continuas y toman los mismos valores en los puntos t = -π y t = π, así como como estimación (5), obtenemos la primera estimación (6).

La segunda estimación (6) se obtiene de manera similar.

Teorema 2. Los coeficientes de Fourier ƒ(x) satisfacen la desigualdad

(8)

Prueba. Tenemos

(9)

Introduciendo un cambio de variable en este caso y teniendo en cuenta que ƒ(x) es una función periódica, obtenemos

Sumando (9) y (10), obtenemos

Realizamos la prueba para b k de manera similar.

Consecuencia. Si la función ƒ(x) es continua, entonces sus coeficientes de Fourier tienden a cero: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Espacio de funciones con producto escalar.

Una función ƒ(x) se llama continua por tramos en un segmento si es continua en este segmento, excepto quizás para un número finito de puntos donde tiene discontinuidades del primer tipo. Dichos puntos se pueden sumar y multiplicar por números reales y, como resultado, se pueden obtener nuevamente funciones continuas por partes en un segmento.

El producto escalar de dos continuas por tramos en (a< b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Obviamente, para cualquier función continua por tramos ƒ , φ , ψ se cumplen las siguientes propiedades:

1) (ƒ, φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) y la igualdad (ƒ , ƒ) = 0 implica que ƒ(x) =0 en , excluyendo, quizás, un número finito de puntos x;

3) (α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β (φ , ψ),

donde α, β son números reales arbitrarios.

El conjunto de todas las funciones continuas por tramos definidas en el intervalo , para las que se introduce el producto escalar según la fórmula (11), lo denotaremos, y espacio de llamada

Observación 1.

En matemáticas, un espacio = (a, b) es un conjunto de funciones ƒ(x) que son integrables en el sentido de Lebesgue junto con sus cuadrados, cuyo producto escalar se introduce mediante la fórmula (11). El espacio en cuestión es parte de . El espacio tiene muchas de las propiedades del espacio, pero no todas.

Las propiedades 1), 2), 3) implican la importante desigualdad de Bunyakovskii | (ƒ, φ) | ≤ (ƒ , ƒ) ½ (φ , φ) ½ , que en el lenguaje de las integrales se ve así:

Valor

se llama la norma de la función f.

La norma tiene las siguientes propiedades:

1) || f || ≥ 0, mientras que la igualdad sólo puede ser para la función cero f = 0, es decir, la función igual a cero, salvo, quizás, para un número finito de puntos;

2) || f + φ || ≤ || f(x) || || ϕ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || f ||,

donde α es un número real.

La segunda propiedad en el lenguaje de las integrales se ve así:

y se llama desigualdad de Minkowski.

Se dice que una sucesión de funciones ( f n ), pertenece a , converge a una función pertenece en el sentido del cuadrado medio sobre (o bien en la norma ), si

Note que si la secuencia de funciones ƒ n (x) converge uniformemente a la función ƒ(x) en el segmento , entonces para n lo suficientemente grande la diferencia ƒ(x) - ƒ n (x) en valor absoluto debe ser pequeña para todo x del segmento .

Si ƒ n (x) tiende a ƒ(x) en el sentido del cuadrado medio en el segmento , entonces la diferencia indicada puede no ser pequeña para n grande en todas partes en . En algunos lugares del segmento, esta diferencia puede ser grande, pero solo es importante que la integral de su cuadrado sobre el segmento sea pequeña para n grande.

Ejemplo. Sea en una función lineal por partes continua dada ƒ n (x) (n = 1, 2,…) que se muestra en la figura, y

(Bugrov, pág. 281, fig. 120)

Para cualquier n natural

y, en consecuencia, esta sucesión de funciones, aunque converge a cero cuando n → ∞, no es uniforme. Mientras tanto

es decir, la secuencia de funciones (f n (x)) tiende a cero en el sentido del cuadrado medio en .

A partir de los elementos de alguna secuencia de funciones ƒ 1 , ƒ 2 , ƒ 3 ,… (pertenecientes a ) construimos una serie

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

La suma de sus primeros n miembros

σ norte = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ norte

hay una función que pertenece a . Si sucede que en existe una función ƒ tal que

|| ƒ-σ norte || → 0 (n → ∞),

entonces decimos que la serie (12) converge a la función ƒ en el sentido del cuadrado medio y escribimos

f = f 1 + f 2 + f 3 +…

Observación 2.

Se puede considerar el espacio = (a, b) de funciones de valores complejos ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), donde ƒ 1 (x) y ƒ 2 (x) son funciones reales continuas por tramos . En este espacio, las funciones se multiplican por números complejos y el producto escalar de funciones ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) y φ(x) = φ 1 (x) + i φ 2 (x) se define de la siguiente manera:

y la norma ƒ se define como el valor

La serie de Fourier es una representación de una función tomada arbitrariamente con un período específico como una serie. En términos generales, esta solución se denomina descomposición de un elemento en base ortogonal. La expansión de funciones en una serie de Fourier es una herramienta bastante poderosa para resolver varios problemas debido a las propiedades de esta transformación al integrar, diferenciar, así como cambiar una expresión en un argumento y convolución.

Una persona que no esté familiarizada con las matemáticas superiores, así como con los trabajos del científico francés Fourier, probablemente no entenderá qué son estas "series" y para qué sirven. Mientras tanto, esta transformación se ha vuelto bastante densa en nuestras vidas. Es utilizado no solo por matemáticos, sino también por físicos, químicos, médicos, astrónomos, sismólogos, oceanógrafos y muchos otros. Echemos también un vistazo más de cerca a los trabajos del gran científico francés, que hizo un descubrimiento adelantado a su tiempo.

El hombre y la transformada de Fourier

La serie de Fourier es uno de los métodos (junto con el análisis y otros) Este proceso ocurre cada vez que una persona escucha algún sonido. Nuestro oído transforma automáticamente las partículas elementales en un medio elástico, se descomponen en filas (a lo largo del espectro) de valores sucesivos del nivel de volumen para tonos de diferentes alturas. Luego, el cerebro convierte estos datos en sonidos familiares para nosotros. Todo esto sucede además de nuestro deseo o conciencia, por sí mismo, pero para comprender estos procesos, tomará varios años estudiar matemáticas superiores.

Más sobre la transformada de Fourier

La transformada de Fourier se puede realizar mediante métodos analíticos, numéricos y otros. Las series de Fourier se refieren a la forma numérica de descomponer cualquier proceso oscilatorio, desde las mareas oceánicas y las ondas de luz hasta los ciclos de actividad solar (y otros objetos astronómicos). Mediante estas técnicas matemáticas, es posible analizar funciones, representando cualquier proceso oscilatorio como una serie de componentes sinusoidales que van de mínimo a máximo y viceversa. La transformada de Fourier es una función que describe la fase y la amplitud de las sinusoides correspondientes a una frecuencia específica. Este proceso se puede utilizar para resolver ecuaciones muy complejas que describen procesos dinámicos que ocurren bajo la influencia de energía térmica, luminosa o eléctrica. Además, las series de Fourier permitieron aislar las componentes constantes en señales oscilatorias complejas, lo que permitió interpretar correctamente las observaciones experimentales obtenidas en medicina, química y astronomía.

referencia histórica

El padre fundador de esta teoría es el matemático francés Jean Baptiste Joseph Fourier. Posteriormente, esta transformación recibió su nombre. Inicialmente, el científico aplicó su método para estudiar y explicar los mecanismos de conducción del calor: la propagación del calor en los sólidos. Fourier sugirió que la distribución irregular original se puede descomponer en las sinusoides más simples, cada una de las cuales tendrá su propio mínimo y máximo de temperatura, así como su propia fase. En este caso, cada componente se medirá de mínimo a máximo y viceversa. La función matemática que describe los picos superior e inferior de la curva, así como la fase de cada uno de los armónicos, se denomina transformada de Fourier de la expresión de distribución de temperatura. El autor de la teoría redujo la función de distribución general, que es difícil de describir matemáticamente, a una serie muy conveniente de coseno y seno, que se suman para dar la distribución original.

