На каждый день. Ряды фурье Разложить функцию в ряд фурье примеры

2. Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье.

Пусть периодическая функция ƒ(х) с периодом 2π такая, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда:

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов этого ряда. Это будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т. е.. сходится положительный числовой ряд

Ряд (1) мажорируем и его можно почленно интегрировать в промежутке (-π, π). Проинтегрируем обе части равенства (2):

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:

,

,

Таким образом, , откуда

. (4)

Оценка коэффициентов Фурье. (Бугров)

Теорема 1. Пусть функция ƒ(x) периода 2π имеет непрерывную производную ƒ (s) (x) порядка s, удовлетворяющей на всей действительной оси неравенству:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

тогда коэффициенты Фурье функции ƒ удовлетворяют неравенству

Доказательство. Интегрируя по частям и учитывая, что

ƒ(-π) = ƒ(π), имеем

Интегрируя правую часть (7) последовательно, учитывая, что производные ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) непрерывны и принимают одинаковые значения в точках t = -π и t = π, а также оценку (5), получим первую оценку (6).

Вторая оценка (6) получается подобным образом.

Теорема 2. Для коэффициентов Фурье ƒ(x) имеет место неравенство

(8)

Доказательство. Имеем

(9)

Вводя в данном случае замену переменной и учитывая, что ƒ(x) – периодическая функция, получим

Складывая (9) и (10), получаем

Аналогичным образом проводим доказательство для b k .

Следствие. Если функция ƒ(x) непрерывна, то её коэффициенты Фурье стремятся к нулю: a k → 0, b k → 0, k → ∞.

Пространство функций со скалярным произведением.

Функция ƒ(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, может быть, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода. Такие точки можно складывать и умножать на действительные числа и получать как результат снова кусочно-непрерывные на отрезке функции.

Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных на (a < b) функций ƒ и φ будем называть интеграл

(11)

Очевидно для любых кусочно-непрерывных на функций ƒ , φ , ψ выполняются свойства:

1) (ƒ , φ) =(φ, ƒ);

2) (ƒ , ƒ) и из равенства (ƒ , ƒ) = 0 следует, что ƒ(x) =0 на , исключая, быть может, конечное число точек x;

3) (α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β (φ , ψ),

где α, β – произвольные действительные числа.

Множество всех кусочно-непрерывных функций, определенных на отрезке , для которых введено скалярное произведение по формуле (11), мы будем обозначать, и называть пространством

Замечание 1.

В математике называют пространством = (a, b) совокупность функций ƒ(x), интегрируемых в лебеговом смысле на вместе со своими квадратами, для которых введено скалярное произведение по формуле (11). Рассматриваемое пространство есть часть . Пространство обладает многими свойствами пространства , но не всеми.

Из свойств 1), 2), 3) следует важное неравенство Буняковского | (ƒ , φ) | ≤ (ƒ , ƒ) ½ (φ , φ) ½ , которое на языке интегралов выглядит так:

Величина

называется нормой функции f.

Норма обладает следующими свойствами:

1) || f || ≥ 0, при этом равенство может быть только для нулевой функции f = 0, т. е. функции, равной нулю, за исключением, быть может, конечного числа точек;

2) || ƒ + φ || ≤ || ƒ(x) || || φ ||;

3) || α ƒ || = | α | · || ƒ ||,

где α – действительное число.

Второе свойство на языке интегралов выглядит так:

и называется неравенством Минковского.

Говорят, что последовательность функций { f n }, принадлежит к ,сходится к функции принадлежит в смысле среднего квадратического на (или ещё по норме ), если

Отметим, что если последовательность функций ƒ n (x) сходится равномерно к функции ƒ(x) на отрезке , то для достаточно больших n разность ƒ(x) - ƒ n (x) по абсолютной величине должна быть мала для всех х из отрезка .

В случае же, если ƒ n (x) стремится к ƒ(x)в смысле среднего квадратического на отрезке , то указанная разность может и не быть малой для больших n всюду на . В отдельных местах отрезка эта разность может быть и велика, но важно только, чтобы интеграл от её квадрата по отрезку был мал для больших n.

Пример. Пусть на заданна изображенная на рисунке непрерывная кусочно-линейная функция ƒ n (x) (n = 1, 2,…), причем

(Бугров, стр. 281, рис. 120)

При любом натуральном n

и, следовательно, эта последовательность функций, хотя и сходится к нулю при n → ∞, но неравномерно. Между тем

т. е. последовательность функций {f n (х)} стремится к нулю в смысле среднего квадратического на .