El principio de transformación y las opiniones de los contemporáneos.

Los contemporáneos del científico, los principales matemáticos de principios del siglo XIX, no aceptaron esta teoría. La principal objeción fue la afirmación de Fourier de que una función discontinua que describe una línea recta o una curva discontinua puede representarse como una suma de expresiones sinusoidales que son continuas. Como ejemplo, considere el "paso" de Heaviside: su valor es cero a la izquierda del espacio y uno a la derecha. Esta función describe la dependencia de la corriente eléctrica con la variable tiempo cuando el circuito está cerrado. Los contemporáneos de la teoría en ese momento nunca se habían encontrado con una situación así, cuando una expresión discontinua sería descrita por una combinación de funciones ordinarias continuas, como exponencial, sinusoidal, lineal o cuadrática.

¿Qué confundió a los matemáticos franceses en la teoría de Fourier?

Después de todo, si el matemático estaba en lo correcto en sus afirmaciones, al sumar la serie trigonométrica infinita de Fourier, uno puede obtener una representación exacta de la expresión paso a paso, incluso si tiene muchos pasos similares. A principios del siglo XIX, tal afirmación parecía absurda. Pero a pesar de todas las dudas, muchos matemáticos han ampliado el alcance del estudio de este fenómeno, llevándolo más allá del ámbito de los estudios de conductividad térmica. Sin embargo, la mayoría de los científicos seguían atormentados por la pregunta: "¿Puede la suma de la serie sinusoidal converger al valor exacto de la función discontinua?"

Convergencia de series de Fourier: un ejemplo

La cuestión de la convergencia surge siempre que es necesario sumar series infinitas de números. Para entender este fenómeno, considere un ejemplo clásico. ¿Puedes llegar a la pared si cada paso sucesivo es la mitad del tamaño del anterior? Supongamos que estás a dos metros de la meta, el primer paso te acerca a la mitad del camino, el siguiente a los tres cuartos y después del quinto paso cubrirás casi el 97 por ciento del camino. Sin embargo, no importa cuántos pasos dé, no logrará el objetivo previsto en un sentido estrictamente matemático. Usando cálculos numéricos, se puede demostrar que al final es posible acercarse a una distancia dada arbitrariamente pequeña. Esta prueba es equivalente a demostrar que el valor total de un medio, un cuarto, etc. tenderá a uno.

Una cuestión de convergencia: la segunda venida o el aparato de Lord Kelvin

Esta cuestión volvió a plantearse a finales del siglo XIX, cuando se intentó utilizar las series de Fourier para predecir la intensidad del flujo y reflujo. En ese momento, Lord Kelvin inventó un dispositivo, que es un dispositivo informático analógico que permitió a los marineros de la flota militar y mercante rastrear este fenómeno natural. Este mecanismo determinaba los conjuntos de fases y amplitudes a partir de una tabla de alturas de las mareas y sus correspondientes momentos temporales, cuidadosamente medidos en un puerto determinado durante el año. Cada parámetro era una componente sinusoidal de la expresión de la altura de la marea y era una de las componentes regulares. Los resultados de las mediciones se ingresaron en la calculadora de Lord Kelvin, que sintetizó una curva que predijo la altura del agua en función del tiempo para el próximo año. Muy pronto se trazaron curvas similares para todos los puertos del mundo.

¿Y si el proceso se rompe por una función discontinua?

En ese momento, parecía obvio que un predictor de maremotos con una gran cantidad de elementos de conteo podría calcular una gran cantidad de fases y amplitudes y, por lo tanto, proporcionar predicciones más precisas. Sin embargo, resultó que esta regularidad no se observa en aquellos casos en que la expresión de marea a sintetizar contenía un salto brusco, es decir, era discontinua. En el caso de que se ingresen datos en el dispositivo desde la tabla de momentos de tiempo, entonces calcula varios coeficientes de Fourier. La función original se restablece gracias a las componentes sinusoidales (según los coeficientes encontrados). La discrepancia entre la expresión original y restaurada se puede medir en cualquier punto. Al realizar cálculos y comparaciones repetidas, se puede ver que el valor del mayor error no disminuye. Sin embargo, se localizan en la región correspondiente al punto de discontinuidad y tienden a cero en cualquier otro punto. En 1899, este resultado fue confirmado teóricamente por Joshua Willard Gibbs de la Universidad de Yale.

Convergencia de las series de Fourier y el desarrollo de las matemáticas en general

El análisis de Fourier no es aplicable a expresiones que contienen un número infinito de ráfagas en un cierto intervalo. En general, las series de Fourier, si la función original es el resultado de una medida física real, siempre convergen. Las preguntas sobre la convergencia de este proceso para clases específicas de funciones han llevado al surgimiento de nuevas secciones en matemáticas, por ejemplo, la teoría de funciones generalizadas. Se asocia con nombres como L. Schwartz, J. Mikusinsky y J. Temple. En el marco de esta teoría, se creó una base teórica clara y precisa para expresiones tales como la función delta de Dirac (describe un área de un área única concentrada en una vecindad infinitamente pequeña de un punto) y el Heaviside “ paso". Gracias a este trabajo, las series de Fourier pasaron a ser aplicables a la resolución de ecuaciones y problemas en los que aparecen conceptos intuitivos: una carga puntual, una masa puntual, dipolos magnéticos y también una carga concentrada sobre una viga.

método de Fourier

Las series de Fourier, de acuerdo con los principios de interferencia, comienzan con la descomposición de formas complejas en otras más simples. Por ejemplo, un cambio en el flujo de calor se explica por su paso a través de varios obstáculos hechos de material termoaislante de forma irregular o un cambio en la superficie de la tierra - un terremoto, un cambio en la órbita de un cuerpo celeste - la influencia de planetas Como regla, las ecuaciones similares que describen sistemas clásicos simples se resuelven elementalmente para cada onda individual. Fourier demostró que las soluciones simples también se pueden sumar para dar soluciones a problemas más complejos. Expresado en el lenguaje de las matemáticas, la serie de Fourier es una técnica para representar una expresión como la suma de armónicos: coseno y sinusoides. Por lo tanto, este análisis también se conoce como "análisis armónico".

Serie de Fourier: la técnica ideal antes de la "era de la computadora"

Antes de la creación de la tecnología informática, la técnica de Fourier era la mejor arma del arsenal de los científicos cuando trabajaban con la naturaleza ondulatoria de nuestro mundo. La serie de Fourier en forma compleja permite resolver no solo problemas simples que pueden aplicarse directamente a las leyes de la mecánica de Newton, sino también ecuaciones fundamentales. La mayoría de los descubrimientos de la ciencia newtoniana en el siglo XIX fueron posibles solo gracias a la técnica de Fourier.

Serie de Fourier hoy

Con el desarrollo de las computadoras, las transformadas de Fourier se han elevado a un nivel cualitativamente nuevo. Esta técnica está firmemente arraigada en casi todas las áreas de la ciencia y la tecnología. Un ejemplo es una señal de audio y video digital. Su realización solo fue posible gracias a la teoría desarrollada por un matemático francés a principios del siglo XIX. Por lo tanto, la serie de Fourier en forma compleja hizo posible un gran avance en el estudio del espacio exterior. Además, esto influyó en el estudio de la física de materiales semiconductores y plasma, acústica de microondas, oceanografía, radar y sismología.

Serie trigonométrica de Fourier

En matemáticas, una serie de Fourier es una forma de representar funciones complejas arbitrarias como una suma de otras más simples. En casos generales, el número de tales expresiones puede ser infinito. Además, cuanto más se tenga en cuenta su número en el cálculo, más preciso será el resultado final. La mayoría de las veces, las funciones trigonométricas de coseno o seno se usan como las más simples. En este caso, las series de Fourier se denominan trigonométricas, y la solución de tales expresiones se denomina expansión del armónico. Este método juega un papel importante en las matemáticas. En primer lugar, la serie trigonométrica proporciona un medio para la imagen, así como el estudio de funciones, es el aparato principal de la teoría. Además, permite resolver una serie de problemas de física matemática. Finalmente, esta teoría contribuyó al desarrollo y dio vida a varias secciones muy importantes de la ciencia matemática (la teoría de las integrales, la teoría de las funciones periódicas). Además, sirvió como punto de partida para el desarrollo de las siguientes funciones de variable real, y también marcó el inicio del análisis armónico.

Que ya están bastante hartos. Y siento que ha llegado el momento de extraer nuevas conservas de las reservas estratégicas de la teoría. ¿Es posible expandir la función a una serie de alguna otra manera? Por ejemplo, para expresar un segmento de línea recta en términos de senos y cosenos. Parece increíble, pero funciones tan aparentemente distantes se prestan a
"reunión". Además de los grados familiares en teoría y práctica, existen otros enfoques para expandir una función en una serie.

En esta lección, nos familiarizaremos con la serie trigonométrica de Fourier, tocaremos el tema de su convergencia y suma y, por supuesto, analizaremos numerosos ejemplos para expandir funciones en una serie de Fourier. Sinceramente quería llamar al artículo “Serie de Fourier para Dummies”, pero esto sería astuto, ya que resolver problemas requerirá conocimiento de otras secciones del análisis matemático y algo de experiencia práctica. Por lo tanto, el preámbulo se parecerá al entrenamiento de los astronautas =)

En primer lugar, el estudio de los materiales de la página debe abordarse en excelente forma. Con sueño, descansado y sobrio. Sin emociones fuertes sobre la pata rota de un hámster y pensamientos obsesivos sobre las dificultades de la vida de los peces de acuario. La serie de Fourier no es difícil desde el punto de vista de la comprensión, sin embargo, las tareas prácticas simplemente requieren una mayor concentración de atención; idealmente, uno debería abandonar por completo los estímulos externos. La situación se ve agravada por el hecho de que no hay una manera fácil de verificar la solución y la respuesta. Por lo tanto, si su salud está por debajo del promedio, entonces es mejor hacer algo más simple. Verdad.

En segundo lugar, antes de volar al espacio, es necesario estudiar el panel de instrumentos de la nave espacial. Comencemos con los valores de las funciones que se deben hacer clic en la máquina:

Para cualquier valor natural:

una) . Y, de hecho, la sinusoide "parpadea" el eje x a través de cada "pi":
. En el caso de valores negativos del argumento, el resultado, por supuesto, será el mismo: .

2). Pero no todos sabían esto. El coseno "pi en" es el equivalente de una "luz intermitente":

Un argumento negativo no cambia el caso: .

Tal vez lo suficiente.

Y en tercer lugar, querido cuerpo de cosmonautas, deben poder... integrar.
En particular, seguro poner una función bajo un signo diferencial, integrar por partes y estar en buenos términos con Fórmula de Newton-Leibniz. Comencemos con los importantes ejercicios previos al vuelo. No recomiendo saltearlo, para que luego no te aplastes en gravedad cero:

Ejemplo 1

Calcular integrales definidas

donde toma valores naturales.

Solución: la integración se realiza sobre la variable "x" y en esta etapa la variable discreta "en" se considera una constante. en todas las integrales llevar la función bajo el signo de la diferencial:

Una versión corta de la solución, a la que sería bueno apuntar, se ve así:

Acostumbrarse a:

Los cuatro puntos restantes están solos. Trate de tratar la tarea concienzudamente y organice las integrales de forma breve. Ejemplos de soluciones al final de la lección.

Después de un ejercicio de CALIDAD, nos ponemos los trajes espaciales
y preparándonos para empezar!

Expansión de una función en una serie de Fourier en el intervalo

Consideremos una función que definido al menos en el intervalo (y, posiblemente, en un intervalo mayor). Si esta función es integrable en el segmento , entonces se puede expandir a una función trigonométrica series de Fourier:
, ¿dónde están los llamados Coeficientes de Fourier.

En este caso, el número se llama período de descomposición, y el número es descomposición de la vida media.

Obviamente, en el caso general, la serie de Fourier consta de senos y cosenos:

De hecho, vamos a escribirlo en detalle:

El término cero de la serie generalmente se escribe como .

Los coeficientes de Fourier se calculan utilizando las siguientes fórmulas:

Entiendo perfectamente que los nuevos términos aún son oscuros para los principiantes que estudian el tema: período de descomposición, medio ciclo, Coeficientes de Fourier y otros No se asuste, no es comparable a la emoción antes de una caminata espacial. Resolvamos todo en el ejemplo más cercano, antes de ejecutarlo, es lógico hacer preguntas prácticas apremiantes:

¿Qué necesitas hacer en las siguientes tareas?

Expanda la función en una serie de Fourier. Además, a menudo se requiere dibujar un gráfico de una función, un gráfico de la suma de una serie, una suma parcial y, en el caso de fantasías de profesores sofisticados, hacer algo más.

¿Cómo expandir una función en una serie de Fourier?

Esencialmente, usted necesita encontrar Coeficientes de Fourier, es decir, componer y calcular tres integrales definidas.

Copie la forma general de la serie de Fourier y las tres fórmulas de trabajo en su cuaderno. Estoy muy contento de que algunos de los visitantes del sitio tengan un sueño de la infancia de convertirse en astronauta hecho realidad frente a mis ojos =)

Ejemplo 2

Expanda la función en una serie de Fourier en el intervalo . Construye un gráfico, un gráfico de la suma de una serie y una suma parcial.

Solución: la primera parte de la tarea es expandir la función en una serie de Fourier.

El comienzo es estándar, asegúrese de anotar que:

En este problema, el período de expansión, medio período.

Desarrollamos la función en una serie de Fourier en el intervalo:

Usando las fórmulas apropiadas, encontramos Coeficientes de Fourier. Ahora necesitamos componer y calcular tres integrales definidas. Por conveniencia, numeraré los puntos:

1) La primera integral es la más simple, sin embargo, ya requiere un ojo y un ojo:

2) Usamos la segunda fórmula:

Esta integral es bien conocida y él lo toma poco a poco:

Cuando se encuentra usado método para poner una función bajo un signo diferencial.

En la tarea en consideración, es más conveniente usar inmediatamente fórmula para la integración por partes en una integral definida :

Un par de notas técnicas. Primero, después de aplicar la fórmula toda la expresión debe estar encerrada entre corchetes grandes, ya que hay una constante delante de la integral original. no lo perdamos! Los paréntesis se pueden abrir en cualquier paso posterior, lo hice en el último turno. En la primera "pieza" mostramos una precisión extrema en la sustitución, como puede ver, la constante está fuera del negocio y los límites de integración se sustituyen en el producto. Esta acción está marcada con corchetes. Bueno, la integral de la segunda "pieza" de la fórmula la conoces bien por la tarea de entrenamiento ;-)

Y lo más importante: ¡la máxima concentración de atención!

3) Estamos buscando el tercer coeficiente de Fourier:

Se obtiene una relativa de la integral anterior, que también es integrado por partes:

Esta instancia es un poco más complicada, comentaré los pasos adicionales paso a paso:

(1) La expresión completa está encerrada entre corchetes grandes.. No quería parecer un aburrido, pierden la constante con demasiada frecuencia.