Из элементов некоторой последовательности функций ƒ 1 , ƒ 2 , ƒ 3 ,… (принадлежащих ) построим ряд

ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +… (12)

Сумма первых его n членов

σ n = ƒ 1 + ƒ 2 + … + ƒ n

есть функция, принадлежащая к . Если случится, что в существует функция ƒ такая, что

|| ƒ- σ n || → 0 (n → ∞),

то говорят, что ряд (12) сходится к функции ƒ в смысле среднего квадратического и пишут

ƒ = ƒ 1 + ƒ 2 + ƒ 3 +…

Замечание 2.

Можно рассматривать пространство = (a, b) комплекснозначных функций ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x), где ƒ 1 (x) и ƒ 2 (x) – действительные кусочно – непрерывные на функции. В этом пространстве функции умножаются на комплексные числа и скалярное произведение функций ƒ(x) = ƒ 1 (x) + iƒ 2 (x) и φ(х) = φ 1 (х) +i φ 2 (х) определяется следующим образом:

а норма ƒ определяется как величина

Ряды Фурье – способ представления сложной функции суммой более простых, хорошо известных.
Синус и косинус – это периодические функции. Еще они образуют ортогональный базис. Это свойство можно объяснить по аналогии с осями X X X и Y Y Y на координатной плоскости. Точно так же, как мы можем описать координаты точки относительно осей, мы можем описать любую функцию относительно синусов и косинусов. Тригонометрические функции хорошо изучены и их легко применять в математике.

Представить синусы и косинусы можно в виде таких волн:

Синие – это косинусы, красные – синусы. Еще такие волны называют гармониками. Косинусы – четными, синусы – нечетными. Термин гармоника пришел еще из античности и связан с наблюдениями о взаимосвязи высот звуков в музыке.

Что такое ряд Фурье

Такой ряд, где в качестве простейших используются функции синуса и косинуса, называется тригонометрическим. Назван он в честь своего изобретателя Жана Батиста Жозефа Фурье, в конце XVIII–начале XIX в. доказавшего, что любую функцию можно представить в виде комбинации таких гармоник. И чем больше их взять, тем точнее это представление будет. Для примера картинка ниже: можно заметить, что с большим количеством гармоник, т. е. членов ряда Фурье, красный график становится все ближе к синему – исходной функции.

Практическое применение в современном мире

А вообще нужны ли эти ряды сейчас? Где они могут применяться практически и использует ли их кто-то кроме математиков-теоретиков? Оказывается, Фурье потому и знаменит на весь мир, что практическая польза его рядов буквально неисчислима. Их удобно применять там, где есть какие-либо колебания или волны: акустика, астрономия, радиотехника и т. д. Самый простой пример его использования: механизм работы фотоаппарата или видеокамеры. Если объяснять вкратце, эти устройства записывают не просто картинки, а коэффициенты рядов Фурье. И работает это везде – при просмотре картинок в интернете, фильма или прослушивании музыки. Именно благодаря рядам Фурье вы сейчас можете прочитать эту статью со своего мобильного телефона. Без преобразования Фурье нам не хватило бы никакой пропускной способности интернет-соединений, чтобы просто посмотреть видео на YouTube даже в стандартном качестве.

На этой схеме двухмерное преобразование Фурье, которое используется для разложения изображения на гармоники, т. е. базисные составляющие. На этой схеме черным закодировано значение -1, белым 1. Вправо и вниз по графику увеличивается частота.

Разложение в ряд Фурье

Наверное, вы уже устали читать, поэтому перейдем к формулам.
Для такого математического приема, как разложение функций в ряд Фурье, придется брать интегралы. Много интегралов. В общем виде ряд Фурье записывают в виде бесконечной суммы:

F (x) = A + ∑ n = 1 ∞ (a n cos ⁡ (n x) + b n sin ⁡ (n x)) f(x) = A + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx)) f (x ) = A + n = 1 ∑ ∞ ​ (a n ​ cos (n x ) + b n ​ sin (n x ) )
где
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x A = \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)dx A = 2 π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) d x
a n = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (n x) d x a_n = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx a n ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) cos (n x ) d x
b n = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (n x) d x b_n = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx b n ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) sin (n x ) d x

Если мы каким-то образом сможем посчитать бесконечное количество a n a_n a n ​ и b n b_n b n ​ (они и называются коэффициентами разложения Фурье, A A A - это просто постоянная этого разложения), то полученный ряд в результате будет на 100% совпадать с исходной функцией f (x) f(x) f (x ) на отрезке от − π -\pi − π до π \pi π . Такой отрезок обусловлен свойствами интегрирования синуса и косинуса. Чем больше n n n , для которого мы рассчитаем коэффициенты разложения функции в ряд, тем точнее будет это разложение.

Пример

Возьмем простую функцию y = 5 x y=5x y = 5 x
A = 1 2 π ∫ − π π f (x) d x = 1 2 π ∫ − π π 5 x d x = 0 A = \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)dx = \frac{1}{2\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} 5xdx = 0 A = 2 π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) d x = 2 π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x d x = 0
a 1 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (x) d x = 0 a_1 = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(x)dx = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} 5x\cos(x)dx = 0 a 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) cos (x ) d x = π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (x ) d x = 0
b 1 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (x) d x = 10 b_1 = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(x)dx = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} 5x\sin(x)dx = 10 b 1 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) sin (x ) d x = π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x sin (x ) d x = 1 0
a 2 = 1 π ∫ − π π f (x) cos ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x cos ⁡ (2 x) d x = 0 a_2 = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(2x)dx = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} 5x\cos(2x)dx = 0 a 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) cos (2 x ) d x = π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x cos (2 x ) d x = 0
b 2 = 1 π ∫ − π π f (x) sin ⁡ (2 x) d x = 1 π ∫ − π π 5 x sin ⁡ (2 x) d x = − 5 b_2 = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(2x)dx = \frac{1}{\pi}\displaystyle\int\limits_{-\pi}^{\pi} 5x\sin(2x)dx = -5 b 2 ​ = π 1 ​ − π ∫ π ​ f (x ) sin (2 x ) d x = π 1 ​ − π ∫ π ​ 5 x sin (2 x ) d x = − 5

И так далее. В случае с такой функцией мы можем сразу сказать, что все a n = 0 a_n=0 a n ​ = 0 , коэффициенты b n b_n b n ​ придется вычислять. Если мы возьмем первые четыре члена разложения в ряд Фурье для функции y = 5 x y=5x y = 5 x , получим:

$5x\approx 10\cdot \sin (x)-5\cdot \sin (2\cdot x)+310\cdot \sin (3\cdot x)-25\cdot \sin (4\cdot x)$

График получившейся функции будет выглядеть следующим образом:

Получившееся разложение в ряд Фурье приближается к нашей исходной функции. Если мы возьмем большее количество членов ряда, например, 15, то увидим уже следующее:

Чем больше членов разложения в ряд, тем выше точность.
Если мы немного изменим масштаб графика, сможем заметить еще одну особенность преобразования: ряд Фурье – это периодическая функция с периодом 2 π 2\pi 2 π .

Таким образом, можно представлять любую функцию, которая является непрерывной на отрезке [ − π ; π ] [-\pi;\pi] [ − π ; π ] . Все это нужно для того, чтобы облегчить анализ каких-то явлений, которые описываются сложными функциями. Не всегда возможно аналитически (т. е. по формуле) посчитать производную, а в случае с набором синусов и косинусов такой проблемы не возникнет. Собственно разложение в ряд Фурье показывает, что зачастую задачи можно решать аналитически на упрощенных моделях, одним из примеров которых и является ряд Фурье.

Одним из видов функциональных рядов является тригонометрический ряд

Ставится задача подобрать коэффициенты ряда так, чтобы он сходился к заданной в интервале [-π, π] функции; иначе говоря, требуется разложить данную функцию в тригонометрический ряд. Достаточное условие разрешимости этой задачи состоит в том, чтобы функция была в интервале [-π, π] кусочно-непрерывна и кусочно-дифференцируема, т. е. чтобы интервал [-π, π] мог быть разбит на конечное число частичных интервалов, в каждом из которых данная функция непрерывна и имеет производную (на концах частичных интервалов функция должна иметь конечные односторонние пределы и односторонние производные, при вычислении которых в качестве значения функции в конце частичного интервала берется ее односторонний предел). Условие кусочной дифференцируемости может быть заменено условием кусочной монотонности функции, т. е. требованием, чтобы в каждом из частичных интервалов функция была монотонна. Достаточным условием разложимости функции в интервале [-π, π] в тригонометрический ряд является также требование, чтобы в этом интервале функция имела ограниченное изменение. По определению функции f(x) имеет в интервале ограниченное изменение, если при любом разбиении этого интервала на конечное число интервалов

величина

ограничена сверху одним и тем же числом.