(2) En este caso, inmediatamente amplié esos corchetes grandes. Atención especial dedicamos a la primera “pieza”: la constante fuma al margen y no participa en la sustitución de los límites de integración (y) en el producto. En vista del desorden del registro, es nuevamente recomendable resaltar esta acción entre corchetes. Con la segunda "pieza" todo es más simple: aquí la fracción apareció después de abrir corchetes grandes y la constante, como resultado de integrar la integral familiar ;-)

(3) Entre corchetes, realizamos transformaciones, y en la integral de la derecha, sustituimos los límites de integración.

(4) Sacamos el “intermitente” de los corchetes: , luego abrimos los corchetes interiores: .

(5) Cancelamos el 1 y el -1 entre paréntesis y hacemos las simplificaciones finales.

Finalmente encontramos los tres coeficientes de Fourier:

Sustituirlos en la fórmula :

No olvides partir por la mitad. En el último paso, la constante ("menos dos"), que no depende de "en", se elimina de la suma.

Así, hemos obtenido el desarrollo de la función en una serie de Fourier en el intervalo :

Estudiemos la cuestión de la convergencia de la serie de Fourier. Voy a explicar la teoría en particular. teorema de Dirichlet, literalmente "en los dedos", por lo que si necesita formulaciones estrictas, consulte un libro de texto sobre cálculo (por ejemplo, el 2° volumen de Bohan; o el 3° volumen de Fichtenholtz, pero es más difícil en él).

En la segunda parte de la tarea, se requiere dibujar un gráfico, un gráfico de suma de series y un gráfico de suma parcial.

La gráfica de la función es la habitual. línea recta en el plano, que se dibuja con una línea punteada negra:

Nos ocupamos de la suma de la serie. Como sabes, las series funcionales convergen en funciones. En nuestro caso, la serie de Fourier construida para cualquier valor de "x" converge a la función que se muestra en rojo. Esta función está sujeta a rupturas del 1er tipo en puntos, pero también definidos en ellos (puntos rojos en el dibujo)

De este modo: . Es fácil ver que difiere notablemente de la función original, por lo que en la notación se usa una tilde en lugar de un signo igual.

Estudiemos un algoritmo por el cual es conveniente construir la suma de una serie.

En el intervalo central, la serie de Fourier converge a la función misma (el segmento central rojo coincide con la línea negra punteada de la función lineal).

Ahora hablemos un poco sobre la naturaleza de la expansión trigonométrica considerada. series de Fourier incluye solo funciones periódicas (constantes, senos y cosenos), por lo que la suma de la serie es también una función periódica.

¿Qué significa esto en nuestro ejemplo particular? Y esto significa que la suma de la serie –necesariamente periódico y el segmento rojo del intervalo debe repetirse infinitamente a izquierda y derecha.

Creo que ahora el significado de la frase "período de descomposición" finalmente se ha aclarado. En pocas palabras, cada vez que la situación se repite una y otra vez.

En la práctica, suele ser suficiente representar tres períodos de descomposición, como se hace en el dibujo. Bueno, y más "tocones" de períodos vecinos, para dejar en claro que el gráfico continúa.

De particular interés son puntos de discontinuidad de 1er tipo. En tales puntos, la serie de Fourier converge a valores aislados, que se ubican exactamente en el medio del "salto" de discontinuidad (puntos rojos en el dibujo). ¿Cómo encontrar la ordenada de estos puntos? Primero, encontremos la ordenada del "piso superior": para esto, calculamos el valor de la función en el punto más a la derecha del período de expansión central: . Para calcular la ordenada del "piso inferior", la forma más fácil es tomar el valor más a la izquierda del mismo período: . La ordenada del valor medio es la media aritmética de la suma de "arriba y abajo": . Es bueno el hecho de que al construir un dibujo, verá de inmediato si el medio se calculó correcta o incorrectamente.

Construyamos una suma parcial de la serie y al mismo tiempo repitamos el significado del término "convergencia". El motivo se conoce de la lección sobre la suma de la serie numérica. Describamos nuestra riqueza en detalle:

Para hacer una suma parcial, necesitas escribir cero + dos términos más de la serie. Eso es,

En el dibujo, el gráfico de la función se muestra en verde y, como puede ver, envuelve la suma total con bastante fuerza. Si consideramos una suma parcial de cinco términos de la serie, entonces el gráfico de esta función se aproximará a las líneas rojas con mayor precisión, si hay cien términos, entonces la "serpiente verde" se fusionará completamente con los segmentos rojos, etc. Por lo tanto, la serie de Fourier converge a su suma.

Es interesante notar que cualquier suma parcial es función continua, pero la suma total de la serie sigue siendo discontinua.

En la práctica, no es raro construir un gráfico de suma parcial. ¿Cómo hacerlo? En nuestro caso, es necesario considerar la función en el segmento, calcular sus valores en los extremos del segmento y en los puntos intermedios (cuantos más puntos considere, más precisa será la gráfica). Luego, debe marcar estos puntos en el dibujo y dibujar cuidadosamente un gráfico en el período, y luego "replicarlo" en intervalos adyacentes. ¿De que otra forma? Después de todo, la aproximación también es una función periódica... ... su gráfico de alguna manera me recuerda a un ritmo cardíaco uniforme en la pantalla de un dispositivo médico.

Eso sí, no es muy conveniente llevar a cabo la construcción, ya que hay que ser extremadamente cuidadoso, manteniendo una precisión de no menos de medio milímetro. Sin embargo, complaceré a los lectores que no están de acuerdo con el dibujo: en una tarea "real", no siempre es necesario realizar un dibujo, en algún lugar, en el 50% de los casos, se requiere expandir la función a una serie de Fourier y eso es eso.

Después de completar el dibujo, completamos la tarea:

Responder:

En muchas tareas, la función sufre ruptura del 1er tipo Justo en el período de descomposición:

Ejemplo 3

Expande en una serie de Fourier la función dada en el intervalo . Dibuja una gráfica de la función y la suma total de la serie.

La función propuesta se da por partes (y ojo, solo en el segmento) y soportar ruptura del 1er tipo en el punto . ¿Es posible calcular los coeficientes de Fourier? No hay problema. Tanto la parte izquierda como la derecha de la función son integrables en sus intervalos, por lo que las integrales en cada una de las tres fórmulas deben representarse como la suma de dos integrales. Veamos, por ejemplo, cómo se hace esto para un coeficiente cero:

La segunda integral resultó ser igual a cero, lo que redujo el trabajo, pero no siempre es así.

Otros dos coeficientes de Fourier se escriben de manera similar.

¿Cómo mostrar la suma de una serie? En el intervalo izquierdo dibujamos un segmento de línea recta , y en el intervalo, un segmento de línea recta (resalte la sección del eje en negrita-negrita). Es decir, en el intervalo de expansión, la suma de la serie coincide con la función en todas partes, excepto en tres puntos "malos". En el punto de discontinuidad de la función, la serie de Fourier converge a un valor aislado, que se ubica exactamente en el medio del “salto” de la discontinuidad. No es difícil verlo oralmente: límite izquierdo:, límite derecho: y, obviamente, la ordenada del punto medio es 0,5.

Debido a la periodicidad de la suma , la imagen debe "multiplicarse" en períodos vecinos, en particular, representar lo mismo en los intervalos y . En este caso, en los puntos, la serie de Fourier converge a los valores medianos.

De hecho, no hay nada nuevo aquí.

Intenta resolver este problema por tu cuenta. Una muestra aproximada de diseño fino y dibujo al final de la lección.

Expansión de una función en una serie de Fourier en un período arbitrario

Para un período de expansión arbitrario, donde "el" es cualquier número positivo, las fórmulas para la serie de Fourier y los coeficientes de Fourier difieren en un argumento de seno y coseno un poco más complicado:

Si , obtenemos las fórmulas para el intervalo con el que comenzamos.

El algoritmo y los principios para resolver el problema se conservan por completo, pero la complejidad técnica de los cálculos aumenta:

Ejemplo 4

Expanda la función en una serie de Fourier y grafique la suma.

Solución: de hecho, un análogo del Ejemplo No. 3 con ruptura del 1er tipo en el punto . En este problema, el período de expansión, medio período. La función se define solo en el medio intervalo, pero esto no cambia las cosas: es importante que ambas partes de la función sean integrables.

Expandamos la función a una serie de Fourier:

Dado que la función es discontinua en el origen, cada coeficiente de Fourier obviamente debe escribirse como la suma de dos integrales:

1) Escribiré la primera integral lo más detallada posible:

2) Mire cuidadosamente la superficie de la luna:

Segunda integral tomar en partes:

¿A qué debe prestar mucha atención después de que abrimos la continuación de la solución con un asterisco?

Primero, no perdemos la primera integral. , donde ejecutamos inmediatamente trayendo bajo el signo del diferencial. En segundo lugar, no olvide la desafortunada constante antes de los grandes corchetes y no te confundas con las señales al usar la formula . Los corchetes grandes, después de todo, es más conveniente abrirlos inmediatamente en el siguiente paso.

El resto es una cuestión de técnica, solo la experiencia insuficiente en la resolución de integrales puede causar dificultades.

Sí, no en vano los eminentes colegas del matemático francés Fourier se indignaron: ¿cómo se atrevió a descomponer funciones en series trigonométricas? =) Por cierto, probablemente todos estén interesados en el significado práctico de la tarea en cuestión. El propio Fourier trabajó en un modelo matemático de la conducción del calor y, posteriormente, la serie que lleva su nombre comenzó a usarse para estudiar muchos procesos periódicos, que aparentemente son invisibles en el mundo exterior. Ahora, por cierto, me sorprendí pensando que no era casualidad que comparara la gráfica del segundo ejemplo con un ritmo cardíaco periódico. Los interesados pueden familiarizarse con la aplicación práctica. Transformadas de Fourier de fuentes de terceros. ... Aunque es mejor no hacerlo - será recordado como Primer Amor =)

3) Dados los enlaces débiles mencionados repetidamente, nos ocupamos del tercer coeficiente:

Integrando por partes:

Sustituimos los coeficientes de Fourier encontrados en la fórmula , sin olvidar dividir el coeficiente cero por la mitad:

Tracemos la suma de la serie. Repitamos brevemente el procedimiento: en el intervalo construimos una línea y en el intervalo, una línea. Con un valor cero de "x", colocamos un punto en el medio del "salto" de la brecha y "replicamos" el gráfico para los períodos vecinos:

En las "uniones" de los períodos, la suma también será igual a los puntos medios del "salto" de la brecha.

Listo. Les recuerdo que la función en sí está definida condicionalmente solo en el semiintervalo y, obviamente, coincide con la suma de la serie en los intervalos

Responder:

A veces, una función dada por tramos también es continua en el período de expansión. El ejemplo más simple: . Solución (Ver Bohan Volumen 2) es lo mismo que en los dos ejemplos anteriores: a pesar de continuidad de funciones en el punto , cada coeficiente de Fourier se expresa como la suma de dos integrales.

En el intervalo de ruptura puntos de discontinuidad de 1er tipo y/o puntos de "unión" del gráfico pueden ser más (dos, tres, y en general cualquier final Monto). Si una función es integrable en todas sus partes, entonces también es expandible en una serie de Fourier. Pero por experiencia práctica, no recuerdo tal lata. Sin embargo, hay tareas más difíciles que las que se acaban de considerar, y al final del artículo para todos hay enlaces a series de Fourier de mayor complejidad.

Mientras tanto, vamos a relajarnos, recostados en nuestras sillas y contemplando las infinitas extensiones de estrellas:

Ejemplo 5

Expanda la función en una serie de Fourier en el intervalo y grafique la suma de la serie.

En esta tarea, la función continuo en el semiintervalo de descomposición, lo que simplifica la solución. Todo es muy similar al Ejemplo n. ° 2. No hay escape de la nave espacial; debe decidir =) Una muestra de diseño aproximada al final de la lección, se adjunta el programa.

Expansión en serie de Fourier de funciones pares e impares

Con funciones pares e impares, el proceso de resolución del problema se simplifica notablemente. Y es por eso. Volvamos a la expansión de la función en una serie de Fourier en un período de "dos pi" y período arbitrario "dos cervezas" .

Supongamos que nuestra función es par. El término general de la serie, como puedes ver, contiene cosenos pares y senos impares. Y si descomponemos una función PAR, entonces ¿por qué necesitamos senos impares? Restablezcamos el coeficiente innecesario: .

De este modo, una función par se expande en una serie de Fourier solo en cosenos:

Porque el integrales de funciones pares sobre un segmento de integración simétrico con respecto a cero se puede duplicar, luego el resto de los coeficientes de Fourier también se simplifican.

Para lapso:

Para un intervalo arbitrario:

Los ejemplos de libros de texto que se encuentran en casi cualquier libro de texto de cálculo incluyen expansiones de funciones pares . Además, se han encontrado en repetidas ocasiones en mi práctica personal:

Ejemplo 6

Dada una función. Requerido:

1) expandir la función en una serie de Fourier con período , donde es un número positivo arbitrario;

2) escriba la expansión en el intervalo , construya una función y grafique la suma total de la serie .

Solución: en el primer párrafo, se propone resolver el problema de manera general, ¡y esto es muy conveniente! Habrá una necesidad, simplemente sustituya su valor.

1) En este problema, el período de expansión, semiperíodo. En el curso de otras acciones, en particular durante la integración, "el" se considera una constante

La función es par, lo que significa que se expande en una serie de Fourier solo en cosenos: .

Los coeficientes de Fourier se buscan mediante las fórmulas . Preste atención a sus ventajas absolutas. Primero, la integración se lleva a cabo sobre el segmento positivo de la expansión, lo que significa que nos deshacemos del módulo de manera segura. , considerando solo "x" de dos piezas. Y, en segundo lugar, la integración se simplifica notablemente.

Dos:

Integrando por partes:

De este modo:
, mientras que la constante , que no depende de "en", se quita de la suma.

Responder:

2) Escribimos la expansión sobre el intervalo, para ello sustituimos el valor deseado del semiperíodo en la fórmula general:

Expansión en serie de Fourier de funciones pares e impares Expansión de una función dada en un segmento en una serie en términos de senos o cosenos Serie de Fourier para una función con un período arbitrario Representación compleja de la serie de Fourier Serie de Fourier en general sistemas de funciones ortogonales Serie de Fourier en un sistema ortogonal Propiedad mínima de los coeficientes de Fourier Desigualdad de Bessel Igualdad Parseval Sistemas cerrados Completitud y clausura de los sistemas