Именно с такими функциями приходится иметь дело при решении практических задач.

При выполнении любого из трех указанных достаточных условий функция f(x) представляется в интервале [-π, π] тригонометрическим рядом, у которого коэффициенты определяются по формулам

При таких коэффициентах тригонометрический ряд называется рядом Фурье . Этот ряд сходится к f(x) в каждой точке ее непрерывности; в точках разрыва он сходится к среднему арифметическому левого и правого предельных значений, т. е. k , если х есть точка разрыва (рис. 1); на границах отрезка ряд сходится к .

Рисунок 1.

Функция, выражаемая рядом Фурье, есть функция периодическая, а потому ряд, составленный для функции, заданной на отрезке [-π, π], сходится вне этого отрезка к периодическому продолжению этой функции (рис. 2).

Рисунок 2.

Если рядом Фурье представляется функция f(x), заданная в произвольном интервале [α, α+2π] длиной 2π, то коэффициенты ряда а 0 , a k , b k (коэффициенты Фурье) можно определить по указанным формулам, в которых пределы интегрирования заменены на α и α+2π. Вообще, поскольку в формулах для а 0 , a k , b к стоят функции с периодом 2π, интегрирование можно проводить по любому интервалу с длиной 2π.

Ряд Фурье может быть использован для приближенного представления функции, а именно: функция f(x) заменяется приближенно равной ей суммой s n (x) первых нескольких членов ряда Фурье:

Выражение s n (x), где а 0 , a k , b k являются коэффициентами Фурье функции f(x), по сравнению с другими выражениями такого же вида с тем же значением n, но с другими коэффициентами, приводит к минимальному среднему квадратичному отклонению s n (x) от f(х), которое определяется как

В зависимости от рода симметрии функции возможны некоторые упрощения. Если функция четная, т. е. f(-x)=f(x), то

и функция разлагается в ряд по косинусам. Если функция нечетная, т. е. f(-х)=-f(x), то

и функция разлагается в ряд по синусам. Если функция удовлетворяет условию f(x+π)=-f(x), т. е. кривая, относящаяся к половине отрезка длиной 2π, является зеркальным отражением другой половины кривой, то

Функция может быть задана не только на отрезке длиной 2π, но также на отрезке любой длины 2l. Если она на этом отрезке удовлетворяет приведенным выше условиям, то она разложима в ряд Фурье следующего вида:

причем коэффициенты ряда вычисляются по формулам

В табл. 1 даны разложения некоторых функций.

Таблица 1.

Тригонометрический ряд можно записать и в таком виде:

Ряд Фурье функции f(x) сходится тем скорее, чем более гладкой является функция. Если функция f(x) и ее производные f"(x), f"(x), ..., f k -1 (x) всюду непрерывны, а f (k) (x) допускает лишь точки разрыва 1-го рода в конечном числе, то коэффициенты Фурье а n , b n функции f(х) будут

Символом обозначается такая величина, что

Разложение в тригонометрический ряд называют гармоническим анализом, а тригонометрические функции, входящие в этот ряд, - гармониками. Вычисление по составляющим гармоникам называется гармоническим синтезом.

При расчетах конструкций часто приходится разлагать в ряд Фурье различные функции, заданные графиками, и прежде всего изображающие нагрузку. В табл. 2 и 3 даны разложения для некоторых функций, характерных для нагрузок, в том числе и ряды, соответствующие сосредоточенным силам.

Таблица 2.

График функций	Ряд Фурье	n

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

где a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. - действительные константы, т.е.

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты a o ,a n и b n называются коэффициентами Фурье , и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда - использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Где a o - константа, с 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2 , с n =(a n 2 +b n 2) 1/2 - амплитуды различных компонент, а равен a n =arctg a n /b n .

Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin(x+α 1) называется первой или основной гармоникой, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций в ряд Фурье.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная , если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n

Если требуется получить функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

Где коэффициенты ряда Фурье,

Однако чаще приведенную выше формулу приводят к зависимости от х. Поскольку u=2πх/L, значит, du=(2π/L)dx, а пределы интегрирования - от -L/2 до L/2 вместо - π до π. Следовательно, ряд Фурье для зависимости от х имеет вид

где в диапазоне от -L/2 до L/2 коэффициенты ряда Фурье,

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде .

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

Рядом Фурье функции f(x) на интервале (-π ; π) называется тригонометрический ряд вида:
, где

Рядом Фурье функции f(x) на интервале (-l;l) называется тригонометрический ряд вида:
, где

Назначение . Онлайн калькулятор предназначен для разложение функции f(x) в Ряд Фурье.

Для функций по модулю (например, |x|), используйте разложение по косинусам .

Правила ввода функций :

Для функций по модулю используйте разложение по косинусам. Например, для |x| необходимо ввести функцию без модуля, т.е. x .

Ряд Фурье кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной на интервале (-l ;l ) функции сходится на всей числовой оси.

Сумма ряда Фурье S(x) :

• является периодической функцией с периодом 2l . Функция u(x) называется периодической с периодом T (или T-периодической), если для всех x области R, u(x+T)=u(x).
• на интервале (-l ;l ) совпадает с функцией f (x ), за исключением точек разрыва
• в точках разрыва (первого рода, т.к. функция ограничена) функции f (x ) и на концах интервала принимает средние значения:

.
Говорят, что функция раскладывается в ряд Фурье на интервале (-l ;l ): .

Если f (x ) – четная функция, то в ее разложении участвуют только четные функции, то есть b n =0.
Если f (x ) – нечетная функция, то в ее разложении участвуют только нечетные функции, то есть а n =0

Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (0;l ) по косинусам кратных дуг называется ряд:
, где
.
Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (0;l ) по синусам кратных дуг называется ряд:
, где .
Сумма ряда Фурье по косинусам кратных дуг является четной периодической функцией с периодом 2l , совпадающей с f (x ) на интервале (0;l ) в точках непрерывности.
Сумма ряда Фурье по синусам кратных дуг является нечетной периодической функцией с периодом 2l , совпадающей с f (x ) на интервале (0;l ) в точках непрерывности.
Ряд Фурье для данной функции на данном интервале обладает свойством единственности, то есть если разложение получено каким-либо иным способом, чем использование формул, например, при помощи подбора коэффициентов, то эти коэффициенты совпадают с вычисленными по формулам.

Пример №1 . Разложить функцию f(x)=1:
а) в полный ряд Фурье на интервале (-π ;π);
б) в ряд по синусам кратных дуг на интервале (0;π); построить график полученного ряда Фурье
Решение :
а) Разложение в ряд Фурье на интервале(-π;π) имеет вид:
,
причем все коэффициенты b n =0, т.к. данная функция – четная; таким образом,

Очевидно, равенство будет выполнено, если принять
а 0 =2, а 1 =а 2 =а 3 =…=0
В силу свойства единственности это и есть искомые коэффициенты. Таким образом, искомое разложение: или просто 1=1.
В таком случае, когда ряд тождественно совпадает со своей функцией, график ряда Фурье совпадает с графиком функции на всей числовой прямой.
б) Разложение на интервале (0;π) по синусам кратных дуг имеет вид:
Подобрать коэффициенты так, чтобы равенство тождественно выполнялось, очевидно, невозможно. Воспользуемся формулой для вычисления коэффициентов:


Таким образом, для четных n (n =2k ) имеем b n =0, для нечетных (n =2k -1) -
Окончательно, .
Построим график полученного ряда Фурье, воспользовавшись его свойствами (см. выше).
Прежде всего, строим график данной функции на заданном интервале. Далее, воспользовавшись нечетностью суммы ряда, продолжаем график симметрично началу координат:

Продолжаем периодическим образом на всей числовой оси:


И наконец, в точках разрыва заполняем средние (между правым и левым пределом) значения:

Пример №2 . Разложить функцию на интервале (0;6) по синусам кратных дуг.
Решение : Искомое разложение имеет вид:

Поскольку и левая, и правая части равенства содержат только функции sin от различных аргументов, следует проверить, совпадают ли при каких-либо значениях n (натуральных!) аргументы синусов в левой и правой частях равенства:
или , откуда n =18. Значит, такое слагаемое содержится в правой части и коэффициент при нем должен совпадать с коэффициентом в левой части: b 18 =1;
или , откуда n =4. Значит, b 4 =-5.
Таким образом, при помощи подбора коэффициентов удалось получить искомое разложение.