Expansión en serie de Fourier de funciones pares e impares La función f(x), definida en el segmento \-1, donde I > 0, se llama incluso si la Gráfica de la función par es simétrica respecto al eje y. La función f(x) definida sobre el segmento J, donde I > 0, se llama impar si la Gráfica de la función impar es simétrica con respecto al origen. Ejemplo. a) La función es par en el segmento |-jt, jt), ya que para todo x e b) La función es impar, ya que el desarrollo en serie de Fourier de funciones pares e impares es el desarrollo de una función dada en el segmento en una serie de senos o cosenos Serie de Fourier para una función con un período arbitrario Notación compleja de la serie de Fourier Serie de Fourier en sistemas ortogonales generales de funciones Serie de Fourier en un sistema ortogonal Propiedad mínima de los coeficientes de Fourier Desigualdad de Bessel Igualdad de Parseval Sistemas cerrados Completitud y clausura de los sistemas c) Función f(x)=x2-x, donde no pertenece ni a las funciones pares ni a las impares, ya que Sea par sobre el segmento x| la función f(x) que satisface las condiciones del Teorema 1. Entonces para todos, es decir /(g) cos nx es una función par y f(x)sinnx es impar. Por lo tanto, los coeficientes de Fourier de una función par /(x) serán iguales Por lo tanto, la serie de Fourier de una función par tiene la forma f(x) sen nx es una función par. Por tanto, tendremos Así, la serie de Fourier de una función impar tiene la forma Tenemos Aplicando la integración por partes dos veces, obtenemos que Por lo tanto, la serie de Fourier de esta función se ve así: o, en forma desarrollada, Esta igualdad es válida para cualquier x €, ya que en los puntos x = ±ir la suma de los serie coincide con los valores de la función f(x) = x2, ya que las gráficas de la función f(x) = x y las sumas de la serie resultante se dan en la fig. Comentario. Esta serie de Fourier le permite encontrar la suma de una de las series numéricas convergentes, es decir, para x \u003d 0, obtenemos que La función /(x) satisface las condiciones del Teorema 1, por lo tanto se puede expandir a una serie de Fourier, la cual, debido a la imparidad de esta función, tendrá la forma Integrando por partes encontramos los coeficientes de Fourier Por lo tanto, el Fourier serie de esta función tiene la forma Esta igualdad se cumple para todo x В puntos x - ±tg la suma de la serie de Fourier no coincide con los valores de la función / (x) = x, ya que es igual a Fuera de la segmento [- *, n-] la suma de la serie es una continuación periódica de la función / (x) \u003d x; su gráfica se muestra en la Fig. 6. § 6. Expansión de una función dada en un intervalo en una serie en términos de senos o cosenos Sea una función monótona por partes acotada / dada en un intervalo . Los valores de esta función en el intervalo 0| se puede definir de varias maneras. Por ejemplo, es posible definir la función / en el segmento mc] de tal manera que /. En este caso se dice que) "se extiende al segmento 0] de forma pareja"; su serie de Fourier contendrá solo cosenos. Sin embargo, si la función /(x) se define sobre el segmento [-x, mc] de modo que /(, entonces se obtiene una función impar, y entonces decimos que / "se extiende al segmento [-*, 0 ] de una manera extraña"; en este caso, la serie de Fourier contendrá solo senos. senos y cosenos.Ejemplo 1. Expandir la función en una serie de Fourier: a) por cosenos; b) a lo largo de los senos. M Esta función, con sus extensiones pares e impares al segmento |-x, 0) será acotada y monótona por partes. a) Continuamos / (z) en el segmento 0) a) Continuamos j \ x) en el segmento (-m, 0 | de manera uniforme (Fig. 7), entonces su serie de Fourier i tendrá la forma P \u003d 1 donde los coeficientes de Fourier son iguales, respectivamente para Por lo tanto, b) Continuemos /(z) en el segmento [-x,0] de una manera extraña (Fig. 8). Entonces su serie de Fourier §7. Serie de Fourier para una función con un período arbitrario Sea la función (fix) periódica con un período de 21.1 ^ 0. Para expandirla a una serie de Fourier en el intervalo donde I > 0, hacemos un cambio de variable haciendo x = jt . Entonces la función F(t) = / ^tj será una función periódica del argumento t con periodo y se puede expandir sobre un segmento en una serie de Fourier Volviendo a la variable x, es decir, poniendo, obtenemos , permanece en fuerza también para funciones periódicas con un período arbitrario 21. En particular, el criterio suficiente para la expansión de una función en una serie de Fourier también sigue siendo válido. Ejemplo 1. Expandir en una serie de Fourier una función periódica con un período de 21, dado en el segmento [-/,/] por la fórmula (Fig. 9). Dado que esta función es par, su serie de Fourier tiene la forma Sustituyendo los valores encontrados de los coeficientes de Fourier en la serie de Fourier, obtenemos Notamos una propiedad importante de las funciones periódicas. Teorema 5. Si una función tiene un período T y es integrable, entonces para cualquier número a se cumple la igualdad m. es decir, la integral en un segmento cuya longitud es igual al período T tiene el mismo valor independientemente de la posición de este segmento en el eje real. Efectivamente, hacemos un cambio de variable en la segunda integral, suponiendo Esto da y por lo tanto, Geométricamente, esta propiedad significa que en el caso del área sombreada en la Fig. 10 áreas son iguales entre sí. En particular, para una función f(x) con un período, obtenemos en la expansión de la serie de Fourier de funciones pares e impares la expansión de una función dada en un segmento en una serie en términos de senos o cosenos Serie de Fourier para una función con un período arbitrario Representación compleja de la serie de Fourier Serie de Fourier en funciones de sistemas ortogonales en general Serie de Fourier en un sistema ortogonal Propiedad mínima de los coeficientes de Fourier Desigualdad de Bessel Igualdad de Parseval Sistemas cerrados Completitud y clausura de los sistemas que los coeficientes de Fourier de una función periódica f(x) con un período de 21 se puede calcular utilizando las fórmulas donde a es un número real arbitrario (nótese que las funciones cos - y sin tienen un período de 2/). Ejemplo 3. Expandir en una serie de Fourier una función dada en un intervalo con un período de 2x (Fig. 11). 4 Encuentra los coeficientes de Fourier de esta función. Introduciendo las fórmulas encontramos que para Por lo tanto, la serie de Fourier se verá así: En el punto x = jt (punto de discontinuidad de primera clase) tenemos §8. Notación compleja de la serie de Fourier En esta sección se utilizan algunos elementos de análisis complejo (ver Capítulo XXX, donde se justifican estrictamente todas las operaciones realizadas aquí con expresiones complejas). Deje que la función f(x) satisfaga condiciones suficientes para la expansión en una serie de Fourier. Entonces sobre el segmento x] se puede representar por una serie de la forma Usando las fórmulas de Euler Sustituyendo estas expresiones en la serie (1) en lugar de cos nx y sen xy tendremos Introducimos la siguiente notación Entonces la serie (2) toma la forma Así, la serie de Fourier (1) se presenta en la forma compleja (3). Busquemos expresiones para los coeficientes en términos de integrales. Tenemos Similarmente, encontramos Finalmente, las fórmulas para с„, с_п y с se pueden escribir de la siguiente manera: . . Los coeficientes cn se denominan coeficientes de Fourier complejos de la función Para una función periódica con un período), la forma compleja de la serie de Fourier toma la forma valores w si existen límites Ejemplo. Expandir la función de período en una serie de Fourier compleja Esta función satisface condiciones suficientes para la expansión en una serie de Fourier. Encuentre los coeficientes complejos de Fourier de esta función. Tenemos para impar para par n, o, en resumen. Sustituyendo los valores), finalmente obtenemos Nótese que esta serie también se puede escribir de la siguiente manera: Series de Fourier en sistemas ortogonales generales de funciones 9.1. Sistemas ortogonales de funciones Denotado por el conjunto de todas las funciones (reales) que son cuadradas e integrables en el intervalo [a, 6], es decir, aquellas para las que existe una integral. En particular, todas las funciones f(x) que son continuas en el intervalo [a, 6], pertenecen a 6], y los valores de sus integrales de Lebesgue coinciden con los valores de las integrales de Riemann. Definición. El sistema de funciones, donde, se llama ortogonal en el intervalo [a, b\, si la Condición (1) supone, en particular, que ninguna de las funciones es idénticamente igual a cero. La integral se entiende en el sentido de Lebesgue. ya la cantidad la llamamos norma de una función.Si en un sistema ortogonal para cualquier n tenemos, entonces el sistema de funciones se llama ortonormal. Si el sistema (y>n(x)) es ortogonal, entonces el sistema Ejemplo 1. Un sistema trigonométrico es ortogonal en un segmento. El sistema de funciones es un sistema ortonormal de funciones en, Ejemplo 2. El sistema coseno y el sistema seno es ortonormal. Introduzcamos la notación de que son ortogonales sobre el segmento (0, f|, pero no ortonormales (para I ↦ 2). Como sus normas son COS, las funciones forman un sistema ortonormal de funciones sobre un segmento. Mostremos, por ejemplo, que los polinomios de Legendre son ortogonales, sea m > n, en este caso, integrando n veces por partes, encontramos, ya que para la función t/m = (z2 - I)m, todas las derivadas hasta el orden m - I inclusive desaparezco en los extremos del intervalo [-1,1). Definición. El sistema de funciones (pn(x)) se llama ortogonal en el intervalo (a, b) por voladizo p(x) si: 1) hay integrales para todo n = 1,2,... Aquí se supone que la función de peso p(x) está definida y es positiva en todas partes del intervalo (a, b), con la posible excepción de un número finito de puntos donde p(x) puede desaparecer. Después de realizar la diferenciación en la fórmula (3), encontramos. Se puede demostrar que los polinomios de Chebyshev-Hermite son ortogonales en el intervalo Ejemplo 4. El sistema de funciones de Bessel (jL(pix)^ es ortogonal en el intervalo de ceros del sistema de funciones de Bessel Sea un sistema ortogonal de funciones en el intervalo (a, 6) y dejemos que la serie (cj = const) converja en este intervalo a la función f(x): En virtud de la ortogonalidad del sistema, obtenemos que Esta operación tiene, en general, un carácter puramente formal. Sin embargo, en algunos casos, por ejemplo, cuando la serie (4) converge uniformemente, todas las funciones son continuas y el intervalo (a, 6) es finito, esta operación es legal. Pero es la interpretación formal lo que es importante para nosotros ahora. Así que digamos que se da una función. Formamos los números c* según la fórmula (5) y escribimos La serie del lado derecho se llama serie de Fourier de la función f(x) con respecto al sistema (^n(n)) - Los números Cn son llamados los coeficientes de Fourier de la función f (x) en este sistema. El signo ~ en la fórmula (6) solo significa que los números Cn están relacionados con la función f(x) por la fórmula (5) (en este caso, no se asume que la serie de la derecha converge en absoluto, y mucho menos converge a la función f(x)). Por lo tanto, surge naturalmente la pregunta: ¿cuáles son las propiedades de esta serie? ¿En qué sentido "representa" la función f(x)? 9.3. Definición de convergencia promedio. Una sucesión converge a un elemento ] en promedio si la norma está en el espacio Teorema 6. Si una sucesión ) converge uniformemente, entonces también converge en promedio. M Deje que la secuencia ()) converja uniformemente en el segmento [a, b] a la función f(x). Esto significa que para cualquier, para todo n suficientemente grande, tenemos Por lo tanto, de donde se sigue nuestra afirmación. Lo contrario no es cierto: la secuencia () puede converger en promedio a /(x), pero no ser uniformemente convergente. Ejemplo. Consideremos la secuencia nx Es fácil ver que Pero esta convergencia no es uniforme: existe e, por ejemplo, tal que no importa cuán grande sea n, en el segmento Serie de Fourier para una función con un período arbitrario Representación compleja de la serie de Fourier Serie de Fourier en general sistemas ortogonales de funciones Serie de Fourier en un sistema ortogonal Propiedad mínima de los coeficientes de Fourier Desigualdad de Bessel Igualdad de Parseval Sistemas cerrados Completitud y clausura de los sistemas y let ) en el sistema ortonormal b Considere una combinación lineal donde n ^ 1 es un entero fijo, y encuentre los valores de las constantes para las cuales la integral toma su valor mínimo. Escribámoslo con más detalle Integrando término por término, debido a la ortonormalidad del sistema, obtenemos Los dos primeros términos del lado derecho de la igualdad (7) son independientes, y el tercer término no es negativo. Por lo tanto, la integral (*) toma un valor mínimo en ak = sk La integral se llama la aproximación de la raíz cuadrada media de la función f(x) como una combinación lineal de Tn(x). Por lo tanto, la aproximación de la raíz cuadrada media de la función /\ toma un valor mínimo cuando. cuando Tn(x) es la suma parcial 71 de la serie de Fourier de la función /(x) en el sistema (. Haciendo ak = ck, de (7) obtenemos la igualdad (9) se llama identidad de Bessel. lado no es negativo, entonces de él se sigue la desigualdad de Bessel Como i aquí es arbitrario, la desigualdad de Bessel se puede representar en forma reforzada, es decir, para cualquier función /, la serie de coeficientes de Fourier al cuadrado de esta función en un sistema ortonormal ) converge . Dado que el sistema es ortonormal en el segmento [-x, r], entonces la desigualdad (10) traducida a la notación habitual de la serie trigonométrica de Fourier da la relación do válida para cualquier función f(x) con un cuadrado integrable. Si f2(x) es integrable, entonces, en virtud de la condición necesaria para la convergencia de la serie en el lado izquierdo de la desigualdad (11), obtenemos eso. Igualdad de Parseval Para algunos sistemas (^n(x)) el signo de desigualdad en la fórmula (10) puede ser reemplazado (para todas las funciones f(x) 6 x) por un signo igual. La igualdad resultante se denomina igualdad de Parseval-Steklov (condición de integridad). La identidad de Bessel (9) nos permite escribir la condición (12) en una forma equivalente por la norma espacial 6]. Definición. Un sistema ortonormal ( se llama completo en b2[ay b] si cualquier función puede aproximarse con cierta precisión en promedio mediante una combinación lineal de la forma con un número suficientemente grande de términos, es decir, si para cualquier función f(x) ∈ b2[a, b\ y para cualquier e > 0 existe un número natural nq y los números a\, a2y..., tales que No. Teorema 7. Si el sistema ) es completo en el espacio por ortonormalización, la serie de Fourier de cualquier función / en este sistema converge a f( x) en promedio, es decir, de acuerdo con la norma Se puede demostrar que el sistema trigonométrico es completo en el espacio, lo que implica la afirmación. Teorema 8. Si una función /0 su serie trigonométrica de Fourier converge a ella en promedio. 9.5. sistemas cerrados. Completitud y clausura de los sistemas Definición. Un sistema ortonormal de funciones \, se llama cerrado si en el espacio Li\a, b) no existe ninguna función distinta de cero ortogonal a todas las funciones. En el espacio L2\a, b\ los conceptos de completitud y cierre de los sistemas ortonormales coincidir. Ejercicios 1. Expandir la función en la serie de Fourier en el intervalo (-i-, x) 2. Expandir la función en la serie de Fourier en el intervalo (-r, r) 3. Expandir la función en la serie de Fourier en el intervalo (-r, r) 4. Expandir en una serie de Fourier en el intervalo (-jt, r) función 5. Expande en una serie de Fourier en el intervalo (-r, r) la función f(x) = x + x. 6. Expanda en una serie de Fourier en el intervalo (-jt, r) la función n 7. Expanda en una serie de Fourier en el intervalo (-r, x) la función / (x) \u003d sin2 x. 8. Expandir en serie de Fourier en el intervalo (-m, jt) la función f(x) = y 9. Expandir en serie de Fourier en el intervalo (-mm, -k) la función f(x) = | sinx|. 10. Expande en una serie de Fourier en el intervalo (-x-, r) la función f(x) = g. 11. Expanda en una serie de Fourier en el intervalo (-r, r) la función f (x) \u003d sin §. 12. Expandir en serie de Fourier la función f (x) = n -2x, dada en el intervalo (0, x), continuando en el intervalo (-x, 0): a) de forma par; b) de una manera extraña. 13. Expanda en una serie de Fourier en términos de senos la función / (x) \u003d x2, dada en el intervalo (0, x). 14. Expanda en una serie de Fourier la función / (x) \u003d 3-x, dada en el intervalo (-2,2). 15. Expanda en una serie de Fourier la función f (x) \u003d |x |, dada en el intervalo (-1,1). 16. Expanda en una serie de Fourier en términos de senos la función f (x) \u003d 2x, especificada en el intervalo (0,1).

series de Fourier- una forma de representar una función compleja como una suma de otras más simples y conocidas.
El seno y el coseno son funciones periódicas. También forman una base ortogonal. Esta propiedad se puede explicar por analogía con los ejes X X X y AA Y en el plano de coordenadas. De la misma forma que podemos describir las coordenadas de un punto con respecto a los ejes, podemos describir cualquier función con respecto a los senos y cosenos. Las funciones trigonométricas se entienden bien y son fáciles de aplicar en matemáticas.

Puede representar senos y cosenos en forma de tales ondas:

Los azules son cosenos, los rojos son senos. Estas ondas también se denominan armónicos. Los cosenos son pares, los senos son impares. El término armónica proviene de la antigüedad y está asociado con observaciones sobre la relación de los tonos en la música.

¿Qué es una serie de Fourier?

Tal serie, donde las funciones seno y coseno se usan como las más simples, se llama trigonométrica. Lleva el nombre de su inventor Jean Baptiste Joseph Fourier, a finales del siglo XVIII y principios del XIX. quien demostró que cualquier función puede representarse como una combinación de tales armónicos. Y cuanto más tome, más precisa será esta representación. Por ejemplo, la imagen a continuación: puede ver que con una gran cantidad de armónicos, es decir, miembros de la serie de Fourier, el gráfico rojo se acerca al azul, la función original.

Aplicación práctica en el mundo moderno.

¿Son realmente necesarias estas filas ahora? ¿Dónde se pueden aplicar en la práctica y alguien que no sean matemáticos teóricos los usa? Resulta que Fourier es famoso en todo el mundo porque el uso práctico de su serie es literalmente incalculable. Es conveniente utilizarlos donde existan vibraciones u ondas: acústica, astronomía, radioingeniería, etc. El ejemplo más sencillo de su uso es el mecanismo de la cámara fotográfica o de vídeo. En resumen, estos dispositivos registran no solo imágenes, sino también los coeficientes de la serie de Fourier. Y funciona en todas partes: al ver imágenes en Internet, una película o escuchar música. Es gracias a la serie de Fourier que ahora puedes leer este artículo desde tu teléfono móvil. Sin la transformada de Fourier, no tendríamos suficiente ancho de banda de conexiones a Internet para simplemente ver un video de YouTube, incluso en calidad estándar.

En este diagrama, la transformada de Fourier bidimensional, que se utiliza para descomponer la imagen en armónicos, es decir, componentes básicos. En este diagrama, el valor -1 está codificado en negro, 1 en blanco. A la derecha y hacia abajo del gráfico, la frecuencia aumenta.

Expansión de Fourier

Probablemente ya estés cansado de leer, así que pasemos a las fórmulas.
Para una técnica matemática como la expansión de funciones en una serie de Fourier, habrá que tomar integrales. Muchas integrales. En general, la serie de Fourier se escribe como una suma infinita:

F (x) = UN + ∑ norte = 1 ∞ (un norte porque ⁡ (n x) + segundo norte pecado ⁡ (n x)) f(x) = UN + \displaystyle\sum_(n=1)^(\infty)(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx))f(x) =A+n=1∑ ∞ (a norte porque (n x ) +b norte pecado (n x ) )
dónde
UNA = 1 2 π ∫ − π π F (x) re X UNA = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)dxA=2pi1 − π ∫ π f(x)dx
un norte = 1 π ∫ − π π F (x) porque ⁡ (n X) re X a_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ cos(nx)dxa norte = π 1 − π ∫ π f(x)cos(nx)dx
segundo norte = 1 π ∫ − π π F (x) pecado ⁡ (n x) re X b_n = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\ sen(nx)dxb norte = π 1 − π ∫ π f(x)sen(nx)dx

Si de alguna manera podemos contar un número infinito de un n un_n a norte y BN bn b norte (se llaman los coeficientes de la expansión de Fourier, una A es solo una constante de esta expansión), entonces la serie resultante coincidirá al 100% con la función original f(x) f(x) f(x) en el segmento de − π -\pi − π antes de π\pi π . Tal segmento se debe a las propiedades de integración del seno y el coseno. Cuanto más norte norte norte, para el cual calculamos los coeficientes de la expansión de la función en una serie, más precisa será esta expansión.

Ejemplo

Tomemos una función simple y=5x y=5x y=5x
UNA = 1 2 π ∫ − π π F (x) re X = 1 2 π ∫ − π π 5 X re X = 0 UNA = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^ (\pi) f(x)dx = \frac(1)(2\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5xdx = 0A=2pi1 − π ∫ π f (x) re x =2pi1 − π ∫ π 5xdx=0
un 1 = 1 π ∫ - π π F (x) porque ⁡ (x) re X = 1 π ∫ - π π 5 X porque ⁡ (x) re X = 0 a_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \cos(x)dx = 0a 1 = π 1 − π ∫ π f (x ) cos (x ) d x =π 1 − π ∫ π 5xcos(x)dx=0
segundo 1 = 1 π ∫ − π π F (x) pecado ⁡ (x) re X = 1 π ∫ − π π 5 x pecado ⁡ (x) re X = 10 b_1 = \frac(1)(\pi)\displaystyle\ int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) 5x \sen(x)dx = 10b 1 = π 1 − π ∫ π f (x) sen (x) d x =π 1 − π ∫ π 5xsen(x)dx=1 0
un 2 = 1 π ∫ − π π F (x) porque ⁡ (2 x) re X = 1 π ∫ − π π 5 x porque ⁡ (2 x) re x = 0 a_2 = \frac(1)(\pi)\ estilo de visualización\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\cos(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi ) 5x\cos(2x)dx = 0a 2 = π 1 − π ∫ π f (x ) cos (2 x ) d x =π 1 − π ∫ π 5 x porque (2 x ) d x =0
segundo 2 = 1 π ∫ − π π F (x) pecado ⁡ (2 x) re X = 1 π ∫ − π π 5 x pecado ⁡ (2 x) re X = − 5 b_2 = \frac(1)(\pi) \displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\pi) f(x)\sin(2x)dx = \frac(1)(\pi)\displaystyle\int\limits_(-\pi)^(\ pi) 5x\sen(2x)dx = -5b 2 = π 1 − π ∫ π F(X) pecado(2 X) dX= π 1 − π ∫ π 5 Xpecado(2 X) dX= − 5

Y así. En el caso de tal función, podemos decir inmediatamente que todos $un_n = 0$

$\approx 10 \cdot \sin (x) - 5 \cdot \sin(2 \cdot x) + \frac(10)(3) \cdot \sin(3 \cdot x) - \frac(5)(2) \cdot \sin (4 \ cdotx)$

La gráfica de la función resultante se verá así:

La expansión de Fourier resultante se aproxima a nuestra función original. Si tomamos un mayor número de términos en la serie, por ejemplo, 15, ya veremos lo siguiente:

Cuantos más términos de expansión haya en una serie, mayor será la precisión.
Si cambiamos un poco la escala del gráfico, podemos notar otra característica de la transformación: la serie de Fourier es una función periódica con un período $2\pi$

Por lo tanto, es posible representar cualquier función que sea continua en el intervalo $[-\pi;\pi]$